王作啟

（中國石油遼河油田公司興隆臺采油廠，遼寧盤錦 124010）

三維懸鏈線井眼軌跡模型的數(shù)值計(jì)算

王作啟

（中國石油遼河油田公司興隆臺采油廠，遼寧盤錦 124010）

在三維懸鏈線軌道設(shè)計(jì)問題的非線性方程組的數(shù)值求解算法中，懸鏈線井段的坐標(biāo)增量是使用數(shù)值積分法來計(jì)算的，由于數(shù)值積分嵌套在迭代算法中，數(shù)值積分的計(jì)算成為影響設(shè)計(jì)方程組求解效率的主要因素。通過一些數(shù)學(xué)技巧推導(dǎo)出了垂深增量和水平投影長度增量的解析計(jì)算公式，從而在設(shè)計(jì)方程組的迭代算法中不必再使用數(shù)值積分法來計(jì)算垂深和水平投影長度增量。使用積分變量替換將北、東坐標(biāo)增量的積分計(jì)算式簡化成了另一種等價形式，使用這種新形式來計(jì)算數(shù)值積分，可以比原來的數(shù)值積分法節(jié)省三分之一的三角函數(shù)運(yùn)算次數(shù)，從而顯著提高整個設(shè)計(jì)方程組迭代算法的計(jì)算效率。

井眼軌道；大位移井；懸鏈線井身；數(shù)值積分

在大位移井的井眼軌道設(shè)計(jì)中，為了盡量減小鉆柱的摩阻、改善鉆柱的受力情況，在20世紀(jì)80年代出現(xiàn)了懸鏈線井身剖面［1］，并在大位移井的鉆井實(shí)踐中顯示出了其優(yōu)越性。劉修善在二維懸鏈線設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)［2］上提出了三維懸鏈線軌道設(shè)計(jì)的新方法［3］，這種三維懸鏈線軌道設(shè)計(jì)新方法為懸鏈線在井眼軌道設(shè)計(jì)中的應(yīng)用開辟了一個新的研究領(lǐng)域。在劉修善給出的新方法中，提出了懸鏈線井段的井斜角和方位角隨井深變化的計(jì)算公式，以及定積分形式的井段坐標(biāo)增量公式。由于井斜角公式比較復(fù)雜，劉修善指出“需要使用數(shù)值積分法來計(jì)算懸鏈線軌道的坐標(biāo)增量”［3］。

通過較為細(xì)致的數(shù)學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)垂深坐標(biāo)增量和水平投影長度增量的定積分是可以求出原函數(shù)的，從而可以解析計(jì)算。而通過一些積分變量的變換，計(jì)算東、北坐標(biāo)增量的數(shù)值積分法可以簡化成使用較少次數(shù)三角函數(shù)運(yùn)算的另一種形式的數(shù)值積分公式。這些改進(jìn)措施，可以顯著地提高三維懸鏈線軌道設(shè)計(jì)方程組的迭代求解的計(jì)算速度。

約定：除非特別說明，本文公式中具有長度量綱的參數(shù)其單位為m，角度的單位為rad，井眼曲率、方位角變化率、井斜角變化率等參數(shù)的單位為rad／m。

1 懸鏈線井眼軌跡模型

井斜角方程如下［3］：

式中，α——懸鏈線井段上任意點(diǎn)處的井斜角；αb——井段開始點(diǎn)處的井斜角；ΔL——任意點(diǎn)的井深長度增量（從井段開始點(diǎn)算起）；a——懸鏈線的特征參數(shù)，m。

方位角方程如下［3］：

式中，φ——懸鏈線井段上任意點(diǎn)處的方位角；φb——井段開始點(diǎn)處的方位角；Kφ——井段上的方位角變化率。

井段坐標(biāo)增量計(jì)算公式如下［3］：

式中，ΔN——北坐標(biāo)增量，ΔE——東坐標(biāo)增量，ΔH——垂深增量，ΔS——水平投影長度增量，Lb——井段開始點(diǎn)處的井深。

在文獻(xiàn)［3］中，使用數(shù)值積分法來計(jì)算坐標(biāo)增量（3）～（6）；由于數(shù)值積分法本身也是一種近似計(jì)算法，而且在設(shè)計(jì)方程組的迭代求解中需要反復(fù)計(jì)算數(shù)值積分，數(shù)值積分的計(jì)算對設(shè)計(jì)方程組的求解效率也有較大的影響。

2 垂深增量的解析公式

式（10）就是垂深增量的解析計(jì)算公式，比起使用數(shù)值積分法來，式（10）不僅計(jì)算簡捷快速，而且（在理論上）是無誤差的。

3 水平投影長度的解析公式

式（12）就是水平投影長度增量的解析計(jì)算公式。

4 北、東坐標(biāo)增量的計(jì)算

經(jīng)過這樣的積分變元變換之后，式（3）可以改寫為：

因此，北、東坐標(biāo)增量的計(jì)算歸結(jié)為兩個積分函數(shù)c（x）和s（x）的計(jì)算。

5 數(shù)值積分的改進(jìn)計(jì)算

在計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算中，某個運(yùn)算所耗計(jì)算時間是按照以下順序從小到大排序的：加減運(yùn)算、乘除運(yùn)算、多項(xiàng)式運(yùn)算、三角函數(shù)運(yùn)算。因?yàn)樵贑＋＋等高級編程語言的數(shù)學(xué)庫中，三角函數(shù)一般是使用冪級數(shù)展開形式來進(jìn)行計(jì)算的，所以三角函數(shù)的計(jì)算遠(yuǎn)比其他三種計(jì)算更耗機(jī)時。因此，在高效科學(xué)計(jì)算中，通常原則是盡量減少算法中的三角函數(shù)運(yùn)算的次數(shù)［4－7］。

對于數(shù)值積分 的計(jì)算，可以使用著名的Simpson數(shù)值積分公式［8］：

可見在（26）中共需要計(jì)算n次三角函數(shù)。為使計(jì)算結(jié)果具有較高的精度，通常需要使用較小的步長h，或者較大的等分區(qū)間數(shù)n。

類似地，數(shù)值積分s（x）的計(jì)算也需要計(jì)算n次三角函數(shù)。因此，ΔN和ΔE的計(jì)算（使用式（21）～（24））一共需要計(jì)算2n＋2次三角函數(shù)。

而同樣使用Simpson積分公式但利用式（3）～（4）來計(jì)算ΔN和ΔE的話，需要3n次三角函數(shù)的計(jì)算。由于一般n比較大，故有：

因此，使用本文計(jì)算公式來計(jì)算北、東坐標(biāo)增量比使用文獻(xiàn)［3］的原始公式節(jié)省約三分之一的計(jì)算工作量。

6 數(shù)值算例

使用文獻(xiàn)［3］中的數(shù)據(jù)來驗(yàn)證本文公式的正確性。懸鏈線特征參數(shù)a＝3 449.22 m，懸鏈線井段的井深、井斜角和方位角的數(shù)據(jù)見表1。

表1 懸鏈線軌道的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)

在文獻(xiàn)［3］中，懸鏈線特征參數(shù)a和表1中的數(shù)據(jù)都是計(jì)算結(jié)果，實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)該是雙精度實(shí)數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后有16位有效數(shù)字），但這里都只取小數(shù)點(diǎn)后2位有效數(shù)字。使用本文提出的解析計(jì)算公式和改進(jìn)的數(shù)值積分計(jì)算公式來計(jì)算每個井段的坐標(biāo)增量，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 坐標(biāo)增量計(jì)算結(jié)果

與文獻(xiàn)［3］的表1數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，可以發(fā)現(xiàn)兩種計(jì)算方法所得到的結(jié)果僅在小數(shù)點(diǎn)后第2位上有些差別，而這種差別可以認(rèn)為是由于本文使用的原始數(shù)據(jù)的精度比文獻(xiàn)［3］的數(shù)據(jù)精度低所造成的。上述計(jì)算結(jié)果的對比驗(yàn)證了本文新公式的正確性。

7 特殊情況時的增量公式

前面討論了一般情況下的坐標(biāo)增量的計(jì)算公式。當(dāng)井段的方位角保持不變時，計(jì)算公式更加簡單。

當(dāng)在計(jì)算井段上φ≡φb時，從式（3）～（6）得：

式中ΔS由式（12）來解析計(jì)算。

8 結(jié)論

（1）推導(dǎo)出了三維懸鏈線井段的垂深增量和水平投影長度增量的解析計(jì)算公式。

（2）推導(dǎo)出了三維懸鏈線井段的北坐標(biāo)增量和東坐標(biāo)增量的另一種形式的積分公式，在進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算時，這種新形式的積分公式的計(jì)算工作量比原有形式的計(jì)算工作量減少約三分之一。

（3）使用本文提出的新的坐標(biāo)增量計(jì)算方法可以顯著提高三維懸鏈線軌道設(shè)計(jì)方程組的迭代求解時間。

［1］ 韓志勇.定向鉆井設(shè)計(jì)與計(jì)算［M］.北京：中國石油大學(xué)出版社，2007：160－164.

［2］ 劉修善.懸鏈線軌道設(shè)計(jì)方法研究［J］.天然氣工業(yè)，2007，27（7）：73－75.

［3］ 劉修善.三維懸鏈線軌道的設(shè)計(jì)方法［J］.石油鉆采工藝，2010，32（6）：7－10.

［4］ 《數(shù)學(xué)手冊》編寫組.數(shù)學(xué)手冊［M］.北京：人民教育出版社，1979：265，38.

［5］ 魯港，余雷，楊文舉.大位移井拋物線剖面設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算［J］.石油地質(zhì)與工程，2009，23（5）：81－83.

［6］ 盧毓周，竇同偉，魯港.自然曲線型三維井眼軌道設(shè)計(jì)的數(shù)值算法［J］.石油地質(zhì)與工程，2009，23（1）：101－104.

［7］ 魯港，鮑繼紅.自然曲線法測斜計(jì)算中的數(shù)值方法［J］.石油地質(zhì)與工程，2008，22（1）：72－74.

［8］ 施吉林，劉淑珍，陳桂芝.計(jì)算機(jī)數(shù)值方法［M］.北京：高等教育出版社，1999.

In the 3D catenary borehole trajectory design of nonlinear equations numerical algorithm，the coordinates increment of catenary section is calculated by numerical integral.As the numerical integral is nested in the iteration algorithm，the calculation of numerical integral method is the main factor influencing the design equation.Through some math skills，the increment of vertical depth and length increment of horizontal projection have been derived，thus in the design of the equations of iterative algorithm，the numerical integral method can not be taken to calculate vertical and horizontal length increment deep projection.By using integration variable displacement，the integral formula of northern and eastern coordinates is simplified to another equivalent form.With this new kind of numerical calculation，one third of the triangle function number operations can be saved compared with the original save.Thus the iterative algorithm computation efficiency of the whole design equations is obviously improved.

94Numerical calculation of 3Dcatenary borehole trajectory model

Wang Zuoqi（Xinglongtai Oil Production Plant of Liaohe Oilfield Company，PetroChina，Panjin，Liaoning 124010）

borehole trajectory；extended－reach well；catenary section；numerical integration

TE22

A

1673－8217（2012）03－0094－03

2011－11－28

王作啟，1963年生，1985年畢業(yè)于遼河石油學(xué)校，現(xiàn)從事井下作業(yè)、鉆井等技術(shù)工作。

李金華