林國龍 尹利賢

（上海海事大學(xué)物流研究中心 上海 200135）

0 引 言

鑒于干散貨航運市場自身的市場特性，其在受到企業(yè)自身經(jīng)營狀況的影響外，注定還受到世界經(jīng)濟和政治發(fā)展、干散貨航運市場的供求關(guān)系、投機因素、自然因素等的沖擊，這就引起干散貨國際航運市場運價的劇烈波動，給市場參與者帶來了巨大的經(jīng)營風(fēng)險．為此，Tvedt［1］以BIFFEX（波羅的海運費指數(shù)期貨）為基礎(chǔ)建立了一個期權(quán)定價模型，給出了航運費率市場的一些特征．Kavussanos和 Nomikos［2］提出了關(guān)于運價期貨市場最優(yōu)對沖的理論并給出實證研究結(jié)果．1992年，遠(yuǎn)期運費協(xié)議（forward freight agreement，F(xiàn)FA）進(jìn)入市場．Kavussanos［3］與其他學(xué)者合作既研究了遠(yuǎn)期與即期運價之間的波動性關(guān)系，也檢驗了FFA隨時間變化的套期保值率在降低運費風(fēng)險上的有效性．Kavussanos［4］等人就注意到相較于目前干散貨FFA的結(jié)算價格是基于交割月的最后七個交易日的平均價格，1999年11月以前的干散貨FFA的結(jié)算價格是基于交割月的最后5個交易日的平均價格．這樣的清算方法能很好的模擬船隊的現(xiàn)金流，也就能提高對沖能力．Kemna和Vorst［5］通過改變波動率和敲定價格提出了一個幾何平均期權(quán)的定價解析公式，但是得不出算術(shù)平均期權(quán)模型．Rogers和Shi［6］提出了用有限差分法來解析亞式期權(quán)問題，他們根據(jù)比例縮放的性質(zhì)，將平均亞式期權(quán)價格計算簡化為解一個二元拋物線偏微分方程．但這種方法僅適用于較低的波動率和較短的到期時間．

運費期權(quán)的意義在于，它為航運經(jīng)營者和投資者提供了一種效率更高的航運金融工具．將期權(quán)引入航運市場，只是為航運經(jīng)營者和投資者提供了一種新的選擇，而航運經(jīng)營者和投資者可以根據(jù)其對風(fēng)險的承受程度選擇更適合自己的運價交易工具．運費期權(quán)既可以在OTC場外交易，也可以選擇交易所進(jìn)行清算．

1 定價模型框架

1．1 模型的假設(shè)條件

假設(shè)市場投資者能自由進(jìn)出市場，且借入利率和貸出利率相等，均為無風(fēng)險利率r．另外，假設(shè)存在風(fēng)險中性測度Q與測度P等價的鞅測度．基本的FFA是一種現(xiàn)金結(jié)算合同，等于St的算術(shù)平均值與FFA價格F（t，0，T）之差再乘以一個常數(shù)D，D不僅取決于價格是按美元／天還是美元／噸計算，D還取決于FFA協(xié)議覆蓋的日歷年的天數(shù)以及協(xié)議中涉及的船型等．FFA的值可通過T時刻得到的現(xiàn)金流折算得到，并計算鞅測度Q下的條件期望．因為進(jìn)入FFA市場不需要花費任何成本，因此，可得下式

在Black－Scholes環(huán)境下，即期和遠(yuǎn)期價格均服從對數(shù)正態(tài)分布（或幾何布朗運動）．在風(fēng)險中性世界中，在鞅測度下，原生資產(chǎn)的連續(xù)模型是適合幾何布朗運動的，因此，用幾何布朗運動來描述即期運費的動態(tài)性．

式中：St為t時刻原生資產(chǎn)（航運運價指數(shù)）的現(xiàn)貨價格，不可交易；μ，σ均為常數(shù)，其中μ為期望回報率，σ為波動率；Wt為隨機布朗運動．

根據(jù)Girsanov定理，進(jìn)行測度變換得到St在風(fēng)險中性測度Q下的微分為

式中：λ＝（μ－σr）為一實值函數(shù)，其中r為風(fēng)險溢價，且r＝

式（4）的解即為在鞅測度Q意義下，原生資產(chǎn)價格的運行規(guī)律為

亞式期權(quán)可以看作是歐式期權(quán)在遠(yuǎn)期協(xié)議下的一種推廣．下面僅以亞式看漲期權(quán)為例．亞式看漲期權(quán)的價格在到期日T的值依賴于整個路徑的均值

于是，該期權(quán)在到期日的收益為max（St－K）＋．由于在鞅測度Q下，原生資產(chǎn)（航運均價指數(shù)）折現(xiàn)價格為一鞅，因此，敲定價格為K的算術(shù)平均亞式上漲期權(quán)的價格由折現(xiàn)條件期望給出：

式中：CF（K，t）為敲定價為K的算術(shù)平均亞式看漲期權(quán)在時刻t的價格；EQ（·）為在概率測度Q下求期望．

1．2 FFA價格的近似計算

由式（2）知，F(xiàn)FA價格F（t，0，T）為測度Q 下現(xiàn)貨價格S期望的算術(shù)平均，即F（t，0，T）由平均價格決定．為計算平均價格，將期權(quán)的有效期［0，T］進(jìn)行n等分，設(shè)第i個時刻為Ti，則Si為運費在Ti時刻的值，則其算術(shù)平均價格SA＝根據(jù)假設(shè)，各個時段的運費價格均遵循幾何布朗運動，但算術(shù)平均價格SA已不再服從對數(shù)正數(shù)分布，這樣就很難找到SA的密度函數(shù)．所以，考慮用對數(shù)正態(tài)分布Q（t）近似代替運費現(xiàn)貨價格的算術(shù)平均值SA，從而找到亞式看漲期權(quán)價格C（t，T）的近似值．

式中：W（t）為維納過程．

由于用Q（t）近似作為SA的近似值，所以參數(shù)ˉμ，ˉσ必須使Q（t）與SA的一階矩和二階矩相等．

當(dāng)對n取極限，離散情況就轉(zhuǎn)換成連續(xù)情況，有

這樣，由Q（t）與SA的一階矩和二階矩相等，列方程可解得

因此，在無風(fēng)險收益率為ˉμ，運費價格St的波動率為ˉσ的情形下，初始價格為S0，執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)價格則為

由于用幾何布朗運動Q（t）＝S0eX（t），作為SA的 近 似 值，因 此 用 E｛［Q（T）－K］＋｝代 替E｛［SA－K］＋｝就可得到無風(fēng)險利率r，波動率σ，初始價格S0和執(zhí)行價格K的情形下的看漲期權(quán)價格C（t，T）的近似值，即為

N（x）是標(biāo)準(zhǔn)累積正態(tài)分布函數(shù)．相應(yīng)的，看跌期權(quán)也可以近似得出．

1．3 運費期權(quán)價格

從式（1）和式（2）可以看出FFA的合約價格F（t，0，T）可以被定義為［0，T］時間段內(nèi)，時刻t到交付時間T之間價格的算術(shù)平均，即亞式期權(quán)就是歐式期權(quán)在遠(yuǎn)期協(xié)議下的應(yīng)用．由式（2）知，設(shè)定運費期權(quán)中存在敲定價格K，且以T為到期日的看漲期權(quán)的收益可以等價的表示為

類似的，看跌期權(quán)的表達(dá)式為

從金融學(xué)理論可知，未定權(quán)益期權(quán)的價值可由定價測度下的預(yù)期收益減去無風(fēng)險利率產(chǎn)生的收益給出．相應(yīng)的，對于到期日為T的亞式期權(quán)，在t＜T時刻看漲期權(quán)的價值C（t，T）和看漲期權(quán)價值P（t，T）分別可由以下式子得出：

具有固定敲定價格K和交易日期 的亞式看漲期權(quán)可以表述為

同理，相應(yīng)的看跌期權(quán)可以表示為

2 實際操作

如前所述，F(xiàn)FA合約和運費期權(quán)的結(jié)算價格均為結(jié)算期合同航線的平均價格，而結(jié)算期一般為合約月份的最后7個交易日或者整個合約月份．這2種結(jié)算程序不會同時使用于一份協(xié)議中（盡管在OTC市場上，參與雙方可以根據(jù)自己的意愿自由協(xié)定結(jié)算合約），選擇合適的固定期對運費期權(quán)定價來說是很有用的．

假設(shè)租船人現(xiàn)有一份0．5 a后到期的看漲期權(quán)合約，即期運費為22 500美元／d，敲定價格K＝25 000美元／d，即期運費的隱含波動率為σ＝30%．設(shè)定風(fēng)險中性運費漂移率為λ＝0．03．在實際的定價實例中，將觀察到的FFA價格作為輸入量，常數(shù)D為每個月的日歷天數(shù)，為便于計算將0．5 a計為180 d，根據(jù)之前的公式用EXCEL求解可得相應(yīng)的日期權(quán)價格為1 200美元．如果一個看漲期權(quán)在到期時市場的運費價格高于合約中的敲定價格，就可以執(zhí)行手中這個看漲期權(quán)，這時，總的運費率就是該期權(quán)執(zhí)行的敲定價格與期權(quán)價格之和．當(dāng)市場的運費價格低于期權(quán)敲定價格的時候，該期權(quán)是沒有價值的，這時總的運費率就是市場上即期運費率與期權(quán)價格之和．通過EXCEL進(jìn)行蒙特卡洛模擬（模擬10 000次）得到半年后的平均運費為26 562美元，因為高于敲定價格，所以行使期權(quán)，那么運費率即為4 717 000美元．如果沒有買期權(quán)合約，則所付費用為4 781 160美元．這樣就實現(xiàn)了套期保值，維護(hù)了自己的利益［7－9］．

3 結(jié)束語

考慮到具有固定敲定價格的算術(shù)平均亞式期權(quán)不能輕易得到顯性解，本文將運費期權(quán)轉(zhuǎn)化為一類特殊的歐式期權(quán)來進(jìn)行計算期權(quán)金．但是在對FFA的價格進(jìn)行推導(dǎo)的過程中，運費現(xiàn)貨價格的算術(shù)平均值SA不再服從幾何布朗運動，因此采用數(shù)學(xué)上對連續(xù)問題所慣常采用的方法，即轉(zhuǎn)換成離散問題，最后求極限．在此筆者用幾何布朗運動近似代替離散時間下的算術(shù)平均亞式期權(quán)價格，得到其一階矩和二階矩后，通過對一階矩和二階矩求極限，得到了與連續(xù)情況下算術(shù)平均價格的一階矩和二階矩相等的結(jié)果，這樣，連續(xù)問題就被轉(zhuǎn)換成離散問題，給實際操作帶來了便利．但運費期權(quán)作為一種新興的期權(quán)，其定價問題仍處于初步探索階段，如運費期權(quán)的其他特性，周期變化，以及隱含波動率的估算本文都沒有涉及到，這也是日后值得研究的課題．

［1］Tvedt J．Valuation of a european futures option in the BIFFEX market［J］．Journal of Futures Markets，1998，18（2）：167－175．

［2］Kavussanos M G，Nomikos N．Futures hedging when the structure of the underlying asset changes：the case of the BIFFEX contract［J］．Journal of Futures Markets，2000，20（23）：775－801．

［3］Kavussanos M G，Visvikis I，Roy A．Batchelor，over－the－Counter forward contracts and spot price volatility in shipping［J］．Transportation Research Part E，2004，40：273－296．

［4］Kavussanos M G，Visvikis M A．An investigation of the use of risk management and shipping derivatives［C］∥Proceedings for the annual conference of the International Association of Maritime Economists（IAME），Limassol，Cyprus，2005：23－25 June．

［5］Kemna A，Vorst A．A pricing method for options based on average asset values［J］．Journal of Banking and Finance，1990，14：129－133．

［6］Rogers L C G，Shi Z．The value of an Asian option［J］．Journal of Applied Probatility，1995，32：1 077－1 088．

［7］Dinwoodie，Morris．Tanker forward freight agreements：the future for freight future［J］．Maritime Police and Management，2003，30（1）：45－58．

［8］姜禮尚．期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型和方法［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［9］許子飛．油輪市場亞式期權(quán)定價和操作策略研究［D］．大連：大連海事大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，2010．