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(瑞安市濱江中學 浙江瑞安 325200)

簡談如何因“材”施“探”
——基于探索勾股定理教學中的思考與認識

●季麗珍

(瑞安市濱江中學 浙江瑞安 325200)

新課程改革的一個重要而具體的目標就是要改變普遍存在的學生被動接受、大量反復操練的學習方式，倡導學生主動參與的探究式學習.作為一線教師，面對不同的教學對象、教學內容和教學條件，該如何有效地開展探究性教學、提高課堂教學實效呢？因此，如何因“材”施“探”就成了我們一直都在探索的問題.

勾股定理不僅在幾何中具有非常重要的地位，而且在現(xiàn)實生活中也具有普遍性和應用性.雖然探索勾股定理的方法很多，但尋找一種讓學生能夠在思維上比較“自然地”發(fā)現(xiàn)該定理的方法是非常困難的.如何設計勾股定理教學，一直是初中數(shù)學教學的一個難點.在探索勾股定理的教學中，筆者碰到一些讓人回味的教學案例，在反思的同時，有一些教學感悟和思想油然而生.本文通過筆者對勾股定理教學設計的一些做法和思考，拋磚引玉，希望得到同行專家的批評指正.

1 教學案例

1.1 案例

案例1在引入課題之后，教師甲安排了如下的合作學習:

(1)作3個直角三角形，使其2條直角邊長分別為3 cm和4 cm，6 cm和8 cm，5 cm和12 cm；

(2)分別測量這3個直角三角形斜邊的長；

(3)根據(jù)所測量的結果填寫表1：

表1 測量結果

觀察表1中后2列的數(shù)據(jù).在直角三角形中，3條邊長之間有什么關系？再任意畫一個直角三角形試一試.

教師甲將學生分成4人一小組后讓他們合作學習，在大部分學生完成以上任務之后，組織學生交流探究成果.

生甲：我測量得到它們的斜邊長分別是5 cm，10 cm，13 cm.

教師：其他同學得到的結果是否也是這樣的呢？

此時，有位學生說自己量得的第3個直角三角形的斜邊長是12.8 cm.教師說那是因為該生的圖畫得不準確，便讓他坐下了.于是師生繼續(xù)校對表1的后2列數(shù)據(jù),然后得出a2+b2=c2，進而指出這種關系在幾何上稱為勾股定理，并要求學生用文字表述.

案例2在引入課題之后，教師乙安排了合作學習：

(1)作3個直角三角形，使其2條直角邊長分別為3 cm和4 cm，6 cm和8 cm，5 cm和12 cm；

(2)分別測量這3個直角三角形斜邊的長；

(3)根據(jù)所測量的結果填寫表2：

表2 測量結果

在直角三角形中，3條邊長之間有什么關系？再任意畫一個直角三角形試一試.

教師乙也將學生分成小組后讓他們合作學習，然后組織學生交流探究成果.

在校對表2后，教師提了一個問題：這三角形的3條邊3，4，5；6，8，10；5，12，13之間有何特殊的關系呢？

一個學生馬上回答：因為直角三角形2條直角邊的平方和等于斜邊的平方，所以32+42=52，即兩邊的平方和等于第三邊的平方！

教師乙(有些驚訝)：你怎么知道“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”？

該生自豪地回答：因為我預習過了.

于是該教師順勢將話題轉移到了前人的偉大，發(fā)現(xiàn)了這一著名的定理.

這時另一位學生的嘀咕聲傳入了筆者的耳朵：我只想到兩邊之和與第三邊或兩邊之差與第三邊的關系，怎么會想到平方的關系呢？

1.2 案例帶來的困惑

(1)從案例1看，學生似乎經(jīng)歷了合作探究的過程，學生的活動也很多，有作圖、測量、填表、計算、歸納、驗證、交流，但這些活動都缺乏思考的力度.實際上，整個過程是在教師預設的軌道上進行，是一種典型的假“探究”，是一種淺層次上的“合作”.上述所謂的“合作探究教學”，究竟存在哪些問題？

①作圖、測量、填表、計算，以及提醒學生“觀察表1中后2列的數(shù)據(jù)”來回答“在直角三角形中，3條邊長之間有什么關系”，這樣設置的問題對于八年級的學生來說能不能獨立完成？

②遇到學生作圖與測量的誤差，教師該如何作合理的引導？

③為什么要計算邊長的平方？如果沒有表1的后2列提示，學生能發(fā)現(xiàn)勾股定理嗎？這個發(fā)現(xiàn)對學生而言全是無意識的，或者說是“碰巧的”，在未來的學習、工作、考試中，沒有教師的引導，學生還能“碰巧”發(fā)現(xiàn)其他規(guī)律嗎？學生更關心的是如何想到的.

④合作探究是追求課堂形式的活潑還是追求讓學生體驗基本的探索方法和思路？

(2)案例2中的探究學習沒有達到預設的目標，這個探究問題的設置對于學生來說太難了，教師乙的指導又缺乏坡度和機智[1].如果說教師甲的探究問題設計是“牽著學生的鼻子走”，不能達成讓學生體驗勾股定理的探索過程這一教學目標，屬于“引”過度，那么教師乙的教學設計就是從一個極端走向了另一個極端，屬于“放”過度.探究性教學在引導學生猜測時應該怎樣選擇合適的“潛在距離”，使學生現(xiàn)有的認知水平與新學知識之間的沖突最為強烈也恰到好處，從而引發(fā)學生合作探究的欲望呢？

2 改進策略

2.1 策略1:合作學習,探索驗證

(1)大膽嘗試,猜想結論.

活動1在引入課題之后，教師安排合作學習(同案例2中的合作學習材料).

(2)操作驗證,確認定理.

活動2①在圖1和圖2中，直角三角形3條邊長的平方分別是多少？它們滿足上面所猜想的數(shù)量關系嗎？你是如何計算的？與同伴交流.

(注：本文出現(xiàn)網(wǎng)格中的每一個小正方形的邊長均為1.)

②在圖3和圖4中的直角三角形是否也滿足這樣的關系呢？

圖1 圖2

圖3 圖4

在此基礎上，進一步提問：在一般的直角三角形中，所猜想的結論還成立嗎？然后移除圖4中網(wǎng)格這個平臺，引導論證.

策略1的設計說明提供以網(wǎng)格為背景的勾股圖，并從面積這一學生熟悉的角度為學生搭建探究平臺，讓學生在無聲的探索中受到“猜想—歸納—證明”這一數(shù)學思想的熏陶.通過求特殊圖形的面積，讓學生掌握分割方法和部分面積和等于總面積的等積思想.這里的關鍵是要把握住學生的起點，為學生的“同化”和“順應”提供必要的條件或情境，把學生原有的知識和經(jīng)驗充分調動起來，使數(shù)學學習成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程.

2．2 策略2:收集資料,自主學習

(1)課前(活動1)

奇異值分解方法在日負荷曲線降維聚類分析中的應用//陳燁,吳浩,史俊祎,商佳宜,孫維真//(3):105

向學生提供“勾股定理的探究”合作學習工作單.合作學習工作單圍繞著勾股定理的背景、證明、應用這3個層次設計了如下的問題：①勾股定理有很多不同的命名，它們背后都有特別的原因，請選出2個你們認為特別的，并解釋它們的由來；②收集、整理驗證勾股定理的各種方法，并從中選出2種你們認為有趣或容易理解的驗證方法；③嘗試舉出勾股定理在日常生活應用的一些例子.

將學生以4人為一小組進行分工合作：每人從不同的途徑搜集、整理資料，經(jīng)過討論，由其中一位學生執(zhí)筆填寫工作單.通過這個活動，旨在使學生對勾股定理有一定程度的了解.但更重要的是希望學生能通過本活動，體驗與他人合作的相處之道，提高收集信息和處理信息的能力.

(2)課內(活動2)

以合作學習工作單中所布置的任務為主線，交流分享合作學習的成果.在勾股定理的應用這一環(huán)節(jié)，教師可視具體情況予以引導、補充和調整.

(3)課外(活動3)

布置學生根據(jù)所收集的資料和上課后的體會，制作一份有關勾股定理的簡報在班級內交流.

策略2的設計說明舍棄了教材中的合作學習材料，重新安排探究路線.這樣在整個的學習過程中，學生們通過各種形式的合作學習不僅了解了知識的來龍去脈，而且認識了學習的真正含義，更為思維發(fā)展留下了空間.該策略得以順利實施的關鍵在于學生自主學習的意識和能力以及實際學習條件允許學生開展課前的活動1.

2.3 策略3:開門見山，直接證明

2.3.1 引入勾股定理

(1)復習提問：已經(jīng)學過直角三角形的哪些性質?

直角三角形的2個銳角互余.

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

圖5

(2)提出問題：如圖5，甲船以15 km/h的速度從港口A向正南方向航行，乙船以20 km/h的速度，同時從港口A向正東方向航行.行駛2小時后，兩船相距多遠？

教師引導學生將實際問題轉化成數(shù)學問題,即“已知一直角三角形的2條邊，如何求第3條邊”.學生發(fā)現(xiàn)根據(jù)已學的直角三角形性質無法解決，從而制造懸念，激發(fā)學生的積極性，順勢提出學習關于直角三角形3條邊的關系——勾股定理.

2.3.2 認識勾股定理

(1)勾股定理的歷史背景.介紹關于勾股定理的幾個常見名稱和相關紀念意義的事件.

(2)勾股定理的內容:直角三角形2條直角邊的平方和等于斜邊的平方,即如果a，b為直角三角形的2條直角邊長，c為斜邊長，則a2+b2=c2.

將介紹勾股定理的歷史背景放在明確勾股定理的內容之前，旨在激發(fā)學生的好奇心，從而引發(fā)學生對勾股定理的關注.

2.3.3 驗證勾股定理

師生一起驗證勾股定理的正確性.

圖6

已知Rt△ABC的2條直角邊分別為a,b，斜邊長為c，畫一個邊長為c的正方形，將4個這樣的直角三角形紙片按圖6放置在這個正方形內，就構成了我國歷史上著名的弦圖.

由于用面積法來證明勾股定理是學生從未經(jīng)歷過的，較難形成思路，因此教學中可以通過問題串的設置作適當?shù)膯l(fā).小結數(shù)形結合的思想方法并啟發(fā)學生用不同的方法證明.

2.3.4 應用勾股定理

在這一環(huán)節(jié)可以通過例題、習題的變式教學安排學生對勾股定理應用的探究.

策略3的設計說明基于學生的認知水平和具體條件的限制，如果教師所面對的學生基礎較弱，不具備像策略1中的探究能力或由于條件限制完成像策略2中的合作學習工作單有一定的困難時，本策略索性直接介紹勾股定理的結論及其證明，讓學生掌握“什么是勾股定理”、“為什么有勾股定理”、“怎么用勾股定理”.將教材中的合作學習材料舍棄不用，也沒有安排對勾股定理的探究活動，不為“表演”而活動.如果說前2種策略的課題叫“探索勾股定理”的話，那么策略3的課題叫“驗證勾股定理”就更為合適了.

3 課后思考

3.1 如何合理地因“材”施“探”？

這里的“材”可以從學生和探究的主題內容這2個方面加以理解.從學生方面講，不同地區(qū)、不同學校、不同家庭背景的學生，知識基礎和能力有一定的差異.從探究的主題內容來看，可探究性和可操作性也有差異.筆者認為讓學生自己對勾股定理進行完全探究是不可能的，那么該如何合理地因“材”施展不同程度的“探”呢？

3.2 如何探究才是適時、適度的?

雖然一節(jié)課可能完成一個主題的探究，但不是每一個主題都能在一節(jié)課內探究出結果[3].在策略2中安排學生帶著問題在課前嘗試探究，將探究性教學轉變成研究性學習，在課內交流自己的感悟、收獲和疑惑，讓學生體驗成功的喜悅和解決問題后的欣喜.在實際教學中，教師該如何調控探究的時間和空間才是適時、適度的呢？

3.3 如何在“探究性教學”與“傳統(tǒng)式教學”之間尋找到一個結合點？

重基礎知識輕探究應用的觀念陳舊落后，需要改變；而重探究應用輕基礎知識，也是片面的觀念.探究性教學必須以基礎知識、基本技能的掌握為前提，而在基礎知識和基本技能的掌握方面，傳統(tǒng)的“接受式”教學有獨到的作用.教師在實施探究性教學時，不能一概否定傳統(tǒng)的“接受式”教學[3].在策略3中學生學習的探究味少了，接受味濃了，那么該如何在兩者之間尋找一個結合點，來實現(xiàn)有效整合呢？

[1] 王南林.試談數(shù)學探究性學習中教師的指導策略[J].中學數(shù)學教育：初中版,2006(3):18-20.

[2] 章飛.探究教學的一些思考——從勾股定理的探索談開去[J].中學數(shù)學教與學,2007(1):20-28.

[3] 蔣雨華.對新課程背景下探究性教學的幾點思考[J].中國教育學刊,2005(11):37-39.