曲思源 徐行方 洪 玲

（同濟(jì)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院1） 上海 201804） （上海鐵路局調(diào)度所2） 上海 200071）

公交車輛發(fā)車時(shí)刻表是公共交通管理系統(tǒng)中重要的計(jì)劃表，是調(diào)度員工作以及車輛正常運(yùn)行的最基本依據(jù)．編制車輛發(fā)車時(shí)刻表最關(guān)鍵的問(wèn)題就是確定發(fā)車間隔．伴隨著我國(guó)城際鐵路的發(fā)展，“大運(yùn)量、小編組、高密度、公交化”的運(yùn)營(yíng)模式營(yíng)模式使得城際鐵路在城際客運(yùn)通道中客流分擔(dān)率逐漸上升．為確保城際公交車客流分擔(dān)率保持平穩(wěn)或上升，同時(shí)滿足旅客出行需要，城際公交車發(fā)車間隔應(yīng)當(dāng)按照“以人為本”的原則，以較高的行車密度、較少的旅客候車時(shí)間，實(shí)現(xiàn)旅客方便、便捷、快速地出行，即旅客在一定的時(shí)間范圍內(nèi)，幾乎不受車輛到發(fā)時(shí)刻限制，可隨到隨走，并以較短的旅行時(shí)間到達(dá)目的地．一般說(shuō)來(lái)，城際公交車發(fā)車間隔要根據(jù)不同時(shí)間內(nèi)乘客需求的變化來(lái)制定不同時(shí)段的發(fā)車間隔時(shí)間，可將時(shí)段劃分為早高峰、平峰和晚高峰3個(gè)不同時(shí)段，特別是高峰時(shí)段，其開(kāi)行車次的間隔時(shí)間優(yōu)化是衡量城際公交運(yùn)營(yíng)質(zhì)量重要的參數(shù)．在研究發(fā)車間隔方面，已有文獻(xiàn)多是在發(fā)車間隔均等的前提下展開(kāi)研究的，如文獻(xiàn)［1］將車輛出行費(fèi)用描述為計(jì)劃延誤費(fèi)用和車內(nèi)費(fèi)用兩部分，以旅客出行費(fèi)用和鐵路成本費(fèi)用最小化為目標(biāo)建立了優(yōu)化模型并進(jìn)行了分析求解．文獻(xiàn)［2］建立了理想狀態(tài)下的城際軌道交通旅客候車時(shí)間總和數(shù)學(xué)期望最小的多目標(biāo)規(guī)劃模型．本文將旅客到達(dá)城際公交站發(fā)站的過(guò)程視為隨機(jī)過(guò)程，模擬旅客提前到站候車時(shí)，根據(jù)公交車不同停站類型有多輛車選擇乘坐的實(shí)際，建立起不均等的公交車開(kāi)行間隔時(shí)間優(yōu)化模型和相應(yīng)旅客候車等待時(shí)間的數(shù)學(xué)模型，以便為城際公交運(yùn)營(yíng)組織的優(yōu)化提供借鑒．

1 泊松過(guò)程

定義1 若｛N（t），t∈［0，＋∞）］為一計(jì)數(shù)過(guò)程，當(dāng)滿足如下條件：N（0）＝0；對(duì)于任意的s≥t≥0，Δt＞0，增量N（s＋Δt）－N（t＋Δt）與 N（s）－N（t）具有相同的分布函數(shù)；對(duì)于任意的正整數(shù)n，任意的非負(fù)實(shí)數(shù)0≤t0≤t1≤…≤tn，增量N（t1）－N（t0），N （t2）－N （t1），…，N （tn）－N（tn－1）相互獨(dú)立；對(duì)于足夠小的 Δt，有

則稱｛N（t），t∈［0，＋∞）］是強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，其數(shù)學(xué)期望

引理1 設(shè)｛N（t），t≥0｝是一泊松過(guò)程，N（t）表示［0，t）內(nèi)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)，以τn表示第n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的到達(dá)時(shí)刻，n＝1，2，…，其累計(jì)分布函數(shù)和概率密度分別為［3］

引理2 設(shè)｛N（t），t≥0｝在［0，t）時(shí)段內(nèi)進(jìn)入含有n個(gè)子系統(tǒng)L的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)獨(dú)立地以概率Pj，（j＝1，2，…，m； ＝1）進(jìn)入L的第j個(gè)子系統(tǒng)，用Nj（t）表示在［0，t）時(shí)段內(nèi)進(jìn)入第j個(gè)子系統(tǒng)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)，若N（t）服從強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，則N（t）＝ （t），｛Nj（t）相 互 獨(dú) 立；j ＝ 1，2，…，m｝，且 固 定t，｛Nj（t）｝是強(qiáng)度為λPj的泊松過(guò)程．

引理3 設(shè)｛N（t），t≥0｝是強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)t＞0，若N（t）＝n＞0，則該過(guò)程的前n個(gè)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的時(shí)刻（τ1，τ2，…，τn）和n個(gè)在［0，t］上均勻分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量（U1，U2，…，Un）的次序統(tǒng)計(jì)量有相同的n維聯(lián)合分布［4］．

2 模型建立

2．1 公交車開(kāi)行間隔時(shí)間模型

根據(jù)大量的數(shù)據(jù)調(diào)查可知，有60%的旅客愿意提前30～60 min到達(dá)始發(fā)站．定義旅客候車時(shí)間是指旅客到公交始發(fā)站候車時(shí)起至乘坐某一輛車次出發(fā)時(shí)止的整個(gè)過(guò)程．某同一方向，旅客一般按照車次時(shí)刻表提前到站候車，且有不同停站方案的多輛車次可供選擇．針對(duì)旅客候車的實(shí)際，模擬同一去向的旅客在［0，t］內(nèi)陸續(xù)到達(dá)始發(fā)站，該始發(fā)站安排Aj（1≤j≤m）輛供旅客選擇，設(shè)到達(dá)該始發(fā)站的旅客數(shù)N（t）是一服從強(qiáng)度λ的泊松過(guò)程，每個(gè)旅客進(jìn)入Aj輛車的概率分別為pj（j＝1，2，…，m ＝1），用 Nj（t）表示在［0，t）時(shí)段內(nèi)進(jìn)入第Aj輛的隨機(jī)旅客數(shù)，根據(jù)引理2可知N（t）＝ （t），｛Nj（t）相互獨(dú)立；j＝1，2，…，m｝，并且｛Nj（t）｝是強(qiáng)度為λPj的泊松過(guò)程．以τn，j表示Aj輛車第n個(gè)旅客的到達(dá)時(shí)刻，n＝1，2，…，則累計(jì)分布函數(shù)和概率密度分別為

假設(shè)當(dāng)旅客到達(dá)數(shù)為n時(shí)，該輛便發(fā)車，即第n位旅客到達(dá)的數(shù)學(xué)期望為該次車輛等待時(shí)間的數(shù)學(xué)期望

令A(yù)j輛發(fā)車的時(shí)間為tj，有

則合理的車輛間隔為

根據(jù)分布函數(shù)的定義，有Fτn，j（t）＝P（τn，j≤t），注意到｛τn，j≤t｝表示第n個(gè)旅客在時(shí)刻t之前出現(xiàn)，這就意味著在［0，t）內(nèi)至少到達(dá)了n個(gè)旅客，于是有

若令n表示定員時(shí)，理論上可用Fτn，j表示Aj輛的上座率，根據(jù)式（4）、（7）可分別求得每輛的上座率ρj．

2．2 旅客等候時(shí)間模型

設(shè)［0，t）時(shí)段內(nèi)進(jìn)入 Aj輛車旅客數(shù)Nj（t），設(shè)第i個(gè)旅客到達(dá)車站的時(shí)刻為Wji，則在［o，t］到達(dá)車站的旅客等待Aj時(shí)間總和為［5－7］

因?yàn)?/p>

記｛Yi，1≤i≤n｝為［0，t］上獨(dú)立同均勻分布的隨機(jī)變量，Y（1）≤Y（2）≤…≤Y（3）為相應(yīng)的順序統(tǒng)計(jì)量．由引理3，存在

因此

所以

3 算例分析

某一城際公交站早高峰時(shí)段內(nèi)，允許最小開(kāi)行間隔時(shí)間為5 min，采用同一型號(hào)車，每車定員為50人，在某一高峰時(shí)段內(nèi)，擬安排4種類型，以沿線所設(shè)站為衡量標(biāo)準(zhǔn)，即一站直達(dá)A、跨線運(yùn)行（三站起停）B、快車（二站起停）C和慢車（站站停）D四種類型，同一去向的旅客到達(dá)車站服從泊松過(guò)程，其到達(dá)強(qiáng)度λ＝50人／min，準(zhǔn)備安排9輛車該時(shí)段始發(fā)，始發(fā)順序?yàn)?～9（車次代號(hào)），通過(guò)客流調(diào)查，旅客進(jìn)入每輛車的概率分別為

求合理的始發(fā)間隔時(shí)間和旅客候車等待每次輛車的平均等待時(shí)間總和．

根據(jù)式（1）、（8）、（11），可計(jì)算各車次間隔時(shí)間計(jì)算表，見(jiàn)表1．

表1 各車次間隔時(shí)間計(jì)算表

顯見(jiàn)，在［0，80］的時(shí)間時(shí)段內(nèi)，可分別求得各車輛在該始發(fā)站發(fā)車不均等的間隔時(shí)間，其中第4輛和第3輛采取追蹤運(yùn)行模式，即兩輛車間隔時(shí)間僅為5 min，該模型能為采取公交車輛追蹤開(kāi)行方式的原因提供理論依據(jù)．同時(shí)，也能驗(yàn)證，若分解概率越低，各車次發(fā)車間隔時(shí)間將越長(zhǎng)．

4 結(jié)束語(yǔ)

城際公交始發(fā)站發(fā)車間隔時(shí)間是基于公交化運(yùn)營(yíng)模式，據(jù)旅客到達(dá)強(qiáng)度，采用隨理論求得的不確定模型．考慮到每一時(shí)段旅客到達(dá)車站強(qiáng)度分配各次輛車的強(qiáng)度值是模型優(yōu)化的必要條件，因此需要深入進(jìn)行客流調(diào)查，以便取得準(zhǔn)確的數(shù)值．輛車開(kāi)行不均等間隔時(shí)間模型同時(shí)能為輛車開(kāi)行方案的優(yōu)化提供了新的思路．城際公交車發(fā)車間隔除根據(jù)乘客需求、車型定員、滿載率外，還要依據(jù)行駛速度、停站安排和時(shí)間、線路通行能力、交通流量等因素綜合確定，其車輛間隔時(shí)間優(yōu)化有待進(jìn)一步分析．

［1］秦 進(jìn)，史 峰．公交化城際輛車的最優(yōu)時(shí)刻表研究［EB／OL］．［2011－10－11］中國(guó)科技論文在線．http：／／www．paper．edu．cn．

［2］廖 勇．公交化城際列車開(kāi)行間隔優(yōu)化［J］．鐵道學(xué)報(bào)，2010，32（1）：8－12．

［3］李裕奇．隨機(jī)過(guò)程［M］．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2003．

［4］王志剛．應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程［M］．合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009．

［5］肖龍文，史 峰．鐵路公交化旅客列車開(kāi)行方案優(yōu)化［J］．湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009（1）：55－58．

［6］謝如鶴，宗 巖，王榮華，等．城際鐵路客運(yùn)公交化的綜合評(píng)價(jià)［J］．廣州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005（1）：78－82．

［7］許煥衛(wèi)，黃洪鐘，張 旭．基于模糊折中規(guī)劃的穩(wěn)健多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］．大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007（3）：56－60．