彭章艷

(武漢工程大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430074)

線性代數(shù)中幾個(gè)定理的證明

彭章艷

(武漢工程大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430074)

線性代數(shù)較抽象，且有一套特有的理論體系和思維方法，本文對(duì)行列式的兩個(gè)基本性質(zhì):兩行互換，行列式變號(hào)與DT=D(行列式轉(zhuǎn)置不變)進(jìn)行了證明，既具有新穎性，也加強(qiáng)了對(duì)行列式的概念和思想方法的理解。

線性代數(shù);行列式;余子式

n階行列式的定義有兩種方式，一是用逆序數(shù)的奇偶性;二是用歸納定義(即用展開(kāi)性質(zhì)定義)。前者較抽象，學(xué)生難以較快掌握，但用該定義證明行列式的性質(zhì)較容易。后者定義較容易掌握，但用該定義證明行列式性質(zhì)時(shí)有一定的困難(盡管可以充分使用歸納法)。特別是對(duì)兩個(gè)基本性質(zhì):兩行互換，行列式變號(hào)與DT=D(行列式轉(zhuǎn)置不變)。對(duì)于這兩個(gè)性質(zhì)，一般教科書(shū)上不證，只說(shuō)可以用歸納法證之，但據(jù)作者所知，這兩個(gè)性質(zhì)用歸納法是無(wú)法證明的。

另外，對(duì)于兩個(gè) n階方陣 A和 B，有 det(AB)=det(A)det(B)，一般教材是用det(A)det(B)，然后利用行列式初等變換

從而證明det(AB)=det(A)det(B)。

本文給出了在歸納定義行列式的情況下證明上述提到的行列式的兩個(gè)基本性質(zhì)，并給出了det(AB)=det(A)det(B)的一種新證法。其中 M1j為 a1j對(duì)應(yīng)的余子式。

引理1 j－1列

證明:由定義1，兩邊按行展開(kāi)便獲證。

定理1 行列式相鄰的兩行互換，則行列式反號(hào)。

證明:容易驗(yàn)證n=2時(shí)，命題成立，假設(shè)命題對(duì)n－1階行列式成立。

下證命題對(duì)n階行列式成立。

設(shè)n階行列式的第i行與第i+1行互換得行列式D'

(1)當(dāng)i≠1時(shí)，

其中，M'ij為D'中a1j對(duì)應(yīng)的n－1階余子式，M1j為D中a1j對(duì)應(yīng)的n－1階余子式，由歸納假設(shè)有M'1j=－M1j。

(2)當(dāng) i=1時(shí)，由引理2，知

這里用行列項(xiàng)性質(zhì)，而行列項(xiàng)性質(zhì)只需用歸納法證之。

萍萍給他取的綽號(hào)是從“心肝”開(kāi)始的，接下去有“寶貝”，“王子”，“騎士”，“馬兒”，這是比較優(yōu)雅的，往后就是食物了，全是“卷心菜”，“豆干”，“泥腸”，“土豆”之類的，還有我們都聽(tīng)不明白的“氣勢(shì)洶洶”和“垂頭喪氣”。

反復(fù)用定理1，便得到如下兩個(gè)推論。

推論1 行列式兩行互換，則行列式反號(hào)。

由于行列式的列裂項(xiàng)性質(zhì)容易用歸納法證之，容易得到行列式依第一列展開(kāi)的性質(zhì)。對(duì)上式的右端各項(xiàng)應(yīng)用推論2便得定理2。

利用定理2和歸納法容易得到DT=D。

下面證明 det(AB)=det(A)det(B)。

引理3 設(shè)P1，P2為n階初等陣，則

(1)det(P1P2)=det(P1)det(P2);

(2)det(P1Fr)= det(P1)det(Fr)det(FrP2)=det(Fr)det(P2)。

證 (1)只 是將 P1P2以 E(i，j)，?E(i(k))，?E(i，j(k))代之而驗(yàn)證。

(2)當(dāng)r＜n時(shí)，

而 det(Fr)=0，故 det(P1Fr)=det(P1)det(Fr)。

當(dāng) r=n時(shí)，F(xiàn)r=EP1Fr=P1E=P1det(P1Fr)=det(P1E)=det(P1)，

而det(E)=det(Fr)=1det(P1Fr)=det(P1E)=det(P1)det(Fr)。

同理可證det(FrP2)=det(Fr)det(P2)。

注:引理3可推廣到有限初等陣或Fr之積的情形。

定理3設(shè)A，B均為n階方陣，則

證明:設(shè)A，B的分解式為

A=P1…PkFr1Q1…QlB=P'1…P'mFr2Q'1…Q's，

其中 P1，…，Pk，P'1，…，P'm，Q1，…QL，Q'1，…Q's為初等陣。

線性代數(shù)日益滲透到工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)的眾多領(lǐng)域，其重要性和實(shí)用性與日俱增。本文證明了行列式的兩個(gè)基本性質(zhì)，示在幫助鞏固，加深，提高和拓寬有關(guān)知識(shí)，讓其成為必備基礎(chǔ)和科技人員解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。

［1］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．線性代數(shù)［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［2］柯斯特利金 A H．代數(shù)學(xué)引論［M］．北京:高等教育出版社，2010．

［3］(美)Steven J Leon．線性代數(shù)［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2010．

［4］(美)Tom M Apostol．線性代數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)論［M］．北京:人民郵電出版社，2010．

O15

A

1674－5884(2012)02－0174－03

2011－12－28

彭章艷(1966－)，女，湖北仙桃人，研究生，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

(責(zé)任編校 游星雅)