汪振雙，王立久

（1.東北財經(jīng)大學(xué) 投資工程管理學(xué)院，遼寧 大連 116025；2.大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116024）

分形幾何學(xué)是由Mandelbrot創(chuàng)建的，“分形”一詞的英文是Fractal，其名來自拉丁文形容詞Fractal（破碎的）［1-2］.分形幾何學(xué)為描述復(fù)雜問題提供了一種得力的方法，分形的核心是自相似性，分形的特征量是分形維數(shù).目前分形幾何學(xué)已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會科學(xué)的各個領(lǐng)域［3］.分形幾何學(xué)是定量描述幾何形體復(fù)雜程度及空間填充能力的一門新興學(xué)科.有許多采用傳統(tǒng)的科學(xué)研究方法難以解決的問題，用分形理論卻得到了很好的解決.混凝土宏觀性能所呈現(xiàn)出的不確定性、不規(guī)則性、模糊性、非線性，是其微觀結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的反映［4］.目前人們對混凝土微觀性與宏觀性的關(guān)系尚未完全研究清楚.混凝土作為具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的多級多層次的復(fù)合材料體系，尤其是集料的級配具有突出的自相似性，完全可以利用分形幾何學(xué)進(jìn)行研究.國內(nèi)學(xué)者李國強(qiáng)、鄧學(xué)鈞率先提出在集料研究中引入分形理論，并且為集料粒徑、級配、比表面積等擬定了計(jì)算公式，唐明又在兩人的基礎(chǔ)上提出了更加完善一些的數(shù)學(xué)模型和更加符合實(shí)際情況的分形維數(shù)等補(bǔ)充結(jié)果［5］.研究表明，混凝土集料存在許多分形現(xiàn)象，對這些分形現(xiàn)象進(jìn)行深入分析，是研究混凝土復(fù)雜性本質(zhì)的有效途徑.

1 均勻設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法有單因素試驗(yàn)、雙因素試驗(yàn)、隨機(jī)區(qū)組試驗(yàn)、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)等.目前應(yīng)用較為廣泛的是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法和均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)法.正交設(shè)計(jì)是古典試驗(yàn)設(shè)計(jì)中流行最廣的一種方法，它的基點(diǎn)是以方差分析為統(tǒng)計(jì)模型，選出的代表點(diǎn)具有“均勻分布”與“整齊可比”的特點(diǎn).“整齊可比”便于試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析，然而，為了照顧“整齊可比”，試驗(yàn)點(diǎn)就不能充分地“均勻分散”，且試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)目會比較多（試驗(yàn)次數(shù)隨水平數(shù)的平方而增加）.所以當(dāng)因素的水平不多、試驗(yàn)范圍不大時，它是非常有效的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法.然而當(dāng)試驗(yàn)需考察的因素較多且每個因素有較多水平時，運(yùn)用正交設(shè)計(jì)方法所需做的試驗(yàn)次數(shù)仍會較多，以至于難以安排試驗(yàn).20世紀(jì)70年代末，我國著名的數(shù)理統(tǒng)計(jì)專家方開泰與數(shù)論專家王元合作，將數(shù)論理論成功地應(yīng)用于試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，創(chuàng)立了一種全新的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法——均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)法［1］.它只需考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)“均勻分散”，而不必考慮“整齊可比”，使試驗(yàn)點(diǎn)具有更好的代表性，因而可以大大減少試驗(yàn)次數(shù)，給試驗(yàn)者更多的選擇，從而可以用更少的試驗(yàn)來獲得期望的結(jié)果［6-7］.

2 試 驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)材料

試驗(yàn)采用大連小野田水泥廠華日牌32.5水泥.細(xì)集料為天然河砂，試驗(yàn)用水為普通飲用水.水泥的化學(xué)成分見表1.

表1 水泥的化學(xué)成分（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）Table 1 The chemical composition of cement%

2.2 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

本試驗(yàn)的目的是找出不同粒徑范圍顆粒的分計(jì)篩余質(zhì)量分?jǐn)?shù)對砂漿強(qiáng)度和坍落度性能影響的規(guī)律，因此確定試驗(yàn)考核指標(biāo)為強(qiáng)度R（MPa）和坍落度S（mm）.據(jù)此選擇6個因素：X1，X2，X3，X4，X5，X6，它們分別對應(yīng)的篩孔尺寸范圍是4.75～9.50mm，2.36～4.75mm，1.18～2.36mm，0.60～1.18mm，0.30～0.60mm，0.15～0.30mm.根據(jù)對顆粒級配范圍的規(guī)定，確定6因素的變化范圍（用分計(jì)篩余來表示）如下：X1＝0～10，X2＝0～25，X3＝0～30，X4＝15～36，X5＝10～45，X6＝5～35，每個因素取9個水平［7］.試件尺寸40mm×40mm×160mm，每組做三塊試件，拌合總量為1 975g.由于有6個因素、9個水平，因此選用均勻設(shè)計(jì)表U＊9（96）使用表來安排試驗(yàn)方案，詳細(xì)配合比見表2.

表2 試驗(yàn)材料的配合比Table 2 The experimental proportion

2.3 試驗(yàn)方法和內(nèi)容

試件是在實(shí)驗(yàn)室制作，標(biāo)準(zhǔn)條件下養(yǎng)護(hù)28d后進(jìn)行試驗(yàn).砂漿的力學(xué)性能和擴(kuò)展度均按照膠砂試驗(yàn)測試方法測試.抗壓強(qiáng)度和抗折強(qiáng)度的試驗(yàn)結(jié)果取值與膠砂試驗(yàn)相同.

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 試驗(yàn)結(jié)果

試驗(yàn)結(jié)果見表3.

表3 試驗(yàn)結(jié)果Table 3 Experimental results

3.2 細(xì)集料級配分形研究

混凝土存在幾種層次的分形.細(xì)骨料為砂，粗骨料一般為卵石和碎石，其表面就是一種分形.當(dāng)不同尺寸的骨料混合后，代表骨料尺寸的粒徑就形成一種分布，這個分布函數(shù)是一種數(shù)學(xué)分形.當(dāng)不同尺寸的集料混合后，代表集料尺寸的粒徑就形成一種分布，這個分布函數(shù)就是一種分形.對混凝土集料顆粒來說，設(shè)集料的顆粒粒徑為φ，直徑大于φ的顆粒數(shù)目為N（φ），則

式中，D是級配集料顆粒質(zhì)量分維；P（φ）為直徑為φ的分布密度函數(shù).事實(shí)上，當(dāng)式（1）成立時，必然存在N（φ）∝N（λφ），λ＞0，故N（φ）和N（λφ）是成比例的［4］.

用相應(yīng)的質(zhì)量關(guān)系來討論顆粒分布的分維，設(shè)m（φ）為直徑小于φ的顆粒累計(jì)分形質(zhì)量，mt為整形總質(zhì)量，則

式中，b為lg（m（φ）／mt）與lg（φ）關(guān)系坐標(biāo)的斜率.考慮到dmt∝φ3dN，則φb-1dφ∝φ3φ-（D＋1）dφ.所以集料的級配分形維數(shù)為

表3列出了不同級配細(xì)集料的分形維數(shù)，分形維數(shù)與擴(kuò)展度和抗壓強(qiáng)度的關(guān)系見圖1和圖2.分形維數(shù)與細(xì)集料的細(xì)度模數(shù)和最大密度曲線公式的n值的關(guān)系見圖3和圖4.

圖1 分形維數(shù)與擴(kuò)展度的關(guān)系Fig.1 The relationship between fractal dimension and mortar dispersion degree

圖2 分形維數(shù)與抗壓強(qiáng)度的關(guān)系Fig.2 The relationship between fractal dimension and compressive strength

圖3 分形維數(shù)與細(xì)度模數(shù)的關(guān)系Fig.3 The relationship between fractal dimension and fineness modulus

圖4 分形維數(shù)與n的關(guān)系Fig.4 The relationship between fractal dimension and n

從圖1和圖2中可以看出，砂漿的擴(kuò)展度和抗壓強(qiáng)度隨著分形維數(shù)的增大而減小，分形維數(shù)與擴(kuò)展度的線性關(guān)系較分形維數(shù)與抗壓強(qiáng)度顯著.在水泥和水用量不變的情況下，細(xì)集料的級配分形維數(shù)越大，表明細(xì)集料的空間填充能力越強(qiáng)，集料的比表面積越大，需要包裹的水泥漿的用量也就越多.分形維數(shù)越大，砂漿的擴(kuò)展度反而減小.混凝土的強(qiáng)度隨著分形維數(shù)的增大而減小，分形維數(shù)為2和2.5時，混凝土的抗壓強(qiáng)度出現(xiàn)了跳躍，且當(dāng)分形維數(shù)為2.5時，抗壓強(qiáng)度取得最大.顆粒級配在規(guī)定范圍內(nèi)，在水和水泥用量不變的情況下，不同的級配組成對砂漿強(qiáng)度的影響比較顯著.抗壓強(qiáng)度結(jié)果與富勒曲線結(jié)果吻合.而細(xì)度模數(shù)和n值隨著分形維數(shù)的增大而減小.混凝土用砂的原則是，在滿足級配要求的范圍內(nèi)，盡量選用粒徑較大的砂子.細(xì)度模數(shù)越小，細(xì)集料的粒徑越小，比表面積越大，分形維數(shù)越大.細(xì)集料質(zhì)量函數(shù)的分形模型與最大密度曲線理論提出的公式具有相同的表達(dá)形式，即公式中的n等于簡化公式中的3-D，根據(jù)試驗(yàn)認(rèn)為n＝0.3～0.6時，具有較好的密實(shí)度，從而驗(yàn)證了上述推導(dǎo)的正確性.

4 結(jié) 語

（1）利用均勻設(shè)計(jì)方法對混凝土細(xì)集料級配進(jìn)行了研究，在擴(kuò)展度相差不大的情況下，第5組試驗(yàn)結(jié)果的強(qiáng)度最高，從而確立了較優(yōu)的顆粒組成.即細(xì)集料粒徑區(qū)間（mm）分別為4.75～9.50，2.36～4.75，1.18～2.36，0.60～1.18，0.30～0.60，0.15～0.30.其對應(yīng)區(qū)間的分計(jì)篩余質(zhì)量分?jǐn)?shù)（%）分別為4，16，32，20，8，4.

（2）混凝土是一種微觀結(jié)構(gòu)和力學(xué)性能都很復(fù)雜的工程材料.將分形理論引入混凝土領(lǐng)域中，用分形維數(shù)D對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了描述和分析.細(xì)集料級配的分形維數(shù)越大，骨料自密實(shí)填充性能越好，則混凝土強(qiáng)度越高.集料質(zhì)量函數(shù)的分形模型與最大密度曲線理論提出的公式具有相同的表達(dá)形式，從而可從微觀層面上解釋級配的分布特征.

（3）混凝土細(xì)集料分形維數(shù)是一個描述復(fù)雜問題的定量參數(shù)，它包含了細(xì)集料在空間上的填充能力，還涵蓋了細(xì)集料級配的組成變化，因此細(xì)集料分形維數(shù)可定量描述細(xì)集料性能，能夠起到連接細(xì)集料性能與混凝土性能的橋梁作用，可以成為指導(dǎo)混凝土設(shè)計(jì)的定量指標(biāo).

［1］ 肯尼思·法爾科內(nèi).分形幾何中的技巧［M］.曾文曲，王向陽，陸夷，譯.沈陽：東北大學(xué)出版社，1999.

［2］ Mandelbrot B B.Fractal character of fracture of metals［J］.Nature，1984，308（19）：721-722.

［3］ 張國祺，李后強(qiáng).分形理論對世界認(rèn)識的意義［J］.大自然探索，1994，13（1）：11-16.

［4］ 夏春，劉浩吾.混凝土細(xì)骨料級配的分形特征研究［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報，2002，37（2）：186-189.

［5］ 姜曉偉，宓永寧，高躍.不同分維骨料級配對混凝土性能的影響研究［J］.房材與應(yīng)用，2006（2）：5-7.

［6］ 周梅，汪振雙，李塑忠.基于均勻設(shè)計(jì)的逐步回歸法預(yù)測樹脂混凝土強(qiáng)度研究［J］.硅酸鹽通報，2007，26（5）：924-928.

［7］ 吳浩，管學(xué)茂，李榮軍.均勻設(shè)計(jì)在煤矸石填充材料顆粒級配試驗(yàn)中的應(yīng)用［J］.水泥工程，2006（6）：13-16.