李穎穎

（武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430074）

函數(shù)連續(xù)的概念和極坐標(biāo)下求面積時(shí)確定積分限教學(xué)淺見

李穎穎

（武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430074）

介紹了關(guān)于函數(shù)連續(xù)的概念，并講述了在授課中如何運(yùn)用觀察和分析圖像的方法掌握函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的條件以及在極坐標(biāo)系下求面積時(shí)怎樣確定積分限。

函數(shù)；連續(xù)概念；極坐標(biāo)；積分限

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)于函數(shù)連續(xù)的概念和極坐標(biāo)下求面積時(shí)如何確定積分限，常令學(xué)習(xí)者感到困惑。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出函數(shù)在某x0點(diǎn)處連續(xù)條件的圖像解析方法，使學(xué)生能夠直觀地掌握函數(shù)連續(xù)的概念；又得出了極坐標(biāo)中求面積時(shí)矢徑r為正值的結(jié)論，使學(xué)生在極坐標(biāo)系中求面積時(shí)能夠簡(jiǎn)捷地確定出定積分的積分限。此教學(xué)經(jīng)驗(yàn)使學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)這兩部分內(nèi)容時(shí)不再感到困難。下面分別予以介紹。

關(guān)于函數(shù)在某x0點(diǎn)處連續(xù)條件的圖像解析

圖1 函數(shù)連續(xù)的概念解析圖

關(guān)于在極坐標(biāo)系中求面積時(shí)積分限的確定問(wèn)題

在極坐標(biāo)下用定積分求曲線所圍面積時(shí)，其難點(diǎn)在于如何準(zhǔn)確確定出積分的上、下限。由于現(xiàn)行大學(xué)本科和?？频臄?shù)學(xué)教材對(duì)此問(wèn)題的闡述較少，學(xué)生（尤其是高職的專科生）在解題時(shí)普遍都感到困惑。筆者對(duì)此介紹些經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)。

在中學(xué)階段學(xué)習(xí)極坐標(biāo)方程時(shí)，矢徑r的取值是可正可負(fù)的。但在求一個(gè)極坐標(biāo)方程確定的曲線所圍成的面積時(shí)，我們無(wú)需過(guò)多考慮這個(gè)面積的形狀，只要始終將極坐標(biāo)方程中矢徑r的長(zhǎng)度值，確定是不小于0的，然后就可直接利用極坐標(biāo)方程定出積分的上、下限。

例如，在極坐標(biāo)下用定積分求“心形線”所圍成的面積時(shí)，首先要定出積分的上、下限，如果把矢徑r看做是負(fù)值的，則由 “心形線”的極坐標(biāo)方程r=a（1－cosθ）（a＞0）將得出1－cosθ＜0，即cosθ＞1，這結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的，如此就無(wú)法得出θ的取值區(qū)間。但如果把矢徑r看做是非負(fù)值的，則由方程得出 1－cosθ≥0，即cosθ≤1，于是可得0≤θ≤2π，這樣就確定出了積分的上限為2π，下限為 0。上例中將矢徑r視為非負(fù)值的做法是具有一般性的。該做法在極坐標(biāo)系中求面積時(shí)能夠幫助我們簡(jiǎn)捷地確定出定積分的上、下限。

盡管現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材都沒(méi)有明確指出矢徑r的正、負(fù)，但在求一個(gè)極坐標(biāo)方程確定的曲線所圍成的面積時(shí)，我們可以把r當(dāng)做非負(fù)值來(lái)看待。

對(duì)于求解由兩曲線所圍公共部分面積的問(wèn)題時(shí)，我們首先需對(duì)包圍著被求面積的兩曲線的圖像有一個(gè)大致的了解。這通?？捎妹椟c(diǎn)法將兩曲線畫出 ，然后聯(lián)立兩曲線的極坐標(biāo)方程，求出兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合兩曲線的圖像得出積分的上下限。

例1：求由圓r=a與“心臟線”r=a（1＋cosθ）所圍重疊部分的面積（a＞0）。

解：列表（表略）作簡(jiǎn)圖。取a=1畫簡(jiǎn)圖2。

圖2

例2：求曲線r=acosθ與r=a（cosθ＋sinθ）所圍重疊部分的面積（a＞0）。

解：列表（表略）作簡(jiǎn)圖。取a=1畫簡(jiǎn)圖3。

圖3

結(jié)合曲線的圖像可得兩曲線所圍公共部分面積s的積分為：

圖4

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A

1672-5727（2012）05-0115-02

李穎穎（1955—）男，武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)教學(xué)。