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(天臺(tái)中學(xué) 浙江天臺(tái) 317200)

數(shù)學(xué)高考中的函數(shù)型試題亮點(diǎn)掃描

●褚人統(tǒng)

(天臺(tái)中學(xué) 浙江天臺(tái) 317200)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的概念，并且包含了很多衍生與相關(guān)的知識(shí)，因此本專題的內(nèi)容在高考數(shù)學(xué)中比重最大，試題涵蓋選擇、填空和解答各個(gè)題型，包含易、中、難3個(gè)等級(jí).本文就2012年數(shù)學(xué)高考中函數(shù)型試題的考查特點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)的分析和掃描．

1 有效地考查了學(xué)生敏銳的觀察思維和辨別能力

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中，元認(rèn)知監(jiān)控能力起著重要的作用．在求解過(guò)程中，若能有意識(shí)地與題干、選項(xiàng)進(jìn)行比對(duì)，觀察分析并及時(shí)調(diào)整求解的方法或方向，則可以順利求解．

例1 定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，則實(shí)數(shù)a=______．

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

方法1函數(shù)法

即

方法2不等式恒成立法

由

得

a≥-x2+x+2或a≤-x2+x-2

方法3幾何法

點(diǎn)評(píng)該試題作為理科試卷填空題的次壓軸題和文科試卷填空題的壓軸題還是比較合適的.它入口容易，出口開(kāi)闊，路道多，行程長(zhǎng)，不是用“蒙”、“撞”的方法能解決的，實(shí)實(shí)在在地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)功底，如閱讀、計(jì)算和數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用能力等．

2 有效地考查了學(xué)生思維的靈活性和超常的聯(lián)系能力

學(xué)生思維的靈活性和超常的聯(lián)系能力體現(xiàn)在“將基本知識(shí)綜合，構(gòu)造新的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想方法靈活求解，并綜合應(yīng)用基本知識(shí)和技能的能力”．

例2 設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0，則a=______．

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析構(gòu)造函數(shù)f(x)=[(a-1)x-1](x2-ax-1).

若a=1，則f(x)=-x2+x-1顯然不能滿足題意;若a<1，即a-1<0，則f(x)是三次項(xiàng)系數(shù)小于0的三次函數(shù)，它不可能對(duì)于x>0時(shí)均有f(x)≥0成立.從而a>1,此時(shí)函數(shù)可以化為

圖1

它與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為

點(diǎn)評(píng)(1)對(duì)于每一份試卷，選擇與填空的最后一題也是一份試卷的壓軸試題.當(dāng)然，這里的壓軸題難度不能超過(guò)大題的壓軸題.壓軸題個(gè)數(shù)一般各為一道，選擇壓軸題的難度系數(shù)最好為0.4，填空壓軸題的難度系數(shù)最好為0.2．由于大題考查主要的知識(shí)板塊，那么選擇、填空是考查一些“邊角”知識(shí)．選擇與填空試題的特征應(yīng)該有所區(qū)別，它們的知識(shí)特征主要是“邏輯強(qiáng)、思路長(zhǎng)、推理雜、算量大、表述纏”，還兼顧考查各種數(shù)學(xué)修養(yǎng)、感覺(jué)、智力、能力等素質(zhì)，思維特征是“簡(jiǎn)、平、快”，實(shí)實(shí)在在地考查數(shù)學(xué)的基本功夫．這2個(gè)壓軸試題是這份數(shù)學(xué)高考卷的亮點(diǎn)所在．

(2)近年來(lái)，浙江省數(shù)學(xué)高考對(duì)于選擇、填空壓軸題的命題已經(jīng)形成了自己的風(fēng)格，即一個(gè)代數(shù)題和一個(gè)幾何題.而這2個(gè)壓軸題從考試角度來(lái)看，一般情況下是可以用數(shù)學(xué)直覺(jué)思維、直覺(jué)能力去解決的．

3 有效地考查了學(xué)生分析和解決數(shù)形結(jié)合問(wèn)題的能力

中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容可以整合為“數(shù)”與“形”這2條線.其中“數(shù)”是以函數(shù)概念來(lái)串聯(lián)代數(shù)、三角和解析幾何知識(shí)，可以把方程視為函數(shù)值為0，不等式可以看成2個(gè)函數(shù)值的大小比較，數(shù)列、三角函數(shù)則是特殊的一類函數(shù)．高考中涉及函數(shù)的試題面大、量廣，一旦被編制為解答題就是中等難度試題．新課標(biāo)中特別強(qiáng)調(diào)構(gòu)造函數(shù)模型，利用所構(gòu)造的2個(gè)模型函數(shù)圖像之間的關(guān)系，利用二者的圖像數(shù)形結(jié)合地解決問(wèn)題是課標(biāo)教材中的一大亮點(diǎn)，高考試題中也體現(xiàn)了這一特點(diǎn)．

例3 設(shè)a>0,b>0． ( )

A.若2a+2a=2b+3b，則a>b

B.若2a+2a=2b+3b，則a

C.若2a-2a=2b-3b，則a>b

D.若2a-2a=2b-3b，則a

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析(1)對(duì)于選項(xiàng)A,B，可構(gòu)造2個(gè)函數(shù)f(x)=2x+2x，g(x)=2x+3x,易發(fā)現(xiàn)這2個(gè)函數(shù)都是增函數(shù)，在同一坐標(biāo)系下(如圖2)，在條件a>0,b>0下，2a+2a=2b+3b表明點(diǎn)A只能在點(diǎn)B的右側(cè)，從而有a>b，因此A是正確的．從考試角度來(lái)說(shuō)，就不必對(duì)選項(xiàng)C,D進(jìn)行分析了．其實(shí)由圖3可以發(fā)現(xiàn)C,D是錯(cuò)誤的．

圖2 圖3

(2)從考試角度來(lái)說(shuō)，可以用“撞”的方法.對(duì)于選項(xiàng)A,B，若a>b，則一定有2a>2b，另2a<3b還有可能成立，從而2a+2a=2b+3b可能成立．

(3)由2a+2a=2b+3b可得

(2a+2a)-(2b+2b)=b>0,

由函數(shù)h(x)=2x+2x是增函數(shù)容易得a>b.用這樣的思想甄別C,D的正確性就顯得簡(jiǎn)單了．

點(diǎn)評(píng)本題在浙江高考理科卷選擇題中是第9題，屬于選擇題中倒數(shù)第2題，說(shuō)明有較高的難度，解決它需要一定的數(shù)學(xué)能力.分析(1)體現(xiàn)了函數(shù)構(gòu)造、畫圖、數(shù)形轉(zhuǎn)換等能力；分析(2)就體現(xiàn)了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)直觀能力，需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是考試要實(shí)現(xiàn)快、準(zhǔn)等目的所采用的常用方法(文科試卷選擇題第10題也類似)．

4 有效地考查了學(xué)生獲得新知識(shí)和運(yùn)用新知識(shí)的能力

如例4所示的題型給人的第一印象是概念新穎，但考查的依然是學(xué)生對(duì)基本知識(shí)、技能的掌握程度，這新與舊之間的橋梁就是化歸思想．學(xué)生通過(guò)轉(zhuǎn)化將新穎的問(wèn)題轉(zhuǎn)為熟悉的問(wèn)題，達(dá)到解決問(wèn)題的目的．

例4 函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，若對(duì)任意x1,x2∈[a,b]，有

則稱f(x)在[a,b]上具有性質(zhì)P．設(shè)f(x)在[1,3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：

①f(x)在[1,3]上的圖像是連續(xù)不斷的；

③若f(x)在x=2處取得最大值1，則f(x)=1，x∈[1,3]；

④對(duì)任意x1,x2,x3,x4∈[1,3]，有

在油茶的種子的采育和貯存上，應(yīng)當(dāng)選擇果大皮薄、產(chǎn)量高、出籽率高的優(yōu)良品種。在油茶樹(shù)種的選擇上，要選擇沒(méi)有別病蟲(chóng)侵害過(guò)的樹(shù)苗，在采摘過(guò)要注意保存，然后挑選出優(yōu)良的種子。

其中真命題的序號(hào)是 ( )

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

(2012年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析命題①滿足性質(zhì)P的函數(shù)f(x)不是上凸的(是下凸的或部分是常數(shù))，但不一定連續(xù).

命題③在[1,3]上，由

及

得

f(x)=1.

因此對(duì)于任意x1,x2∈[1,3],f(x)=1，命題成立．

知，該命題成立.

(2)考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)函數(shù)定義的理解，技巧是：說(shuō)明一個(gè)命題不正確只需舉出反例即可，說(shuō)明一個(gè)命題正確要證明對(duì)所有的情況都成立.對(duì)于命題③，既然不是上凸函數(shù)，有最大值存在一定是常數(shù)函數(shù)．

(3)從嚴(yán)格意義上說(shuō)，本題考查了抽象函數(shù)的知識(shí)，有點(diǎn)超綱，但作為一份試卷的壓軸題未嘗不可．

5 有效地考查了學(xué)生求參量取值范圍和恒成立問(wèn)題的綜合分析能力

求參量取值范圍和恒成立的問(wèn)題屬于傳統(tǒng)題型，由來(lái)已久，常常出現(xiàn)，且難度通常不低．這類試題通常有3個(gè)明顯特征：(1)試題中直接或間接給出一個(gè)包含2個(gè)字母的等式或不等式(2個(gè)字母：一個(gè)是自變量，另一個(gè)是參變量)；(2)試題中常有“有解”、“無(wú)解”、“恒成立”等標(biāo)志；(3)2個(gè)字母中一個(gè)范圍已知(這個(gè)字母就是自變量)，另一個(gè)的范圍待求(這個(gè)字母即參變量)．

這類試題有2種較為通用的解決思路：分離變量法與選主元法，而它們最終都要借助求函數(shù)值域來(lái)解決問(wèn)題．對(duì)于分離變量法，顧名思義，要把2個(gè)變量分開(kāi)到等式或不等式的兩邊，得到f(x)=g(a)或f(x)≥g(a)的形式.由于一個(gè)字母的范圍已知，不妨設(shè)x范圍已知，則可知f(x)的范圍(即值域)，然后結(jié)合題目中的要求就可以求出相應(yīng)的a的范圍了．對(duì)于選主元法，則是將自變量(已知范圍的那個(gè)字母，不妨設(shè)為x)看作變量，參變量(待求范圍的字母，設(shè)為a)看作常數(shù)，則可整理出g(x)=f(x,a)=0或g(x)=f(x,a)≥0，然后求出函數(shù)g(x)的值域(含有字母a)，與0確定大小關(guān)系(解關(guān)于a的不等式)即可．

然而對(duì)于一些高難度試題(如壓軸題)，可能會(huì)有一些另類的解法，很少有人會(huì)想到，因此對(duì)這類試題不宜花費(fèi)太多精力去研究，況且這類試題的解法往往也不具備通用性．

例5 設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b,c∈R)

(2)設(shè)n=2，若對(duì)任意x1,x2∈[-1,1]，有|f2(x1)-f2(x2)|≤4，求b的取值范圍；

(2012年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2)當(dāng)n=2時(shí)，f2(x)=x2+bx+c.

對(duì)任意x1,x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4等價(jià)于f2(x)在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4,據(jù)此分類討論如下：

M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4，

與題設(shè)矛盾.

恒成立.

恒成立.

綜上可知，-2≤b≤2．

于是有fn(xn)= 0=fn+1(xn+1)=

即fn+1(x)的零點(diǎn)xn+1在(xn,1)內(nèi)，故xn

2012年的數(shù)學(xué)高考試題中，就函數(shù)試題而言，文、理科有一定的差異.函數(shù)試題所占比重較大，考查范圍涉及到函數(shù)的方方面面，難度覆蓋面也很廣．高考對(duì)函數(shù)知識(shí)的要求是很高的，考查函數(shù)單一性質(zhì)的簡(jiǎn)單試題不多，大都是函數(shù)性質(zhì)之間的綜合考查，如定積分與分段函數(shù)結(jié)合、圖像與解不等式結(jié)合、周期性與單調(diào)性(奇偶性)相結(jié)合等等.較難題的比例較大，其中綜合考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的試題最多，而最難的往往是函數(shù)與不等式的結(jié)合，其中還涉及參變量，解答過(guò)程中少不了分類討論的思想．