張希娜，李亞紅，郭中凱

(蘭州理工大學技術工程學院，甘肅 蘭州 730050)

關于三次樣條插值的教學研究＊

張希娜，李亞紅，郭中凱

(蘭州理工大學技術工程學院，甘肅 蘭州 730050)

三次樣條函數(shù)作為最常用的插值函數(shù)是數(shù)值分析教學中的重點和難點.從簡單例子出發(fā)講解了三次樣條插值函數(shù)的定義及其第一類和第二類邊界條件的判定，并將其推廣到含n個節(jié)點的情況.旨在將抽象理論具體化，易于學生理解和接受.

三次樣條插值;邊界條件;例子

傳統(tǒng)本科教材中，三次樣條插值函數(shù)這部分內容一般都強調理論.而理論性過強，內容過于抽象，在教師講解過程中，學生很難理解，從而抑制了學生學習的積極性和主動性，影響了學生對三次樣條插值的掌握，不利于學生對這部分內容的應用，從而影響了學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

1 三次樣條插值的教學改革思想

針對這種情況，為了使學生更容易接受這部分內容，激發(fā)學生學習三次樣條插值的興趣，加深他們對三次樣條知識的理解和認識，本文提出從最簡單的例子出發(fā)，講解三次樣條插值的三種邊界條件.

2 三次樣條插值教學過程實踐

講解這部分內容之前，我們著重要介紹分段線性插值和分段三次埃爾米特插值.分段線性插值是在給定了插值節(jié)點上的函數(shù)值以后，構造一個整體連續(xù)的函數(shù).而分段三次埃爾米特插值是在給定了插值節(jié)點上的函數(shù)值和微商值以后，構造一個整體上具有一階連續(xù)微商的插值函數(shù)，它是光滑的分段插值.三次樣條插值把整體光滑度再提高，它是在只給出插值點上的函數(shù)值的情況下構造一個整體上具有二階連續(xù)微商的插值函數(shù).首先，我們來看一下三次樣條插值函數(shù)的定義［1］:

定義:給定［a，b］上n+1個節(jié)點a=x0＜x1＜… ＜xn－1＜ xn=b以及這些點上的函數(shù)值 f(xi)=yi(i=0，1，…，n).若函數(shù) s(x) 滿足:1)s(xi)=yi，i=0，1，…，n;2) 在每個小區(qū)間［xi，xi+1］上是一個不超過三次的多項式;3)s(x)、s'(x)、s″(x) 在［a，b］上都連續(xù).則稱 s(x) 為函數(shù) f(x) 關于節(jié)點x0，x1，…，xn的三次樣條插值函數(shù).

以上定義從直觀上比較難理解，下面我們從一些實例出發(fā)，幫助學生理解什么樣的函數(shù)是三次樣條函數(shù).

例:試判斷下列函數(shù)是否為三次樣條函數(shù):

下面我們通過兩個簡單的實例給大家介紹一下三次樣條插值函數(shù)的兩類邊界條件，由此引出n個節(jié)點的三類邊界條件，這就是一般教材上的三次樣條插值理論［2］.

例1:求滿足 f(－1)= －1，f(0)=0，f(1)=1，f'(－1)=0，f'(1)=－1的三次樣條插值函數(shù)S(x).

解:三個節(jié)點 x= －1，0，1構成兩個區(qū)間［－1，0］和［0，1］.設f'(0)=m，三次樣條插值函數(shù)是特殊的分段三次埃爾米特插值，關鍵是構造插值基函數(shù).

由分段三次埃爾米特插值的公式:

先求一階導數(shù)，再求二階導數(shù):

分析:本題中有三個節(jié)點，已知三個節(jié)點處的函數(shù)值和兩個端點處的微商值，類似于這樣的已知條件，我們稱為三次樣條插值的第一類邊界條件.

例2:已知函數(shù)在節(jié)點 x=0，1，2，3 處的值均為 0，求滿足邊界條件 S″(0)=1，S″(3)=0 的三次樣條插值函數(shù)S(x).

解:已知及所設如以下表格所示:

x 0123 y 0000 m2 m3

分析:本題中有三個節(jié)點，已知三個節(jié)點處的函數(shù)值和兩個端點處的微商值，類似于這樣的已知條件，我們稱為三次樣條插值的第二類邊界條件.

由以上兩個例子，我們引出一般的三次樣條插值函數(shù)的邊界條件(含n個節(jié)點):

第一類邊界條件:已知S'(x0)=m0及S'(xn)=mn.

第二類邊界條件:已知

對于這種含n個節(jié)點的一般性三次樣條插值問題，我們的解題思路與以上兩個例題類似.我們聯(lián)系三次樣條插值的定義，又已知節(jié)點處的函數(shù)值.我們像例題中那樣，先根據(jù)分段三次埃爾米特插值設出S(x).對于第一類邊界條件來說，我們設出剩余的中間n－1個節(jié)點處得微商值，解決這些微商值，是我們解題的目標.通過設出的微商值和已知條件，我們可以設出S(x)，再依次求S'(x)、S″(x)，再根據(jù)樣條函數(shù)的二階導數(shù)的連續(xù)性，可列方程組S″(xi－0)=S″(xi+0)，i=1，2，…，n－1.由n－1個未知數(shù)n－1個方程，通過線性代數(shù)解方程組的知識，可解出最終結果.對于第二類邊界條件，我們設出所有n個節(jié)點處的微商值，我們的任務就是解出這些微商值.同樣，通過這些設出的微商值與已知的函數(shù)值，再依次求S'(x)、S″(x)，再根據(jù)樣條函數(shù)的二階導數(shù)的連續(xù)性，可列方程組 S″(xi－0)=S″(xi+0)，i=1，2，…，n －1 及已知條件 S″(x0)=S″(xn)=0.這樣n+1個未知數(shù)n+1個方程，通過解方程組的知識，可得所求結果.

一般理論中，還有第三類邊界條件:已知函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，基本周期為b－a=xn－x0，y0=yn.相應要求樣條函數(shù)S(x)也是周期函數(shù)，滿足已知S'(x0)=S'(xn)和S″(x0)=S″(xn).對于此第三類邊界條件，解決思路與前兩種邊界條件相似.設出所有n個節(jié)點處的微商值，聯(lián)系已知的函數(shù)值，再依次求S'(x)、S″(x)，再根據(jù)樣條函數(shù)的二階導數(shù)的連續(xù)性，可列方程組 S″(xi－ 0)=S″(xi+0)，i=1，2，…，n － 1 及已知條件 S″(x0)=S″(xn) 和 S'(x0)=S'(xn)，這樣n+1個未知數(shù)n+1個方程，通過解方程組的知識，即可求出.

對于三次樣條插值函數(shù)來說，當插值節(jié)點逐漸加密時，不但樣條插值函數(shù)收斂于函數(shù)本身，其微商也收斂于函數(shù)的微商，提高了函數(shù)的光滑性，比之前所講的分段三次埃爾米特插值還要優(yōu)越.因此，在航空、造船等很多工程技術領域有重要而又廣泛的應用.最后指出，樣條函數(shù)不一定必須是逐段三次多項式，也可以是逐段簡單函數(shù)，只要保持連接點足夠光滑［3］.因三次多項式計算簡單，且滿足一般實際問題的要求，因而應用最為廣泛.

［1］張池平.計算方法［M］.北京:科學出版社，2006.

［2］徐萃微.計算方法引論［M］.北京:高等教育出版社，1985.

［3］李慶楊，王能超，易大義.數(shù)值分析［M］.武漢:華中工學院出版社，1982.

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1008－4681(2012)02－0131－02

2012－01－12

張希娜(1983－)，女，河南商丘人，蘭州理工大學技術工程學院助教，碩士.研究方向:馬爾可夫骨架過程.

(責任編校:晴川)