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(鄞州區(qū)鄞江鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué) 浙江寧波 315151)

挖掘題根窺斑見(jiàn)豹
——對(duì)杭州市下城區(qū)即興說(shuō)題題目的幾點(diǎn)思考

●田海霞

(鄞州區(qū)鄞江鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué) 浙江寧波 315151)

題根概念提出者萬(wàn)爾遐老師說(shuō)：題根是題目的根基，它不是一個(gè)孤立的題目，也不是一堆題目中單一的個(gè)體，它是一個(gè)題族的根祖，一個(gè)題系中的根基，一個(gè)題群的代表.在實(shí)踐中常常發(fā)現(xiàn)，千姿百態(tài)的數(shù)學(xué)題目猶如一棵樹上的枝枝葉葉，雖然看上去紛繁復(fù)雜，但是它們之間其實(shí)是息息相通的，它們都是從同一題根衍生變化而來(lái)，故在研究問(wèn)題時(shí)可以通過(guò)窺其題根而見(jiàn)其全貌.

研究題根對(duì)教學(xué)、命題和解題都有特殊的意義.如在教學(xué)中，可以從例題這個(gè)題根出發(fā)，對(duì)其進(jìn)行一系列的衍生，讓學(xué)生在例題的有序變化中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)變化中的不變，從而找到該系列問(wèn)題的根本解決辦法，達(dá)到“解一題，通一類”的教學(xué)目的；在命題中，通過(guò)對(duì)課本中的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡苌?，衍生出基礎(chǔ)性、靈活性、趣味性強(qiáng)的好題目，讓學(xué)生既掌握重點(diǎn)知識(shí)，又發(fā)展思維能力，還能提高學(xué)習(xí)興趣；在解題中，學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題題根的挖掘，熟練而快捷地找到問(wèn)題的解決辦法.因此，在平時(shí)教學(xué)中，教師要充分重視對(duì)問(wèn)題題根的挖掘與衍生教學(xué).下面以2011年杭州市下城區(qū)即興說(shuō)題題目為例，闡明數(shù)學(xué)題根挖掘與衍生的一些策略.

1 試題呈現(xiàn)

圖1

例1已知ABCD是矩形，以C為圓心，CA為半徑畫一段圓弧分別交AB，AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，聯(lián)結(jié)EB，F(xiàn)D.若把Rt∠BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)角度θ(0°<θ<90°)，使得該角的2條邊分別交線段AE，AF于點(diǎn)P，Q，則CQ2+CP2=

( )

A．2QF·PEB.QF2+PE2

C.(QF+PE)2D.QF2+PE2+QF·PE

(1)請(qǐng)用你認(rèn)為最簡(jiǎn)單的方法求解(注意是選擇題)；

(2)請(qǐng)用幾何方法證明你的選擇是正確的；

(3)建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，用代數(shù)方法證明你的選擇是正確的.

本題通過(guò)對(duì)平面幾何一個(gè)基本圖形的巧妙構(gòu)思：變化中體現(xiàn)不變，復(fù)雜中蘊(yùn)涵本質(zhì)，既突出考查直覺(jué)思維，又對(duì)解題素養(yǎng)有較高的要求.

2 挖掘題根

圖2

挖掘本題題根，實(shí)質(zhì)上就是以等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)，作一直角與原來(lái)2個(gè)直角邊相交形成正方形時(shí)的基本圖形.圖2即為本題題根，它是學(xué)習(xí)等腰直角三角形時(shí)的經(jīng)典問(wèn)題,各種版本的教材上都有涉及.由此，命題者就以此為線索尋求新的創(chuàng)意與變化：將Rt∠BCD繞點(diǎn)C作如圖3所示的旋轉(zhuǎn)變換，再將特殊的等腰直角三角形變?yōu)橐话愕闹苯侨切?如圖4)，再外加一件華麗的外衣——圓，例1就是這樣演變而來(lái).從上述分析可知，例1(注意是選擇題)最簡(jiǎn)單的求解方法，最容易想到的便是當(dāng)△AFE是等腰直角三角形，Rt∠BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)45°時(shí)的情況，可排除選項(xiàng)A，再考慮旋轉(zhuǎn)角度θ的可連續(xù)性，當(dāng)θ=0°時(shí)結(jié)論也應(yīng)該成立，因此就從題根(如圖2)找到正確答案為B.這也是命題者突出考查教師直覺(jué)思維的意圖.

圖3 圖4

3 衍生題根

找到了本題的題根，可以對(duì)該題根進(jìn)行衍生，以利于擴(kuò)大戰(zhàn)果.常用的衍生方法有：(1)從特殊向一般衍生.特殊是一般的根，如直角三角形是一般三角形的根，所謂解三角形，實(shí)際上就是將一般三角形直角化.故對(duì)題根衍生的辦法之一為從特殊向一般延伸.(2)從有限向無(wú)限衍生.無(wú)限問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為有限情況下去找尋數(shù)學(xué)規(guī)律，故有限是無(wú)限的根，有限可以向無(wú)限衍生.(3)從靜態(tài)向動(dòng)態(tài)衍生.靜態(tài)是動(dòng)態(tài)之根，在解有關(guān)動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常把它轉(zhuǎn)化為靜態(tài)情況下去解決，從不變中研究變化.下面以本題提到的題根為例對(duì)其進(jìn)行多方面的衍生.

3.1 衍生到一般三角形

如圖5，在△AFE中，點(diǎn)C為EF的中點(diǎn)，Rt∠PCQ的2條邊分別交線段AE，AF于點(diǎn)P，Q，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得QF+PE>PQ，再延伸下去，根據(jù)余弦定理可得

CQ2+CP2=QF2+PE2+2QF·PE·cosA.

圖5

本題滲透了從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想方法，可以較好地考查學(xué)生猜想、歸納、合情推理、論證的能力，但究其本質(zhì)，還是源于對(duì)問(wèn)題題根的深刻理解.

3.2 衍生到一般四邊形

從結(jié)論出發(fā)用分析法分析，根據(jù)維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論，想到的是勾股定理：CQ2+CP2=QP2=AQ2+AP2.從已知出發(fā)，用綜合法分析，結(jié)合此題最本質(zhì)的題根(圖2)衍生到圖6：在正方形AFHE中，C是正方形的中心，結(jié)合圖形旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，得到QF=GE或FM=PE，接著得到

QP2=GP2=GE2+PE2=QF2+PE2

或

QP2=QM2=QF2+FM2=QF2+PE2.

在矩形AFHE中，如圖7所示，同理得證.

圖6 圖7

例1第(2)小題的問(wèn)題設(shè)置較好地考查了合情推理的能力，用動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)思考幾何問(wèn)題，正是尋求簡(jiǎn)便解題方法的一種有效策略.同時(shí)它也告訴我們，教學(xué)中讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)基本圖形的特點(diǎn)，透徹理解問(wèn)題的本質(zhì)是多么重要！

3.3 衍生到以圓為背景的問(wèn)題

分析(1)易想到PQ為圓的直徑，∠QCP=90°，運(yùn)用例1的結(jié)論AQ2+AP2=QF2+PE2解題.

(2)考慮Rt△AFE的面積，易想到的是用字母表示直角邊的長(zhǎng)度.不妨設(shè)AF=a，AE=b，AQ=x，AP=y，結(jié)合上述結(jié)論可得

得

再結(jié)合二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式和不等式知識(shí)得證.

本題借鑒了例1的構(gòu)思，同時(shí)把圓的相關(guān)知識(shí)巧妙地滲透其中.巧用函數(shù)思想，使知識(shí)的覆蓋面更廣，考查也更全面，對(duì)學(xué)生的能力要求也更高.

圖8 圖9

3.4 衍生到動(dòng)態(tài)問(wèn)題

如圖9，已知點(diǎn)C為Rt△AFE斜邊FE的中點(diǎn)，AF=8 cm，AE=6 cm，點(diǎn)Q，P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，在線段AF，AE上運(yùn)動(dòng)，速度之比1∶2，其中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為1 cm/s，問(wèn)運(yùn)動(dòng)幾秒后CQ⊥CP?

分析逆向思考.若CQ⊥CP，則

AQ2+AP2=QF2+PE2，

從這個(gè)等量關(guān)系聯(lián)想到運(yùn)用方程思想解題，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，是解決幾何問(wèn)題的常用思想方法.設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)CQ⊥CP，可得方程

x2+(2x)2=(8-x)2+(6-2x)2.

本題借鑒了題根，又獨(dú)辟蹊徑，它把問(wèn)題原型巧妙改變：隨著點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng),∠QCP的大小也隨之變化.這樣，考查基本數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思維能力的目的就凸顯出來(lái)，用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)研究問(wèn)題，在變與不變的思考中，緊緊抓住不變的因素,思路的得出也就順其自然.

圖10

萬(wàn)爾遐老師曾說(shuō)：抓住了一個(gè)題根，就等于抓住了這個(gè)題族、這個(gè)題群、這個(gè)題系.浩如煙海的題目同根共源，猶如一棵枝繁葉茂的大樹(如圖10所示)，都源自于同一根系，解一題可以破萬(wàn)題.我們的教學(xué)根植于最原始的數(shù)學(xué)基本概念、圖形和原理，然后從最本源的問(wèn)題出發(fā)開始演繹，讓題目有序化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.這樣，學(xué)生就不會(huì)成為解題的機(jī)器，可以“打通經(jīng)脈”，掌握“解一題，通一類”的本領(lǐng)，減負(fù)就不再是空談！