李 蔚， 殷承元

（1.安徽省郵電職業(yè)技術學院，合肥 230031； 2.上海財經(jīng)大學，上海 200433）

隨機奇異積分的Привалов－Plemelj公式

李 蔚1， 殷承元2

（1.安徽省郵電職業(yè)技術學院，合肥 230031； 2.上海財經(jīng)大學，上海 200433）

在概率極限意義下，研究了隨機奇異積分，得到了Привалов－Plemelj公式，并獲得了有關隨機奇異積分的性質，取得了一些有意義的成果.

隨機奇異積分；Привалов－Plemelj公式；概率極限

復變函數(shù)的奇異積分于上個世紀上半葉蓬勃發(fā)展而起的，其代表人物有 МУсхелишвили［1］，Привалов［2］，并在彈性力學的研究方面具有極大的推動作用.隨后進入了國內，有許多數(shù)學家在此做了大量的開創(chuàng)性的工作.數(shù)學家路見可先生提出了復變函數(shù)的Riemann邊值問題以及周期問題，奇異積分方程的直接解法，且極其巧妙地處理了有關的平面彈性力學問題［3，4］.杜金元教授在奇異積分的計算方面作了卓有成效的工作，有效的解決了奇異積分許多問題［5］.著名數(shù)學家龔升先生開創(chuàng)了多復變函數(shù)上典型域上的奇異積分［6］.1954年著名數(shù)學家陸啟鏗院士和鐘同德教授的“普列瓦洛夫定理的推廣”受到了李國平院士和當時的蘇聯(lián)加霍夫（Гахов）學派稱贊，認為這是創(chuàng)新工作，給予頗高評價.當然，還有許許多多的國內外的專家和學者從事著這個領域的工作.

本文將嘗試著對含有隨機量的奇異積分，在概率極限意義下，進行探討，取得一些有意義的結果.

設G是復平面中的非空集合，Ω是樣本空間，（Ω，A，P）是概率測度空間，x（t，w）是一個G×Ω上的函數(shù).對任意一個t∈G，x（t，w）是Ω上的隨機變量，即是（Ω，A，P）上的可測函數(shù).換句話說，x（t，w）是以G為指標集的Ω上的隨機過程.

定義1設x（t，w）是以G為指標集的Ω上的隨機過程.如果對任一t∈G，都有E（｜x（t，w）｜2）＜＋∞，稱x（t，w）為平方可積的，記為

定義3設x（t，w）是以G為指標集的Ω上的隨機過程.如果對任t∈G，s∈G，存在常數(shù)A＞0和α∈（0，1］，使得，那么稱x（t，w）在期望意義下是具有α指數(shù)的H?lder連續(xù)的，簡稱為H?lder連續(xù).記Hα（G；Ω，A，P）為所有確定的G，（Ω，A，P）具有α指數(shù)的H?lder連續(xù)的集合.

對任一x（t，w）∈Hα（G；Ω，A，P），定義

證Hα（G；Ω，A，P）是一個線性空間是顯然的.下證‖x（t，w）‖滿足范數(shù)的條件.

［1］МусхелищвилНИ.奇異積分方程 ：函數(shù)論邊值問題及其在數(shù)學物理中的某些應用［M］.朱季訥譯.上海：科學技術出版社，1966.

［2］ПриваловИИ.復變函數(shù)引論［M］.閔嗣鶴，等譯.北京：人民教育出版社，1956.

［3］路見可.解析函數(shù)邊值問題［M］.上海：上?？茖W技術出版社，1987.

［4］路見可.平面彈性復變方法［M］.3版.武漢：武漢大學出版社，2005.

［5］Du Jinyuan.Singular integral operators and singular quadrature operators associated with singular integral equations［J］.Acta.Math.Sci.，1998，18（2）：227－240.

［6］龔升.多復變數(shù)的奇異積分［M］.上海：上?？茖W技術出版社，1982，

［7］陸啟鏗.多復變函數(shù)論的回顧與前瞻［J］.首都師范大學學報（自然科學版），1996，17（4）：1－7.

［8］殷承元.閉復超球上的普里瓦洛夫定理［J］.安徽大學學報（自然科學版），1990，14（3）：6－11.

Привалов－Plemelj’Formula of Stochastic Singular Integral

LIWei1，YINCheng－yuan2
（1.Anhui Post and Communication College，Heifei 230039，China；2.Shanghai University of Finance and Economics，Shanghai 200433，China）

The stochastic singular integral in investigated in the sense of probability，andПривалов－Plemelj’formula is proved，and some properties on the stochastic singular integral are obtained.

stochastic singular integral；Привалов－Plemelj’formula；limit in sense of probability

O175.8；O211.4

A

1672－1454（2012）04－0059－05

2012－02－24；［修改日期］2012－04－24