何朝兵，袁德強(qiáng)

（安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 安陽 455000）

幾何分布的幾個性質(zhì)

何朝兵，袁德強(qiáng)

（安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 安陽 455000）

證明了幾何分布的順序統(tǒng)計量的一些性質(zhì)，有的性質(zhì)與指數(shù)分布相對應(yīng)的性質(zhì)有區(qū)別但又相似.

幾何分布；順序統(tǒng)計量；性質(zhì)；指數(shù)分布性

幾何分布已經(jīng)應(yīng)用到越來越多的領(lǐng)域中，特別是在信息工程，電子工程，控制論以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中都占有極其重要的地位.Ferguson[1]在1067年首次提出用順序統(tǒng)計量來刻劃幾何分布的特征，文獻(xiàn)[2-11]對此又作了進(jìn)一步的分析研究.指數(shù)分布在可靠性統(tǒng)計推斷中有著十分重要的地位，具有許多重要性質(zhì)[12-15].雖然幾何分布和指數(shù)分布都具有“無記憶性”，但由于它們的個性差異，導(dǎo)致兩者差別很大.本文給出并證明了幾何分布的順序統(tǒng)計量的一些性質(zhì)，有的性質(zhì)與指數(shù)分布有區(qū)別但又相似.

1 預(yù)備知識

定義1如果隨機(jī)變量X的分布律為P(X =k)=pqk-1,k=1,2,3,…;0＜p＜1,q=1-p,則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為X～Geo（p）.

一般教材給出的順序統(tǒng)計量的定義，對研究連續(xù)型分布很方便，但對研究離散型卻很麻煩，所以下面針對離散型隨機(jī)變量，給出其順序統(tǒng)計量的定義.

定義2設(shè)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布于一離散型分布.把X1,X2,…,Xn的取值按從小到大排列，取值相同的歸為一組，第i(1 ≤i≤n )組的取值記為X(i)，稱 X(i)為 X1,X2,…,Xn的第i個順序統(tǒng)計量.

2 主要結(jié)論

假設(shè)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布于幾何分布Geo（p）.X1,X2,…,Xn中取值 X(i)的個數(shù)記為Yi，令Di=X(i)-X(i-1),i=1,2,…,n，約定 X(0)=0.在對產(chǎn)品進(jìn)行壽命分析時，與指數(shù)分布相比，幾何分布沒有定數(shù)截尾壽命試驗，相對應(yīng)的應(yīng)該是定組截尾壽命試驗，即當(dāng)觀察到r組不同的失效數(shù)據(jù)時停止試驗.為了準(zhǔn)確起見，我們稱之為定組截尾壽命試驗.本文證明如下幾個命題：

命題1在Y1=m1,…,Yr=mr的條件下，D1,D2,…,Dr相互獨(dú)立，且

命題2X(1)與(Y1,Y2,…,Yr)相互獨(dú)立.

3 結(jié)論的證明

命題3和命題4所描述的幾何分布的性質(zhì)與指數(shù)分布是一樣的.

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Several Properties of Geometric Distribution

HE Chaobing，YUAN Deqiang
（School of Mathematics and Statistics,Anyang Normal University，Anyang455000，China）

This paper obtains and proves some properties of order statistics of geometric distribution,certain properties are different from and also similar to corresponding properties of exponential distribution.

geometric distribution；order statistics；property；exponential distribution

O 211.3；O 212.2

A

1674-4942（2012）01-0020-04

2011-10-03

河南省教育廳自然科學(xué)基金資助項目（2009B110003）

畢和平