張 雁

(安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院管理工程系，安徽 合肥 230051)

基于微元法的油罐變位識別與罐容表標(biāo)定研究

張 雁

(安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院管理工程系，安徽 合肥 230051)

為考察儲油罐在縱向變位與橫向傾斜下對罐容表的影響以及罐容表標(biāo)定問題，利用微元法思想和數(shù)據(jù)擬合的方法對此進(jìn)行了分析與研究。給出罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)α、β之間的函數(shù)關(guān)系，并確定出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。數(shù)據(jù)檢測表明，該方法的可操作性強(qiáng)。

變位；標(biāo)定；數(shù)據(jù)擬合；微元法

通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，在使用一段時間后，由于地基變形等原因，罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，罐內(nèi)高度也會有一定的變化，導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。因此，為了測量罐體變位后對罐內(nèi)高度和儲油量的影響，建立關(guān)于罐體變位對罐容表影響的數(shù)學(xué)模型十分關(guān)鍵，并主要考慮以下2個問題[1]，即問題Ⅰ：對于小橢圓型儲油罐(兩端平頭的橢圓柱體)，分別考察罐體無變位和傾斜角為α=4.1°的縱向變位情況，建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值；問題Ⅱ：對于實(shí)際儲油罐，建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)(縱向傾斜角度α和橫向偏轉(zhuǎn)角度β)之間的一般關(guān)系，然后利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)，根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。為此，筆者基于微元法對油罐變位識別與標(biāo)定模型進(jìn)行了分析和研究。

1 模型分析與求解

1.1問題Ⅰ的分析與求解

圖1 油位高度與儲油罐側(cè)面圖

首先，對文獻(xiàn)[1]給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以油位高度為橫坐標(biāo)、總儲油量為縱坐標(biāo)畫出散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖可知總儲油量與油位高度近似存在線性關(guān)系。為進(jìn)一步了解總儲油量與油位高度的關(guān)系，應(yīng)建立數(shù)學(xué)模型來討論罐體變位對罐容表的影響。假設(shè)測定過程中沒有燃油揮發(fā)，且將浮標(biāo)看成一個點(diǎn)，儲油罐體的厚度忽略不計。

油位高度與儲油罐側(cè)面圖如圖1所示。利用圖1可求得橢圓罐體左側(cè)油位高度h1=h+0.4tanα，橢圓罐體右側(cè)油位高度h2=h-2.05tanα，橢圓最低點(diǎn)的坐標(biāo)(0,-0.6)，故對側(cè)面面積的積分上限分別為：

m1=h1-0.6=h+0.4tanα-0.6m2=h2-0.6=h-2.05tanα-0.6

(1)

式中，h為實(shí)際測得的油位高度；α為罐體縱向傾斜的角度。

(3)

(4)

相應(yīng)地，其體積為：

(5)

式中，V為罐體內(nèi)燃油的體積;Sl為橢圓罐體內(nèi)左側(cè)燃油所占面積；Sr為橢圓罐體內(nèi)右側(cè)燃油所占面積。

用文獻(xiàn)[1]的附表1中無變位和變位情況下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

圖2 模型儲油量與實(shí)驗(yàn)儲油量的相對誤差隨儲油高度的變化

1)無變位情況下 當(dāng)α=0時(即罐體無傾斜)，運(yùn)用Matlab軟件編制程序[2]，得出模型中油位高度與總儲油量關(guān)系的曲線以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中油位高度與總儲油量關(guān)系的曲線圖(見圖2)，從圖2可看出，2種曲線基本吻合。為求精確，再考察2種情況下總儲油量的相對誤差隨油位高度的變化。經(jīng)過檢驗(yàn)，模型仍存在一定誤差，但總體小于3.5%，在可控范圍內(nèi)。

2)變位情況下 當(dāng)α=4.1°時(即罐體發(fā)生縱向傾斜)，用無變位時的考察方法對模型結(jié)果和文獻(xiàn)[1]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，可以看出罐體發(fā)生縱向傾斜后，在總儲油量相同時，模型中的油位高度小于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中所給出的油位高度，即傾斜后實(shí)驗(yàn)油位高度的讀數(shù)偏高，這與實(shí)際情況相符合。最后求出模型儲油量和實(shí)驗(yàn)儲油量2種情況下的相對誤差，相對誤差總體小于2.5%，在可控范圍內(nèi)。

圖3 實(shí)際儲油罐的右側(cè)面圖

1.2問題Ⅱ的分析與求解

問題Ⅱ討論的對象是實(shí)際儲油罐，且變位方式包括縱向變位和橫向變位。為了建立模型，采用微元法求體積，將實(shí)際儲油罐分為3個部分(左、右側(cè)球冠體和中間圓柱體)，并分3個階段(無變位、縱向變位和橫向變位)進(jìn)行討論。

1)第1階段 在罐體無變位的情況下，此時的油位高度為h，建立體積V與實(shí)際測得的油位高度h的一般關(guān)系。首先將實(shí)際儲油罐的右側(cè)面圖(見圖3)分割為3部分。因?yàn)樽笥?邊對稱，2側(cè)的油罐冠狀部分體積相等，可利用微元法[4]求得2側(cè)冠狀部分的油罐體積和：

(6)

(7)

2)第2階段 對罐體只作縱向變位，此時的油位高度為h′，由此建立罐內(nèi)儲油量V與油位高度h′及變位參數(shù)(縱向傾斜角為α)之間的一般關(guān)系。

將罐體縱向變位后的體積劃分為3個部分V中2、V左邊和V右邊(見圖4)，分別記為Vm′、Vl和Vr，同理利用式(5)求解，可得實(shí)際儲油罐中間圓柱體體積Vm′為：

(8)

其中，S1、S2分別為罐體縱向變位后左側(cè)、右側(cè)燃油截表面所占的面積：

(9)

(10)

對于油罐體右邊截得體積的計算，可以將其空間立體進(jìn)行切割，按平行于儲油面的方向?qū)⑵淝懈畛珊苄〉闹骟w，右側(cè)冠狀截面是圓弧面，按照柱面與圓弧面的截面交線進(jìn)行積分(見圖5)，利用微元法進(jìn)行運(yùn)算：

(11)

圖4 儲油罐縱向傾斜變位后示意圖 圖5 實(shí)際罐體縱向變位后的右側(cè)面圖

由此可得罐體縱向變位后關(guān)于h′的罐體體積函數(shù)：

V1(h′)=Vl+Vm′+Vr

(12)

3)第3階段 在縱向傾斜α的基礎(chǔ)上橫向旋轉(zhuǎn)一個角度β時，此時的油位高度為h″。由于旋轉(zhuǎn)后油體的體積與未旋轉(zhuǎn)時的體積形狀沒有變化，而變化的只有油浮的位置(見圖6)，故可以先建立2種變位情況下高度的變化關(guān)系：

h′=R+(h″-R)cosβ

(13)

依據(jù)文獻(xiàn)[1]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的顯示油浮高度與顯示油量容積驗(yàn)證上述模型[5]，并算出相對誤差。通過模型擬合的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)誤差被控制在一定范圍內(nèi)，說明變位情形下的罐容標(biāo)定值與文獻(xiàn)[1]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是比較符合的(見圖7)。

圖6 發(fā)生2種變位時的油浮傾角示意圖 圖7 2種變位下罐容標(biāo)定變化擬合曲線

2 結(jié) 語

運(yùn)用微元法求體積的方式來建立關(guān)于體積與高度的模型，經(jīng)過檢驗(yàn)?zāi)Ｐ团c實(shí)際情況基本相吻合。由于建立的模型關(guān)系到積分問題，當(dāng)運(yùn)用到實(shí)際問題時計算非常復(fù)雜，而通過直接觀察數(shù)據(jù)，可以看到橢圓罐體內(nèi)油位高度與總儲油量存在線性關(guān)系，實(shí)際罐體內(nèi)總儲油量與油位高度的導(dǎo)數(shù)存在二次函數(shù)關(guān)系，據(jù)此簡化模型，再進(jìn)行檢驗(yàn)。該模型是通過微元法建立體積與高度的關(guān)系，在實(shí)際運(yùn)用中，可使用該模型求解多種與體積相關(guān)的問題，因而有進(jìn)一步推廣的價值。

[1]2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目[EB/OL].http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/d5ae730f57dea3208cae73f7635aeee8.html.

[2]曾建軍.Matlab語言與數(shù)學(xué)建模[M].合肥:安徽大學(xué)出版社,2005.

[3]趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4]吳贛昌.微積分[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2006.

[5]楊永勤,張洪英,司洋.Excel軟件在罐容計量中的應(yīng)用[J].油氣儲運(yùn),2008, 27(11):57-59.

[編輯] 李啟棟

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.06.005

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