黃正鋒 王景輝

（東南大學(xué)交通學(xué)院1） 南京 210096） （同濟(jì)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院2） 上海 201804）

0 引 言

公交乘客均衡配流問(wèn)題是公交規(guī)劃與管理的重要基礎(chǔ)．為了使公交配流結(jié)果能夠反映公交載運(yùn)工具擁擠現(xiàn)狀，眾多學(xué)者在文獻(xiàn)［1－5］中提出了各種求解擁擠影響下的公交均衡配流模型，這些模型在公交路段阻抗函數(shù)的表示方面存在不同．雖然文獻(xiàn)［6］考慮了公交能力約束，并建立了隨機(jī)公交配流模型，模型中公交路段能力約束條件所對(duì)應(yīng)的拉氏乘子代表乘客的擁擠延誤時(shí)間，但是模型假定乘客的等車費(fèi)用和車輛運(yùn)行費(fèi)用皆為定值，不能反映擁擠帶來(lái)的費(fèi)用變化情況．綜合考慮以上公交均衡配流模型的優(yōu)缺點(diǎn)之后，筆者建立的模型假定公交出行費(fèi)用受擁擠影響，是一個(gè)與流量相關(guān)的增函數(shù)，同時(shí)考慮車輛運(yùn)行路段的流量受車輛運(yùn)營(yíng)能力的限制．提出的模型求解算法尤其適用于高峰時(shí)期乘客流量大于線路運(yùn)營(yíng)能力的超級(jí)擁擠公交網(wǎng)絡(luò)均衡配流．

1 公交網(wǎng)絡(luò)表述

一般的公交網(wǎng)絡(luò)是由一系列公交車站和公交線路等組成，一個(gè)具有4個(gè)公交站點(diǎn)、4條公交線路的公交網(wǎng)絡(luò)如圖1所示，其中節(jié)點(diǎn)N1，N2，N3，N4代表上下車以及換乘的公交站點(diǎn)，公交線路L1，L2，L3，L4經(jīng)過(guò)不同站點(diǎn)．

圖1 一般公交網(wǎng)絡(luò)

為了便于將公交網(wǎng)絡(luò)分成路段描述，將上述用公交線路表示的公交網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行擴(kuò)展，擴(kuò)展后的公交網(wǎng)絡(luò)由一系列節(jié)點(diǎn)和連接節(jié)點(diǎn)的路段組成，節(jié)點(diǎn)仍代表車站，路段分成公交運(yùn)行路段、等車路段、下車路段（包括換乘功能）．由3種路段表示的對(duì)圖2進(jìn)行擴(kuò)展后的公交網(wǎng)絡(luò)見(jiàn)圖2，其中點(diǎn)線代表等車路段，實(shí)線代表車輛運(yùn)行路段，點(diǎn)劃線代表下車路段．

圖2 公交擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)

2 公交路段費(fèi)用函數(shù)

等車路段為a，fa表示通過(guò)a的公交線路發(fā)車頻率，在非擁擠狀態(tài)下，假定車輛到達(dá)間隔時(shí)間服從均值為1／fa指數(shù)分布，乘客到達(dá)車站數(shù)量服從均一分布，則站點(diǎn)乘客的平均等車時(shí)間為1／fa．而隨著需求量的增加，車站的排隊(duì)就會(huì)增長(zhǎng)，導(dǎo)致乘客在車站的平均等車時(shí)間連續(xù)增加．假定除了車輛發(fā)車間隔之外，站點(diǎn)等車人數(shù)（va）和車內(nèi)剩余人數(shù)（vd）都會(huì)影響乘客的等車費(fèi)用．于是，等車路段a的費(fèi)用函數(shù)可表示為

式中：α1，β1和ρ為正的參數(shù)；ub為緊接路段a的車輛運(yùn)行路段b的公交線路運(yùn)營(yíng)能力．設(shè)vb為路段b的客流，根據(jù)流量守恒公式vb＝va＋vd，式（1）可變形為

式中：參數(shù)β1的取值范圍在0和1之間．

車輛運(yùn)行路段b的費(fèi)用包括兩部分，即與流量無(wú)關(guān)的車輛運(yùn)行時(shí)間費(fèi)用tb（對(duì)于城市道路網(wǎng)絡(luò)中運(yùn)行的公交車輛，假設(shè)私家車輛對(duì)其速度沒(méi)有影響）和由車內(nèi)擁擠造成的不舒適度費(fèi)用，則車輛運(yùn)行路段b的費(fèi)用函數(shù)形式可表示為

式中：α2為正的參數(shù)．

3 公交均衡配流模型

假設(shè)W 為公交網(wǎng)絡(luò)OD對(duì)的集合，在一個(gè)擁擠程度不是很大的公交網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)于任意一個(gè)OD對(duì)w∈W，如果公交路段流量滿足方程

一般認(rèn)為此公交網(wǎng)絡(luò)路段流量可行．方程（4）為路徑流量和OD需求之間的守恒關(guān)系，其中：Rw為OD對(duì)w之間的可行路徑集，hr為路徑r∈Rw上的公交流量；gw為OD對(duì)w之間的公交需求量．方程（5）為路徑流量和路段流量之間的關(guān)聯(lián)等式．式中：R為可行路徑集；A為公交路段集；δar為路段a與路徑r之間的關(guān)聯(lián)矩陣元素，a在r上時(shí)取1，否則取0．方程（6）為公交車輛運(yùn)行路段能力約束，B為公交車輛運(yùn)行路段集合．

如果公交網(wǎng)絡(luò)客流處于非常擁擠的狀態(tài)，則在式（4）守恒的前提下式（6）很難得以滿足．為了使公交配流結(jié)果滿足線路運(yùn)營(yíng)能力約束，必需從過(guò)多的總需求中剔除剩余OD量．將OD對(duì)w中由于公交路段流量已飽和而產(chǎn)生的剩余OD量記為dw．dw的取值必需滿足以下2個(gè)條件：（1）若OD需求gw未造成公交路段能力約束的破壞，則dw＝0；（2）若OD需求gw在公交網(wǎng)絡(luò)上的配流結(jié)果破壞了公交路段能力約束，則dw≥0，以使式（6）繼續(xù)得以滿足．

為了滿足上述兩個(gè)條件，采納文獻(xiàn)［7］所建立超量需求網(wǎng)絡(luò)的思想，在OD對(duì)間增設(shè)一條虛擬路段．路段阻抗取為無(wú)限大的一個(gè)定值M，不隨客流大小而改變，也不受能力限制．進(jìn)行路網(wǎng)均衡配流時(shí)，當(dāng)流量未接近運(yùn)營(yíng)能力時(shí)，OD間真實(shí)公交路徑的出行費(fèi)用不超過(guò)M；而隨著流量漸漸接近運(yùn)營(yíng)能力，式（4）將抑制流量繼續(xù)增大的趨勢(shì)（具體求解時(shí)，可以通過(guò)加入懲罰項(xiàng)保證約束條件的成立）．此時(shí)，增設(shè)路段呈現(xiàn)兩點(diǎn)性質(zhì)：（1）當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中還有其他路徑可供選擇時(shí)，增設(shè)路段上的流量為0；（2）當(dāng)其他路徑都已達(dá)到飽和的狀態(tài)時(shí)，剩余OD量將轉(zhuǎn)入增設(shè)路段．

對(duì)比增設(shè)路段流量和剩余OD量發(fā)現(xiàn)，增設(shè)路段上的客流變量滿足dw取值的要求．因此可在所有OD對(duì)間增設(shè)一條費(fèi)用都為M的公交路段，對(duì)公交網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行變化．變化后的公交網(wǎng)絡(luò)中，假設(shè)路段集為ˉA，路徑集為ˉR．于是流量方程（4）、（5）變?yōu)?/p>

不管公交網(wǎng)絡(luò)擁擠狀況如何，可行的公交路段客流必定滿足關(guān)系式（6）～（8）．用Ω表示公交路段流量可行解集合．如果Ω中有滿足Wardrop均衡條件的解，且有運(yùn)營(yíng)能力約束的公交路段費(fèi)用都已附加懲罰項(xiàng)，則其公交用戶均衡配流模型可寫成以下變分不等式形式

式中：c（·）為公交路段的費(fèi)用向量；v為公交路段的客流向量；v＊為公交路段均衡解向量．由于公交網(wǎng)絡(luò)中等車路段費(fèi)用函數(shù)不具有對(duì)稱的雅可比矩陣，因此上述形式無(wú)法建立相應(yīng)的等價(jià)極值模型．

4 求解算法

即使費(fèi)用函數(shù)不具有單調(diào)遞增性，對(duì)角化算法的收斂性也很好［8］，論文采用對(duì)角化算法求解模型（9）．使用對(duì)角化算法求解問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)子問(wèn)題的處理，用ˉc（v）表示對(duì)角化后的公交路段費(fèi)用函數(shù)矩陣，則模型（9）產(chǎn)生的子問(wèn)題形式表述如下

式（10）中包含有車輛運(yùn)行路段上的客流能力約束，可以采用懲罰函數(shù)或拉氏乘子方法求解［9］．本文采用文獻(xiàn)［10］設(shè)計(jì)的內(nèi)罰函數(shù)求解方法，將式（10）轉(zhuǎn)化為無(wú)容量約束的問(wèn)題，由于該方法的子過(guò)程中仍保留F－W算法的形式，因此易于求解實(shí)施．

將內(nèi)罰函數(shù)法應(yīng)用于式（10）時(shí)，可將該問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)擴(kuò)展為

步驟0 預(yù)設(shè)γ0和σ（0＜σ＜1）值，將OD對(duì)w∈W 的增設(shè)路段流量設(shè)為gw，形成初始可行內(nèi)點(diǎn)v0，n＝1．和不變的增設(shè)路段費(fèi)用作為阻抗函數(shù)進(jìn)行客流全有全無(wú)分配．此時(shí)產(chǎn)生一組路段流量ya，a∈ˉA．

步驟3 尋找使Z（xk＋λ（y－xk），γn）最小化的步長(zhǎng)λ＊，步長(zhǎng)范圍限定為0≤λ≤ min｛1，

步驟6 如果｜P（vn，γn）／Z（vn，γn）｜≤K2或者n＝MN2就停止；否則，γn＋1＝σγn，n：＝n＋1返回步驟1．

算法中，K1和K2是預(yù)先確定的收斂標(biāo)準(zhǔn)，MN1和MN2是最大允許迭代數(shù)，P（vn，γn）＝｛lg（ua－vna）－lg（ua）｝是擴(kuò)展目標(biāo)函數(shù)的若罰項(xiàng)與擴(kuò)展目標(biāo)函數(shù)值相比足夠小的話，即判定算法收斂．由于問(wèn)題P中各OD對(duì)間都增設(shè)了1條無(wú)容量限制的路段，因此開(kāi)始將OD需求量全部分配在這些路段上，便能形成初始內(nèi)點(diǎn)，不需要使用尋找初始內(nèi)點(diǎn)的算法，加快了求解效率．

5 算 例

圖3的擴(kuò)展公交網(wǎng)絡(luò)含有一個(gè)OD對(duì) （N1，N4），首先在OD間增設(shè)1條無(wú)能力約束、費(fèi)用無(wú)窮大的公交路段（此處費(fèi)用取1 000 min）．與費(fèi)用函數(shù)相關(guān)的系數(shù)取α1＝α2＝1，β1＝0．2，ρ＝2，下車路段費(fèi)用取為0，其他參數(shù)及相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1．OD需求分別取100和240人的配流結(jié)果如表中第4，5列所示．當(dāng)需求為100人時(shí)，網(wǎng)絡(luò)擁擠程度不是很大，此時(shí)剩余OD量為0，即所有乘客的公交出行需求都得到滿足．當(dāng)需求為240人時(shí)，公交網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出超級(jí)擁擠的狀態(tài)，從起點(diǎn)（N1）出發(fā)的兩條線路L1，L2都被乘客擠滿，流量趨于能力大小，而運(yùn)算得到的剩余OD量為41，即有41個(gè)乘客因?yàn)閾矶挛茨茉谝?guī)定時(shí)段坐上公交車輛．

上述算例中，OD對(duì)（N1，N4）間存在5條實(shí)際路徑和1條虛擬路徑．公交實(shí)際路徑用車輛運(yùn)行路段表示分別為R1），R2），R3，，），R4（，），R5（L12，L13，L14）．圖3顯示需求為240的情形下均衡配流后公交實(shí)際路徑出行費(fèi)用．對(duì)角化算法最后一次迭代對(duì)P問(wèn)題的解中，實(shí)際 路 徑 的 懲 罰 費(fèi) 用 分 別 是966．54，963．29，963．29，999．51，1 002．34 min．將實(shí)際路徑的出行費(fèi)用與懲罰費(fèi)用相加即為含有懲罰項(xiàng)的路徑總費(fèi)用，對(duì)比后得出OD間最小總費(fèi)用公交出行路徑包含R1，R2，R3以及虛擬路徑，因此乘客公交出行可選擇的最小路徑為R1，R2和R3．但是觀察圖3發(fā)現(xiàn)R1的實(shí)際出行費(fèi)用比R2和R3小，說(shuō)明求解算法已經(jīng)考慮了R1的容量限制條件．

表1 參數(shù)及不同需求公交均衡配流結(jié)果

圖3 需求240情形下公交路徑出行費(fèi)用

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)擁擠影響和能力限制雙重約束下的公交用戶均衡配流問(wèn)題設(shè)計(jì)模型與算法．模型通過(guò)在OD間增設(shè)阻抗無(wú)窮大的路段，尤其能夠解決超級(jí)擁擠公交網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)下乘客需求過(guò)剩的公交均衡配流問(wèn)題，以此保證公交線路的能力限制條件真正得以滿足．算例證明了內(nèi)罰函數(shù)法求解對(duì)角化后的子問(wèn)題是可行的，只是求解過(guò)程較為復(fù)雜，如何提高求解效率仍需進(jìn)一步研究．

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