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(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

“找規(guī)律”課例簡析

●朱哲

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

2011年11月26日至28日，國家社科基金教育學(xué)重點課題“基礎(chǔ)教育未來發(fā)展新特征研究”課題組在成都錦江區(qū)召開專題研討會.會議圍繞“當(dāng)代學(xué)習(xí)科學(xué)的新進(jìn)展及其對課堂教學(xué)創(chuàng)新的啟示、個性化教與學(xué)方式的變革、課堂教學(xué)進(jìn)程結(jié)構(gòu)設(shè)計、信息技術(shù)與學(xué)科課堂教學(xué)的整合”4個主題展開交流與研討.28日上午，會議安排參會人員到成都市田家炳中學(xué)、成都七中育才學(xué)校、成都師范附屬小學(xué)等中小學(xué)校聽課、觀摩.

筆者在成都七中育才學(xué)校聽了4節(jié)課，其中一節(jié)是數(shù)學(xué)課，教師A上課的內(nèi)容是“找規(guī)律——專題課”，上課對象為8年級學(xué)生.本文從內(nèi)容結(jié)構(gòu)、猜想后的驗證、歷史文化的滲透這3個角度對該節(jié)課進(jìn)行簡要的分析，同時也引發(fā)了筆者對構(gòu)建“適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)”的思考.

1 內(nèi)容和結(jié)構(gòu)

本節(jié)課結(jié)構(gòu)脈絡(luò)非常清晰，教學(xué)流暢有序，主要由5個活動組成：

活動1:情境引入；

活動2:由數(shù)字變化找規(guī)律；

活動3:由圖形變化找規(guī)律；

活動4:由變化周期找規(guī)律；

活動5:回顧反思.

其中，活動2～4由若干例題和練習(xí)組成，并對解決此類問題的方法進(jìn)行了歸納和小結(jié).在活動2中，教師給出一組例題，由4個小題組成，如：

下列各題給出的是有規(guī)律的一列數(shù)，請觀察這組數(shù)的規(guī)律，并回答：1，3，5，7，____，…，第n個數(shù)為____.

針對這些例題探索尋找規(guī)律的方法，最后，又給出2道練習(xí)，如：

1，4，7，10，13，____，…，第n個數(shù)為____.

在活動3中，教師先出示問題1：

圖1

問題1用同樣大小的黑色棋子按如圖1所示的方式擺放圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要棋子____枚(用n的代數(shù)式表示).

活動2是研究“數(shù)”的問題，活動3研究的是“點”的問題.此外，活動3的問題與活動2中的例題和練習(xí)是沒有聯(lián)系的.若將圖形調(diào)整為如圖2所示，則由活動1到活動2的過渡就顯得自然流暢了.

圖2

這里，同一問題的不同表述(數(shù)字表征和圖形表征)使教學(xué)中的2個活動自然地銜接起來.同時也讓學(xué)生明白，解決圖形問題的方法是先確定基本圖形，然后再尋找數(shù)字規(guī)律.如此一來，就可以將活動3化歸為活動2了.之后，教師又出示問題2：

問題2圖3是用相同長度的小棒擺成的一系列圖形，按這種方式擺下去，則第n個圖形需要小棒____根.

圖3

問題2可以看成是“線”的問題，而其后的練習(xí)題，則是“面”或“形”的問題,如：

練習(xí)題如圖4，將(1)所示的正六邊形進(jìn)行分割得到(2)，再將(2)中最小的某一個正六邊形按同樣的方式進(jìn)行分割得到(3)，再將(3)中最小的某一個正六邊形按同樣的方式進(jìn)行分割，……，則第n個圖形中，共____有個正六邊形.

圖4

在這一題中，教師再次引導(dǎo)學(xué)生體會分層次觀察圖形，即由外一層到里一層逐層地觀察圖形的局部特征、找圖形之間聯(lián)系的方法.

在活動4中，教師出示問題3：

問題3觀察下列圖形的排列規(guī)律(其中是△三角形，□是正方形，○是圓)，□○△□□○△□□○△□□○△□□○△□…，若第1個圖形是正方形，則第2 011個圖形是____(填圖形名稱).

隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考這些圖形具有哪些規(guī)律.同樣是關(guān)于圖形的問題，活動3中的練習(xí)題是關(guān)于圖形的“組合”，而活動4則是關(guān)于圖形的“排列”.

由此，可以勾勒出本節(jié)課的線索：內(nèi)容是找規(guī)律，由找數(shù)字規(guī)律、找圖形規(guī)律、找周期規(guī)律3個活動組成.這3個活動中所安排的例題和練習(xí)，又以“數(shù)—點—線—面(圖形的組合—圖形的排列)”這一線索安排.教師在設(shè)計時也許未必意識到這條線索，若認(rèn)識到，并有意地將其自然地貫穿起來，則教學(xué)會更加流暢和順利.適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是線索明晰、結(jié)構(gòu)流暢的教學(xué)，讓學(xué)生的思維在教師的引導(dǎo)下自然而主動地流淌.

2 猜想之后的驗證

先來看一教學(xué)片斷，要思考的是，是什么原因?qū)е铝藢W(xué)生的錯誤？

教師在PPT上出示活動3的練習(xí)題，學(xué)生手上的工作單上也有該題，教師讓學(xué)生先自己思考，嘗試解答.教師在教室里巡視學(xué)生解答的情況，然后開始一段師生對話：

師：大家都做好了，我們首先請這位學(xué)生來說一下.

生1：我覺得是這樣的，因為第1個圖形里面只有一個大正六邊形，而第2個圖形是在第1個正六邊形的基礎(chǔ)上，里面又分割了3個正六邊形，也就是說，第2個圖形里有4個正六邊形；第3個圖形，則是在第2個圖形的基礎(chǔ)上，其中一個正六邊形中又分割3個正六邊形，即在第2個圖形的基礎(chǔ)上又增加3個，所以我覺得第n個圖形應(yīng)該有2n+1個正六邊形.

師：2n+1個，有不同意見嗎？

生2：我覺得應(yīng)該有3n-2個正六邊形.首先第1個圖形是一個正六邊形，第2個可以看成1+3:就是外面1個大的，中間3個小的;然后第3個圖形，可以看成是1+2×3:第1個3是3個大的，然后第2個3是指第2次分割后里面的3個.由此可以推斷出，第n個圖形應(yīng)該是由1+3×(n-1)個正六邊形，化簡后就是3n-2.

師：好的，請坐.大家同意第1位同學(xué)還是第2位同學(xué)？

生：第2位.

師：哪位同學(xué)說說，第1位同學(xué)錯在哪兒？

生3：第1位同學(xué)沒有考慮到正六邊形的大小，只考慮到最大的和最小的，沒考慮到重復(fù).

師：剛才錯誤的這個同學(xué)，你來說說.

生1：規(guī)律找對了，數(shù)字找錯了.

那么，究竟是什么原因?qū)е聦W(xué)生的錯誤呢？主要有以下3個原因：一是觀察不夠仔細(xì)；二是計算錯誤；三是沒有經(jīng)過檢驗就確定答案.尤其是第3個原因，如果學(xué)生檢驗一下就可以發(fā)現(xiàn)答案不對，然后可以自己糾正，糾其原因，還是在于教師對檢驗不夠重視.

為什么說教師對檢驗這一環(huán)節(jié)不夠重視呢？考察教師A的教案，在教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過程和最后的小結(jié)里發(fā)現(xiàn)問題.

首先來看教學(xué)目標(biāo).教師A將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為3條：

(1)掌握由數(shù)字變化、圖形變化和變化周期找規(guī)律的方法.理解序列變化規(guī)律的“數(shù)與序號對應(yīng)”方法，會用符號進(jìn)行一般化的表示，發(fā)展符號感.

(2)經(jīng)歷具體問題中對數(shù)量關(guān)系和圖形排列順序的觀察、分析、歸納、概括、猜想的過程，初步體會數(shù)學(xué)類比、轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)探索發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新能力.

(3)在大膽嘗試中獲得成功的體驗，形成積極參與學(xué)習(xí)、勇于面對挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)態(tài)度，同時感受數(shù)學(xué)思想方法的重要性.

在教學(xué)活動中，教師重視讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、猜想等過程，體驗尋找規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、自主學(xué)習(xí)、合作交流，形成豐富的體驗，感受數(shù)學(xué)思想方法，符合新課程所倡導(dǎo)的理念.但是，猜想之后必須進(jìn)行驗證，觀察、分析、歸納、概括、猜想和驗證，這是一個完整的過程.教師鼓勵學(xué)生大膽嘗試猜想，但猜想不是瞎猜，大膽嘗試之后應(yīng)小心驗證，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn).教案中的“教學(xué)目標(biāo)”雖細(xì)致，卻沒有涉及驗證的環(huán)節(jié)及其驗證的重要性，這是本節(jié)課最大的不足.

再來看教學(xué)過程.在活動2～4中，教師總結(jié)解決此類問題的方法，先由學(xué)生說，再由教師給出.

在活動2中，教師給出由數(shù)字變化找規(guī)律的方法：一是看相鄰數(shù)字的關(guān)系——找共同特征；二是看數(shù)字變化與序號的關(guān)系——寫出第n個式子；三看結(jié)論的正確性——驗證第n個式子是否正確.第3個步驟提到了驗證，但在活動3和活動4的小結(jié)中沒出現(xiàn).

在活動3中，教師給出由圖形變化找規(guī)律的方法：找圖形之間的聯(lián)系——轉(zhuǎn)化為數(shù)字聯(lián)系；找每個圖形個數(shù)——轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律.在活動4中，教師給出由變化周期找規(guī)律的方法：一看圖形或數(shù)字排列特征——找周期；二看商和余數(shù)——找對應(yīng)的圖形或數(shù)字. 教師A認(rèn)為，活動2和活動3可以歸結(jié)為活動1的數(shù)字問題，故沒提及驗證.但事實上，這是學(xué)生最容易忽視的，因此依然需要反復(fù)強(qiáng)調(diào).

再來看最后的活動5回顧反思環(huán)節(jié).教師計劃從以下3個方面進(jìn)行小結(jié)：

(1)本節(jié)課我們一起探究了哪些找規(guī)律的問題？

(2)關(guān)于找規(guī)律你學(xué)會了哪些方法？

(3)關(guān)于找圖形變化的規(guī)律，可以先找數(shù)字的變化規(guī)律，由此你體會到什么數(shù)學(xué)思想方法？

教師對解決問題的方法以及活動背后所隱含的數(shù)學(xué)思想方法很重視，這一點值得肯定，但對猜想之后的驗證沒有重視.

總體而言，教師對驗證這一環(huán)節(jié)不夠重視，從而導(dǎo)致學(xué)生的忽視和錯誤.適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的實際，關(guān)注學(xué)生的思維，關(guān)注學(xué)生的錯誤，并思考如何從學(xué)生出發(fā)，構(gòu)建高效的教學(xué).

3 歷史和文化的滲透

本節(jié)課思路清晰，節(jié)奏流暢，但在內(nèi)容的設(shè)計上，總體上還是中規(guī)中矩，沒有太大的亮點.如果能從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化方面吸收一些素材，應(yīng)用到教學(xué)中，與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地融合起來，則可以使本節(jié)課錦上添花.

就本節(jié)課的主題而言，可以安排形數(shù)、楊輝三角、斐波那契數(shù)列、雪花曲線等內(nèi)容.

(1)形數(shù).

教師可以先出示前4個三角形數(shù)、正方形數(shù)和五邊形數(shù)(如圖5)，然后讓學(xué)生分別寫出第5個，第6個，…，第n個數(shù).

接著，不畫圖，繼續(xù)尋找其他形數(shù)的規(guī)律，到后面規(guī)律比較難寫，但可以引導(dǎo)學(xué)生完成下表：

三角形數(shù)：1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 …

正方形數(shù)：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 …

五邊形數(shù)：1 512 22 35 51 70 92 117 145 …

六邊形數(shù)：1 615 28 45 66 91 120 153 190 …

七邊形數(shù)：1 718 34 55 81 112 148 189 235 …

……

圖5

再進(jìn)一步，可以從平面形數(shù)過渡到立體形數(shù)，讓學(xué)生觀察圖6，寫出前幾個三棱錐數(shù)和四棱錐數(shù).

圖6

(2)楊輝三角.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 ( ) 4 1

1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1

……

圖7

觀察圖7，尋找構(gòu)圖的方法，在空白處填上相應(yīng)的數(shù)字.

(3)斐波那契數(shù)列.

意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1228年出版的《算經(jīng)》修訂版中給出一個有趣的“兔子問題”：假設(shè)大兔子每月生1對小兔，而小兔2個月長成大兔，那么，自1對兔子開始，一年后可繁殖多少對兔子？

這個問題引出著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，你能發(fā)現(xiàn)這串?dāng)?shù)字的規(guī)律嗎？寫出其后幾項.如圖8，將楊輝三角上的數(shù)字按斜線相加，可以發(fā)現(xiàn)它與斐波那契數(shù)列居然有神奇的聯(lián)系.

圖8

(4)雪花曲線.

將邊長為1的正三角形的每條邊3等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其2條腰替代底邊，得到第2個圖形；再將第2個圖形的每條邊3等分，并重復(fù)上述的作法，得到第3個圖形.可以繼續(xù)按同樣的方法畫出一系列圖形，這些圖形很像美麗的雪花，因此被稱為“雪花曲線”，如圖9所示.求出第2個、第3個、第4個雪花曲線的周長.

圖9

這些問題需要教師在教學(xué)設(shè)計時取舍或做些處理，然后在實際教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生思考、探索.總體上而言，這樣來安排教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生尋找規(guī)律，學(xué)會找規(guī)律的方法，體驗數(shù)學(xué)的思想方法，同時體驗數(shù)學(xué)的神奇和美妙.適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)考慮哪些內(nèi)容是學(xué)生感興趣的，考慮如何通過學(xué)生感興趣的材料來激發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生的思維.

浙江省教育廳人文社科類項目Y201122231.)