張如林，樓夢麟

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2.中國石油大學(xué)（華東） 儲(chǔ)運(yùn)與建筑工程學(xué)院，山東 青島 266555）

1 引 言

土的動(dòng)力非線性本構(gòu)關(guān)系是表征土體動(dòng)力特性的最基本關(guān)系，是土動(dòng)力學(xué)研究的核心問題之一，同時(shí)也是巖土工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。模型建立得合理與否，對于重要工程場地的非線性地震反應(yīng)，以及對于土工建筑及地基的動(dòng)力響應(yīng)機(jī)制的研究都是至關(guān)重要的。室內(nèi)試驗(yàn)和現(xiàn)場觀測均表明，土體的動(dòng)力性質(zhì)非常復(fù)雜，在循環(huán)荷載作用下，巖土材料的動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系主要表現(xiàn)出非線性、滯后性和變形累積三方面的特征。在求解巖土體的地震反應(yīng)問題時(shí)，需要考慮巖土體在動(dòng)力作用下的非線性特征，就必然要涉及到巖土體的動(dòng)力本構(gòu)模型的選擇問題[1]。

土體動(dòng)力非線性本構(gòu)模型研究主要分 3類方法：①工程中常用的等效線性化方法[2]，該方法形式直觀簡單，是試驗(yàn)結(jié)果的歸納，而且積累了大量工程經(jīng)驗(yàn)，在目前土體動(dòng)力反應(yīng)分析、場地非線性地震反應(yīng)分析中應(yīng)用廣泛，但它仍有不少缺點(diǎn)，如易產(chǎn)生“虛共振現(xiàn)象”，不能計(jì)算永久變形，在大應(yīng)變、強(qiáng)震動(dòng)時(shí)誤差大，把土的塑性耗能轉(zhuǎn)化為黏滯阻尼處理等等；②真非線性動(dòng)力本構(gòu)模型[3]，這類方法往往具有較多的模型參數(shù)，并且難以通過常規(guī)試驗(yàn)獲得；③時(shí)域滯回非線性分析方法，該類方法包括Masing類、Iwan類以及多線性本構(gòu)模型等，這也是本文研究所采用的方法。

試驗(yàn)研究表明，飽和軟土的動(dòng)剪切模量Gd與動(dòng)剪應(yīng)變?chǔ)胐之間的關(guān)系基本符合雙曲線關(guān)系[4]。Hardin等[5]提出了預(yù)測Gd與γd的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，即著名的Hardin-Drnevich模型，隨后Martin等[6]認(rèn)為，達(dá)維堅(jiān)科夫模型可以更好地描述軟土的動(dòng)力變形特性。陳國興等[7]對達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線進(jìn)行了一定的修正，并與南京及其鄰近地區(qū)土體試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，獲得了達(dá)維堅(jiān)科夫模型參數(shù)的擬合值。楊林德等[8]、劉齊建[9]曾對上海地區(qū)軟土的動(dòng)力特性進(jìn)行了研究，通過對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合分析，發(fā)現(xiàn)對于上海典型飽和軟土、上海軟土的動(dòng)力變形特性符合“應(yīng)變軟化”規(guī)律，認(rèn)為達(dá)維堅(jiān)科夫模型能夠很好地描述Gd與γd、阻尼比D與γd之間的關(guān)系。

本文在前人研究成果基礎(chǔ)上，對軟土非線性動(dòng)力本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了研究?；贛artin等[6]提出的達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線的土體動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，通過構(gòu)造土體加載、再卸載的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滯回曲線，試圖建立一種更為適合上海地區(qū)軟土的非線性動(dòng)力本構(gòu)模型，從而為上海地區(qū)軟土場地的動(dòng)力計(jì)算反應(yīng)分析提供適用的動(dòng)力本構(gòu)模型。

2 達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線和動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變滯回曲線表達(dá)式

巖土體一維動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的研究是巖土材料動(dòng)力本構(gòu)關(guān)系研究中最基本的內(nèi)容。Masing[10]最早建立了等幅循環(huán)荷載作用下巖土體的一維動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，按下列規(guī)則來構(gòu)造動(dòng)本構(gòu)關(guān)系：①土的動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的骨架曲線為雙曲線；②在初始加載過程中，動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系遵循骨架曲線；③在初始反向卸載時(shí)土的動(dòng)剪切模量與最大剪切模量相等，加、卸載應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線與骨架曲線成2倍關(guān)系。上述規(guī)則被稱為Masing法則，本節(jié)首先從一維應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系骨架曲線開始推導(dǎo)。

2.1 達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線理論公式

Hardin等[5]提出，用一種雙曲線形式來描述土體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，其動(dòng)剪切模量比的表達(dá)式為

式中：G為剪切模量；Gmax為初始最大剪切模量；γ為剪應(yīng)變幅值；γref=τfGmax，為參考剪應(yīng)變，一般可取動(dòng)剪切模量比為0.5所對應(yīng)的剪應(yīng)變幅值，如圖1所示。

圖1 雙曲線應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和參考剪應(yīng)變示意Fig.1 Hyperbolic stress-strain curve and reference shear strain

Martin等[6]采用達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線來描述上述關(guān)系，將式（2）中的H(γ)改寫成如下形式：

式中：A和B為與土性有關(guān)的擬合參數(shù)。需要指出的是，這里的γ0不再是具有明確物理意義的參考剪應(yīng)變幅值，而僅僅是個(gè)擬合參數(shù)而已。顯然，當(dāng)A=1.0，B=0.5，γ0=γref時(shí)，達(dá)維堅(jiān)科夫模型描述的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線就退化為Masing雙曲線模型。

達(dá)維堅(jiān)科夫模型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的骨架曲線可表示為

把式（3）代入到式（4），可得

2.2 骨架曲線增量剪切模量表達(dá)式

假定土體為理想黏彈性體，可從一般的模量衰減曲線得到歸一化的剪應(yīng)力為

式中：Ms為模量衰減系數(shù)，是一個(gè)歸一化的割線模量。

通過對式（6）求γ的導(dǎo)數(shù)，可得到歸一化的切線模量Mt，本文將其稱為模量乘子，計(jì)算表達(dá)式如下：

增量剪切模量G就可以表示為

再對式（5）求導(dǎo)，就可得到達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線中的增量剪切模量表達(dá)式：

2.3 滯回曲線增量剪切模量表達(dá)式

當(dāng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的骨架曲線為達(dá)維堅(jiān)科夫模型時(shí)，可采用Masing法則來構(gòu)造相應(yīng)的滯回曲線。根據(jù)Masing法則得到的滯回曲線的計(jì)算公式為

式中：τr為反轉(zhuǎn)點(diǎn)的應(yīng)力；γr為反轉(zhuǎn)點(diǎn)的應(yīng)變，如圖2所示。

圖2 骨架曲線和滯回圈的構(gòu)造Fig.2 Skeleton curve and stress-strain hysteresis curves

聯(lián)合式（10）和式（5）得到滯回曲線的計(jì)算表達(dá)式為

式中：R=(γ-γr)(2γ0)。

對式（11）求導(dǎo)，得出滯回曲線的增量剪切模量計(jì)算表達(dá)式為

至此，就得到了完整的達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線和卸載、再加載的滯回曲線的表達(dá)形式。

3 程序編制與驗(yàn)證

3.1 FLAC3D中本構(gòu)模型的開發(fā)環(huán)境

本文在 FLAC3D提供的二次開發(fā)平臺(tái)上進(jìn)行前面的本構(gòu)模型程序的編制。FLAC3D采用面向?qū)ο蟮臉?biāo)準(zhǔn)C++語言編寫而成，其所有的本構(gòu)模型均以動(dòng)態(tài)鏈接庫文件（.DLL）的形式提供給用戶，在計(jì)算過程中主程序會(huì)自動(dòng)調(diào)用用戶指定的本構(gòu)模型的動(dòng)態(tài)鏈接庫文件[11]。FLAC3D自定義本構(gòu)模型的主要功能是根據(jù)給出的應(yīng)變增量得到新的應(yīng)力。模型文件的編寫主要包括 5部分內(nèi)容：①基類（class constitutive model）的描述；②成員函數(shù)的描述；③模型的注冊；④模型與FLAC3D之間的信息交換；⑤模型狀態(tài)指示器的描述。由于 FLAC3D自帶的本構(gòu)模型和用戶自己編寫的本構(gòu)模型繼承的都是同一個(gè)基類，因此，用戶自定義的本構(gòu)模型和軟件自帶的本構(gòu)模型的執(zhí)行效率處于同一水平[11]。

對于本文來講，F(xiàn)LAC3D的本構(gòu)模型開發(fā)工作主要是修改頭文件（.H文件）和程序文件（.CPP文件）。本文在線彈性本構(gòu)模型（Userelas.H和Userelas.CPP兩個(gè)文件）的開放源代碼的基礎(chǔ)上進(jìn)行修改。在線彈性本構(gòu)模型中，加載和卸載、再加載過程中的模量值一直保持恒定不變，而本文模型在每次計(jì)算過程中，都要根據(jù)當(dāng)前的應(yīng)變狀態(tài)修改其模量值，來體現(xiàn)加載和卸載剪切模量的變化。

3.2 應(yīng)變反轉(zhuǎn)與實(shí)現(xiàn)思路

多數(shù)材料在一維條件下的力學(xué)性質(zhì)與三維條件下的力學(xué)性質(zhì)存在很大差別，尤其是對于巖土這樣的顆粒破碎材料。在進(jìn)行三維土層場地地震反應(yīng)以及土與結(jié)構(gòu)相互作用分析時(shí)，需要將前面的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系從一維應(yīng)變空間擴(kuò)展到三維應(yīng)變空間中。

在構(gòu)建上述本構(gòu)模型時(shí)，需要考慮應(yīng)變反轉(zhuǎn)的問題。本文采用如下處理方式，對于三維分析問題，至少存在6個(gè)應(yīng)變率張量分量，分別定義如下[12]：

式中：Δeij為應(yīng)變增量張量。

在應(yīng)變空間中尋找應(yīng)變軌跡的極值點(diǎn)，用上標(biāo)0定義前一個(gè)點(diǎn)，用上標(biāo)00定義前面第2個(gè)點(diǎn)，應(yīng)變空間中前一個(gè)單位矢量的計(jì)算公式為

式中：下標(biāo)i為1～6個(gè)分量。

新的應(yīng)變增量 (εi-)在前一個(gè)單位矢量上的投影，或者用當(dāng)前的偏移向量乘以就可以得到應(yīng)變幅值：

將式（15）中的γ代入到式（7）中就可以得到模量乘子Mt，再代入到式（8）就可得到此時(shí)的剪切模量。

3.3 程序編制

Rosenblueth[13]、Newmark[14]等對 Masing 法則又做了2條補(bǔ)充規(guī)則：①若卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線或加載應(yīng)力-應(yīng)變曲線與骨架曲線相交，則偏離原曲線而遵循骨架曲線，稱為“上骨架曲線”規(guī)則；②若當(dāng)前曲線與先前同方向的后繼應(yīng)力-應(yīng)變曲線相交，則當(dāng)前曲線偏離原曲線，而遵循先前的后繼應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線移動(dòng)，稱“上大圈”規(guī)則。Masing法則和上述2條補(bǔ)充規(guī)則通常稱為“擴(kuò)展的Masing法則”，如圖3所示。

圖3 “上大圈”準(zhǔn)則示意圖Fig.3 Sketch of up-large-cycle curve rule

擴(kuò)展的 Masing法則難以用簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述，確定加、卸載的過程中應(yīng)力-應(yīng)變曲線的分支走向時(shí)只能采用數(shù)值判斷來實(shí)現(xiàn)，在程序編制時(shí)需要特別對拐點(diǎn)加以判斷。本文采用一種“?！钡臄?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形式，該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)采用“后進(jìn)先出”的順序來對其中的數(shù)據(jù)進(jìn)行操作[15]。在執(zhí)行過程中，每遇到一個(gè)拐點(diǎn)，便將其狀態(tài)信息存入棧中（稱為入棧），一旦當(dāng)前的應(yīng)變水平達(dá)到或者超過棧中記錄的上次拐點(diǎn)的應(yīng)變水平，就彈出記錄的該拐點(diǎn)的狀態(tài)信息（稱為彈棧），進(jìn)而更新剪切模量乘子，這樣就可以簡便地實(shí)現(xiàn)復(fù)雜加載路徑下的應(yīng)變轉(zhuǎn)折。

FLAC3D自帶一個(gè)Run()函數(shù)，該函數(shù)的主要作用是根據(jù)應(yīng)變增量計(jì)算應(yīng)力張量。本文在編制程序時(shí)，定義一個(gè)MyMt()函數(shù)來返回每個(gè)計(jì)算時(shí)刻的剪切模量值。在該函數(shù)中，首先提取Run()函數(shù)中的應(yīng)變值，判斷此時(shí)是否為拐點(diǎn)，以及是否超過棧中記錄的上個(gè)拐點(diǎn)應(yīng)變等操作，計(jì)算此時(shí)的模量乘子，進(jìn)而更新模量值G并返回到Run()函數(shù)中，計(jì)算當(dāng)前的應(yīng)力值，如此重復(fù)這樣的步驟直到計(jì)算結(jié)束。整個(gè)程序計(jì)算流程圖如圖4所示。

圖4 程序計(jì)算流程圖Fig.4 Flow chart of program

3.4 程序驗(yàn)證

在程序驗(yàn)證時(shí)，常采用一個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)橐粋€(gè)單元本身的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)簡單。為了驗(yàn)證程序編制的可靠性，檢驗(yàn)程序能否實(shí)現(xiàn)應(yīng)變拐點(diǎn)判斷以及遵循廣義 Masing法則等功能，以一個(gè)單元（1 m×1 m×1 m）為例，通過施加剪應(yīng)變的方式來研究復(fù)雜加載路徑下的應(yīng)力-應(yīng)變發(fā)展情況。剪應(yīng)變加載路徑如圖5所示，計(jì)算得到的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系發(fā)展曲線如圖6所示。

可以看出，在復(fù)雜加載路徑下，應(yīng)變一旦遇到原來的拐點(diǎn)，仍會(huì)沿著原來的路徑繼續(xù)發(fā)展，當(dāng)遇到骨架曲線，同樣也會(huì)沿著骨架曲線繼續(xù)前行，這說明本文編制的程序是合理可靠的。

圖5 復(fù)雜加載路徑曲線Fig.5 Curve of complex loading path

圖6 計(jì)算的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.6 Calculating stress-stress curve by program

4 土體試驗(yàn)結(jié)果對比

4.1 相關(guān)文獻(xiàn)土體模型參數(shù)

楊林德[8]、劉齊建[9]等通過對上海市區(qū)典型軟土的動(dòng)力試驗(yàn)，測定了試樣的動(dòng)剪切模量Gd、阻尼比D隨動(dòng)剪應(yīng)變?chǔ)胐變化的關(guān)系曲線。本文采用文獻(xiàn)[9]中粉質(zhì)黏土典型土體試樣的動(dòng)剪切模量比GGmax-γd和D-γd的實(shí)測曲線，所選土樣取自上海市軌道交通6號(hào)線德平路車站和明珠二期工程臨平路車站，共有14個(gè)土樣，其中德平路12個(gè)，臨平路2個(gè)。根據(jù)文獻(xiàn)[9]中試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合的達(dá)維堅(jiān)科夫模型參數(shù)，以及本文通過插值，取GGmax=0.5所對應(yīng)的剪應(yīng)變幅值作為 Hardin-Drnevich模型中的參考剪應(yīng)變?chǔ)胷。

將本文結(jié)果與文獻(xiàn)[16]中的土體試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，通過最小二乘法擬合出文獻(xiàn)[16]中土體試樣的達(dá)維堅(jiān)科夫模型參數(shù)，以及數(shù)據(jù)插值得到Hardin-Drnevich模型的參考剪應(yīng)變?chǔ)胷。文獻(xiàn)[9]、[16]中兩種土體試樣的模型計(jì)算參數(shù)分別列于表1。

表1 兩種本構(gòu)模型計(jì)算參數(shù)Table1 Calculation parameters of two constitutive models

4.2 結(jié)果對比分析

根據(jù)表1所列的兩種本構(gòu)模型的計(jì)算參數(shù)，本文以一個(gè)單元（1 m×1 m×1 m）為例來進(jìn)行計(jì)算分析。通過施加若干個(gè)水平的剪應(yīng)變，得到不同剪應(yīng)變幅值下動(dòng)剪切模量比和阻尼比隨剪應(yīng)變幅值的變化曲線，并與文獻(xiàn)[9]、[16]中的土樣試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行對比分析。對比結(jié)果如圖7～10所示。

圖7 計(jì)算G/Gmax-γd曲線與文獻(xiàn)[9]試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.7 Comparisons of simulated G/Gmax-γdcurves and test data of Ref. [9]

圖8 計(jì)算D-γd曲線與文獻(xiàn)[9]試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.8 Comparisons of simulated D-γdcurves and test data of Ref. [9]

圖9 計(jì)算G/Gmax-γ 曲線與文獻(xiàn)[16]試驗(yàn)曲線對比Fig.9 Comparisons of simulated G/Gmax-γ curves and test data of Ref. [16]

圖10 計(jì)算D-γ 曲線與文獻(xiàn)[16]試驗(yàn)曲線對比Fig.10 Comparisons of simulated D-γ curves and test data of Ref. [16]

從圖7～10中本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[9]、[16]中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果對比來看，在整個(gè)計(jì)算剪應(yīng)變范圍內(nèi)，兩種本構(gòu)模型計(jì)算的動(dòng)剪切模量比隨剪應(yīng)變幅值的變化曲線與試驗(yàn)曲線都擬合較好。相比Hardin-Drnevich模型，采用達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線構(gòu)造的滯回曲線模型可以更好地?cái)M合試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果。在應(yīng)變值小于 0.05%的范圍內(nèi)，達(dá)維堅(jiān)科夫本構(gòu)模型擬合的阻尼比曲線較好；在應(yīng)變值大于 0.05%時(shí)，雖然Hardin-Drnevich模型和達(dá)維堅(jiān)科夫模型擬合阻尼比曲線都有一定的差距，但達(dá)維堅(jiān)科夫模型的擬合效果仍然比Hardin-Drnevich模型要好得多。

研究表明[17]，實(shí)際土層場地地震反應(yīng)分析中，土體的動(dòng)剪應(yīng)變幅值一般不會(huì)超過0.1%，因此，在大部分的動(dòng)剪應(yīng)變范圍內(nèi)，采用達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線構(gòu)造的非線性動(dòng)力本構(gòu)模型是可行的。從這個(gè)意義上來講，本文所構(gòu)建的基于達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線的非線性動(dòng)力本構(gòu)模型比傳統(tǒng)的 Hardin-Drnevich模型要優(yōu)越很多，也更適合上海地區(qū)軟土場地的動(dòng)力計(jì)算分析。

5 結(jié) 論

（1）上海地區(qū)軟土的動(dòng)力變形特性符合“應(yīng)變軟化”規(guī)律，可以用達(dá)維堅(jiān)科夫模型描述。

（2）以達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線為基礎(chǔ)，采用Masing法則，構(gòu)造了土體加載、再卸載的動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滯回曲線，推導(dǎo)了骨架曲線和卸載、再加載滯回曲線的增量剪切剪切模量。

（3）將土體動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線從一維推廣到三維應(yīng)變空間，基于FLAC3D提供的二次開發(fā)平臺(tái)，編制了基于達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線和符合廣義Masing法則的土體非線性動(dòng)力本構(gòu)模型計(jì)算程序，通過復(fù)雜加載路徑驗(yàn)證了編制程序的正確性。

（4）研究結(jié)果表明，相比工程上廣泛應(yīng)用的Hardin-Drnevich模型，基于達(dá)維堅(jiān)科夫骨架曲線構(gòu)造的本構(gòu)模型所得到的軟土 G/Gmax-γd和D-γd曲線更符合試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了本文所建立的本構(gòu)模型的合理性，可用于上海地區(qū)軟土場地的動(dòng)力計(jì)算反應(yīng)分析。

（5）根據(jù)本文研究，在應(yīng)變值超過 0.05%時(shí)，無論采用Hardin-Drnevich模型，還是達(dá)維堅(jiān)科夫模型都會(huì)過高地估算阻尼比，由此而引起的計(jì)算誤差還需做深入的研究。另外，軟土動(dòng)力特性十分復(fù)雜，影響軟土土體非線性的因素也很多，特別是孔隙水壓力效應(yīng)、動(dòng)態(tài)殘余應(yīng)變及殘余應(yīng)力特性、累積損傷及疲勞效應(yīng)、震動(dòng)軟化等，有必要在今后的研究中加以適當(dāng)考慮。

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