吳小慶,張 合

(西南石油大學(xué)理學(xué)院,四川成都610500)

問題描述:2010年數(shù)學(xué)建模競賽A題問題2[1],對于實際儲油罐,試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型,即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)(縱向傾斜角度α和橫向偏轉(zhuǎn)角度β)之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進(jìn)出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù),根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù),并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。

儲油罐在此兩種變位情況下,儲油罐的形狀不會發(fā)生改變,僅考慮小的變位,不會出現(xiàn)油的溢出,從而罐內(nèi)油的體積就不會發(fā)生改變,即變位前后的油量總體積是不變量,與變位參數(shù)無關(guān)。所以由體積去確定變位參數(shù)是不正確的。變位后的高度與變位參數(shù)之間存在函數(shù)關(guān)系,所以應(yīng)該由高度去求變位參數(shù)。

沒有變位時,油的體積只與h0有關(guān),是關(guān)于h0的一元函數(shù),與α,β變位參數(shù)無關(guān)。在變位的情況下,觀測高度h與α,β變位參數(shù)有關(guān),根據(jù)變位的幾何關(guān)系,僅考慮小的變位,容易確定觀測高度表達(dá)式。對比分析觀測高度與實際高度,用數(shù)學(xué)方法求出α,β。進(jìn)一步分析得到罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 變位前后的油量總體積是不變量

油罐變位后,罐體形狀不發(fā)生改變。所以在常溫常壓下,罐體內(nèi)油的體積不會隨變位的改變而改變。所以變位前后的油量總體積是不變量。

1.2 罐內(nèi)油體積與無變位高度的關(guān)系

假設(shè)圓柱體半徑為a,高為H,左右球半徑為r,右球球心為(0,y1,0),左球球心為(0,y2,0),觀測點坐標(biāo)為(0,y0,z0)。模型如圖1所示。

圖1 無變位儲油罐示意圖

右球面方程

左球面方程

無變位油高h(yuǎn)0=z0+a。

無變位時,儲油罐油區(qū)體積由二重積分可以計算[2]:

即有

由于此函數(shù)是關(guān)于h0的單調(diào)可微遞增函數(shù),必有反函數(shù)h0=f-1(V)存在。變位后,假設(shè)V= G(α,β,h),由于變位后油高h(yuǎn)是h0與變位參數(shù)α,β的函數(shù),即

又由變位前后體積不變性可知,

1.3 變位后油高h(yuǎn)與h0和α,β的關(guān)系式

假設(shè),當(dāng)只有縱向傾斜時,油罐探針與液面垂直;當(dāng)只有橫向偏轉(zhuǎn)時,探針始終過橫向切面圓的圓心。如圖2,圖3。

如果無橫向偏轉(zhuǎn),只考慮縱向傾斜,假設(shè)|α |≤arctan,根據(jù)幾何關(guān)系可以得到h的函數(shù)表達(dá)式[3]

如果考慮縱向傾斜與橫向偏轉(zhuǎn),注意空間幾何關(guān)系,得到變位后的h和無變位的h0的精確關(guān)系式為h=h(h0,α,β)。

以上式中θH 表示變位前后液面與縱向軸切面交點的y軸坐標(biāo)。θ是h0的函數(shù),取值范圍為(0, 1)。當(dāng)h0=a時,由變位前后體積不變和模型的空間對稱性知,θ=。當(dāng)h0≠a時,僅考慮微小變位, θ的值變化不大,所以可以假設(shè)θ=。

2 數(shù)值求解

根據(jù)實際的第i次出油量ΔVi,確定第i次出油后的油體積為

從而得到第i次出油后無變位高度

由附件2[1]的檢測數(shù)據(jù)可以知道不同時刻的觀測高度實測值h,問題可歸結(jié)為求解非線性最小二乘問題

分別取h0=2.5,2.6,2.57。殘差比較見表1。

表1 殘差比較表

經(jīng)比較殘差,取h0=2.57,此時α=0.032 1, β=0.010 0。

根據(jù)上述計算過程,若已知變位后高度,根據(jù)變位高度與無變位高度的函數(shù)表達(dá)式求出對應(yīng)的無變位高度。然后根據(jù)體積表達(dá)式即可求出罐內(nèi)油體積,所以容易得到變位后間隔10cm的體積標(biāo)定值(見表2)。圖4給出了變位前后體積與觀測高度的關(guān)系。

3 關(guān)于2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題評題要點的意見

表2 變位后儲油罐的修正罐容表

表3 無變位儲油罐的修正罐容表

圖4 變位與無變位體積對比曲線

2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題評閱要點中[5],認(rèn)定罐內(nèi)實際儲油量V與縱向傾斜變位參數(shù)α、橫向偏轉(zhuǎn)變位參數(shù)β和油位高度h的關(guān)系模型,即V=F(α,β,h)。由附件2的檢測數(shù)據(jù)可以知道不同時刻的出油量ΔV,同時可以計算出相應(yīng)油位高度的改變量Δhi=hi-hi+1,并由模型表達(dá)式V=F(α,β,h)計算得到實際儲油量的改變量ΔVi=F(α,β,hi)-F(α,β,hi+1),問題可歸結(jié)為求解非線性最小二乘問題:認(rèn)為利用附件2[1]中的部分?jǐn)?shù)據(jù)(如前半部分),借助于工具軟件或各種數(shù)值方法求解可以得到參數(shù)估計值。

由于變位前后的油量總體積是不變量,且h是h0,α,β的函數(shù),所以h與變位參數(shù)α,β是不獨立的,而h0,α,β相互獨立。所以體積表達(dá)式中V=F(α, β,h)應(yīng)表示為V=F(α,β,h0)。因為體積與變位無關(guān),V=F(α,β,h)=F(0,0,h0)≡f(h0),即體積V=f(h0)只依賴于油的無變位高度h0,與α,β變位參數(shù)無關(guān)。從而ΔVi=f(h)-f(h),皆與α,β變位參數(shù)無關(guān)。由min或去確定α,β是錯誤的,也是不可能的。

[1]2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題[EB/OL]. (2010-09-17).http://www.mcm.edu.cn/html-cn/ node/d5ae730f57dea3208cae73f7635aeee8.html.

[2]華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.微積分學(xué)[M].北京:高教出版社,2002.

[3]呂林根,許子道.解析幾何[M].北京:高等教育出版社, 2006.

[4]任玉杰.數(shù)值分析及其MATLAB實現(xiàn)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[5]2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題評題要點[EB/OL].(2010-10-01).http://wenku.baidu.com/ view/758edd5f312b3169a451a45c.html.