張安明 虞偉喬 郭成豹

1 海軍駐大連船舶重工集團(tuán)有限公司軍事代表室，遼寧大連 116005 2 中國人民解放軍91656部隊(duì)，上海 200231 3 海軍工程大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430033

1 引 言

由于目前對復(fù)雜鐵磁目標(biāo)的磁性變化過程還不是很了解，因此即使是擁有完整的磁性歷史信息，也很難用精確的數(shù)學(xué)模型去描述這些復(fù)雜的物理過程。為了對鐵磁目標(biāo)的磁場進(jìn)行精確建模，有必要利用磁傳感器測量鐵磁目標(biāo)周圍特定區(qū)域的磁場分布，以根據(jù)測量數(shù)據(jù)重建鐵磁目標(biāo)的磁源分布。類似這樣的應(yīng)用包括：磁特征分析、無損檢測、電流測量以及生物磁學(xué)應(yīng)用等。在實(shí)際應(yīng)用中，所面臨的一個(gè)重要問題是磁傳感器的布置位置和需要布置的數(shù)量，特別是需在現(xiàn)存或預(yù)定義的磁傳感器組合陣列中進(jìn)行對比選擇。其中，最關(guān)鍵的就是要建立一種合適的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以對這些陣列形式的優(yōu)劣程度進(jìn)行評估。

本文將采用觀測矩陣的奇異值坡度作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對理想布置和簡化布置形式下的磁傳感器三分量陣列和垂直分量陣列進(jìn)行對比分析和評估，發(fā)現(xiàn)簡化三分量陣列是實(shí)際工程中最可取的陣列形式。

2 鐵磁目標(biāo)磁場信息獲取量評估方法

可將鐵磁目標(biāo)的磁場測量和建模問題描述為下述方程：

式中，bmag為具有m個(gè)磁場分量測量值的列向量；A（m×n）為觀測矩陣；Xture為源分布，被表示為一個(gè)長度為n的列向量；ε為列向量，表示噪聲。

在線性逆問題中，不確定性的一種相關(guān)來源是測量系統(tǒng)的不精確性 （如傳感器方位或位置變化），這些不精確性會影響到觀測矩陣A。在本文的分析中沒有考慮這種影響，因?yàn)樵阼F磁目標(biāo)反演建模中，這種影響所占的比重較小，通常這些問題呈現(xiàn)出超定 （即測量數(shù)據(jù)的數(shù)目大于未知參數(shù)數(shù)目）和病態(tài)的特點(diǎn)。問題的求解通常采用基于奇異值分解的正則化方法，如截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǎ═SVD）［1-4］。

觀測矩陣的條件數(shù)常被作為一種典型的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，但基于條件數(shù)的分析卻受限于這樣的事實(shí)：病態(tài)逆問題的解是由正則化算法獲得，而正則化算法中所采用矩陣的條件數(shù)與觀測矩陣的條件數(shù)又不同。此外，觀測矩陣的條件數(shù)等于最大奇異值與最小奇異值之間的比值，而未考慮到其它奇異值的作用。因此，本文采用奇異值坡度作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對鐵磁性目標(biāo)磁場反演建模所采用的陣列形式進(jìn)行對比分析。

為了得到觀測矩陣A，可以針對鐵磁目標(biāo)磁性磁場模型采用正演計(jì)算技術(shù)，本文采用了積分方程法［5-9］。本文的模型是基于一個(gè)虛擬鐵磁船舶的主船體結(jié)構(gòu)（圖1），長100m，寬10m，將其劃分為44個(gè)鐵磁薄板單元。

觀測矩陣A是病態(tài)的，且通常為非對稱。由于奇異值分解 （SVD）能夠處理非對稱和奇異矩陣，因而觀測矩陣A可表達(dá)為：

式中，U＝（u1，…，um），V＝（v1，…，vn）為正交矩陣；D＝diag（σ1，σ2，…，σn），為 A 的奇異值矩陣，降序排列。

式（1）的最小二乘解可表示為：

當(dāng)將觀測值b表示為真值與噪聲之和時(shí)，有b＝bt＋e，其中bt為真值，e為噪聲，從而可得式（2）的分解式為：

分析式（3）可知，噪聲對真解的污染主要反映在右式第2項(xiàng)，特別是當(dāng)奇異值σi異常小時(shí)，該污染項(xiàng)的值很大，甚至掩蓋了反映真解的右式第1項(xiàng)，這樣得到的解是沒有意義的。

為避免小奇異值導(dǎo)致的虛假解，可以采用被稱為正則化的特殊濾波技術(shù)，如截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǎ═SVD），TSVD法可將容易造成不穩(wěn)定的較小奇異值直接截去。對式（2）和式（3）進(jìn)行修改：

再適當(dāng)去除（n-k）個(gè)大污染項(xiàng)，其雖然恢復(fù)了一些解的主要特性，但同時(shí)也喪失了一些解的精確性。整數(shù)k是截?cái)鄥?shù)，同時(shí)也是正則化參數(shù)。

由此可見，在使用正則化方法求解靜磁逆問題的過程中，為了得到有效解，只保留了前k個(gè)奇異值，并得到了TSVD正則化解。TSVD的截?cái)帱c(diǎn)k的合理選擇取決于數(shù)據(jù)中的噪聲水平，可以按照不同的準(zhǔn)則進(jìn)行判斷。因此，在不同結(jié)構(gòu)的磁傳感器陣列中進(jìn)行選擇時(shí)，以觀測矩陣條件數(shù)作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的分析方法已不適用，而本文所采用的將奇異值的坡度作為觀測矩陣病態(tài)程度的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)則可得到更全面、深入的認(rèn)識。

本文擬將奇異值坡度分析法［10］用于鐵磁目標(biāo)的反演建模問題。首先，采用一種理想的磁傳感器陣列作為測量系統(tǒng)，并對上述鐵磁船舶模型進(jìn)行磁場測量，以作為參考標(biāo)準(zhǔn)。然后，構(gòu)建幾種常見的磁傳感器陣列形式，并與上述參考標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對比分析，從而得到一些有意義的結(jié)果。

為收集足夠的船舶磁場信息，設(shè)置了25×7＝175個(gè)三分量磁傳感器，均勻分布于船舶下方的大平面上（圖2），并測量船舶磁場的三分量。船舶中心點(diǎn)位于測磁平面中心的正上方，測磁平面的展布范圍為橫向［-15m，＋15 m］，縱向［-60m，＋60 m］，磁場測量點(diǎn)橫向與縱向間的間隔均為5 m。若利用三分量磁場測量結(jié)果，可以形成的線性方程組具有44×2＝88個(gè)未知數(shù) （各個(gè)單元的磁化強(qiáng)度分量），175×3＝525個(gè)方程 （此時(shí)稱為理想三分量陣列）；若利用垂直分量磁場測量結(jié)果，則有175×1＝175個(gè)方程 （此時(shí)稱為理想垂直分量陣列）。

為減少傳感器數(shù)目，對磁傳感器陣列進(jìn)行了簡化（圖3）。此時(shí)的磁場測量結(jié)果可以形成的線性方程組具有44×2＝88個(gè)未知數(shù) （各個(gè)單元的磁化強(qiáng)度分量），65×3＝195個(gè)方程（此時(shí)稱為簡化三分量陣列）。若利用垂直分量磁場測量結(jié)果，則有65×1＝65個(gè)方程 （此時(shí)稱為簡化垂直分量陣列）。

3 計(jì)算結(jié)果分析

本文對上述理想三分量陣列、理想垂直分量陣列、簡化三分量陣列和簡化垂直分量陣列這4種情況所對應(yīng)的觀測矩陣進(jìn)行了計(jì)算，然后，又分別進(jìn)行了奇異值分解計(jì)算，得到了相應(yīng)的奇異值分布，如圖4所示，圖中的奇異值分布根據(jù)各自的最大值分別進(jìn)行了歸一化處理。

圖4中所示的奇異值坡度表明，船舶磁場反演建模問題是病態(tài)的，其中，理想三分量陣列可以得到最小的奇異值坡度，理想垂直分量陣列和簡化三分量陣列得到的奇異值坡度與理想三分量陣列相比稍大，簡化垂直分量陣列得到的奇異值坡度最大。由此，可得出以下結(jié)論：

1）在理想陣列情況下，即測磁陣列分布范圍足夠廣、磁傳感器分布最稠密的情況下，進(jìn)行三分量磁場測量和垂直磁場測量所得到的磁場信息均較多，這兩種測磁陣列的效能相差不大。

2）在簡化陣列情況下，即測磁陣列分布范圍不夠廣、磁傳感器分布不夠稠密的情況下，進(jìn)行三分量磁場測量比進(jìn)行垂直磁場測量所得的磁場信息多，這兩種測磁陣列的效能相差較大。

3）與垂直磁場測量相比，三分量磁場測量能得到更多的磁場信息。理想垂直分量陣列采用的是175個(gè)測磁通道，簡化三分量陣列采用的是65×3＝195個(gè)測磁通道，二者采用的測磁通道數(shù)目相近，幾乎得到了同樣多的磁場信息（由圖4可看出，理想垂直分量陣列與簡化三分量陣列所得到的奇異值坡度非常接近）。

4 結(jié) 論

本文以奇異值坡度為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行了理想測磁陣列和簡化測磁陣列的對比分析。結(jié)果表明，在實(shí)際應(yīng)用中，簡化三分量陣列是最可取的陣列形式，因?yàn)檫@種陣列既能獲得較多的磁場信息，又能減少測量點(diǎn)數(shù)，且占地也最小，若綜合考慮場地、投資以及施工便利性等因素，簡化三分量測磁陣列的優(yōu)勢將更加顯著。

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