翁健光 袁軍堂 汪振華 夏亮亮

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京 210094）

滾珠絲杠的軸向接觸變形和剛度對(duì)數(shù)控機(jī)床的定位精度有較大影響。隨著加工精度的要求越來越高，對(duì)滾珠絲杠副的軸向接觸變形和剛度的進(jìn)一步研究有著深刻的意義。國內(nèi)外對(duì)滾珠絲杠副的軸向接觸變形和剛度做了較多研究，Jen Fin Lin［1］采用赫茲接觸理論和滾動(dòng)軸承中分析接觸角變化的方法對(duì)滾珠絲杠副的靜力學(xué)特性進(jìn)行了研究;趙訓(xùn)貴，平舜娣［2］對(duì)滾珠絲杠副產(chǎn)生接觸變形時(shí)的實(shí)際接觸角進(jìn)行了分析。以上學(xué)者多是借鑒對(duì)滾動(dòng)軸承的研究方法，但是由于滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)特征，比如螺旋角、回珠裝置等，使?jié)L珠的運(yùn)動(dòng)和變形比滾動(dòng)軸承更為復(fù)雜，目前關(guān)于滾珠絲杠的研究方法還沒有形成系統(tǒng)理論。本文應(yīng)用經(jīng)典赫茲接觸理論建立滾珠絲杠副的軸向接觸變形和剛度的數(shù)學(xué)模型，并采用遍歷法求解量綱為1的接觸位移，提高滾珠絲杠副軸向接觸變形和剛度的求解精度。

1 滾珠絲杠副軸向接觸變形和剛度數(shù)學(xué)模型

1．1 赫茲接觸理論

根據(jù)赫茲接觸理論，并在其假設(shè)的條件下，兩彈性體的彈性趨近量是:

式中:δn為法向位移;Q為法向載荷;E1、E2為兩個(gè)接觸體的彈性模量;μ1、μ2為兩個(gè)接觸體的泊松比;Σρ=ρ11+ ρ12+ρ21+ρ22為接觸點(diǎn)處的主曲率之和;δ*為量綱為1的接觸位移;k為接觸橢圓的短軸與長軸之比;K（e）為第一類橢圓積分;L（e）為第二類橢圓積分。

1．2 單螺母滾珠絲杠的接觸變形與剛度

滾珠與絲杠接觸點(diǎn)處的4個(gè)主曲率分別是［3］:

滾珠接觸點(diǎn)處的主曲率:

絲杠接觸點(diǎn)處的主曲率:

滾珠與螺母接觸點(diǎn)處的4個(gè)主曲率中，滾珠接觸點(diǎn)處的主曲率與式（5）相同，螺母接觸點(diǎn)處的主曲率為:

式中:db為滾珠直徑;dm為滾珠絲杠公稱直徑;λ為螺旋升角;β為接觸角。

忽略工作載荷分布不均勻的影響，假設(shè)每個(gè)滾珠所受的載荷是相同的，則軸向工作載荷F與單個(gè)滾珠所承受的法向載荷P的關(guān)系為:

由圖1可知法向位移δn:

δn引起螺母的軸向位移的值是［4］:

根據(jù)式（1）、（9）、（10）:

令

則單螺母滾珠絲杠接觸變形:

滾珠絲杠副的軸向接觸剛度可由F對(duì)接觸變形的求導(dǎo)得到，即:

結(jié)合式（8）、（13）、（14）可得單螺母接觸剛度:

1．3 雙螺母滾珠絲杠的接觸變形與剛度

對(duì)于有預(yù)緊力的滾珠絲杠，在載荷作用下的變形及其受力分析示意圖如圖2和圖3所示。

在軸向載荷F的作用下，不考慮螺母和墊片自身的彈性變形，假設(shè)工作載荷均勻分布，工作螺母A會(huì)產(chǎn)生軸向接觸壓縮變形量，預(yù)緊螺母B會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的回復(fù)變形量。依據(jù)變形協(xié)調(diào)原理，壓縮變形量與彈性恢復(fù)變形量相等，則:

根據(jù)滾珠絲杠副的靜力平衡和變形協(xié)調(diào)關(guān)系可得:

式中:F為軸向工作載荷;F預(yù)為預(yù)緊力;FP為滾珠的預(yù)緊法向載荷;PA為A側(cè)滾珠的法向載荷;PB為B側(cè)滾珠的法向載荷。

求解方程組（17），得PA和FP的值，將其反代入方程組（17）中，則雙螺母滾珠絲杠副的軸向接觸變形為:

表1 滾珠絲杠副的幾何和物理參數(shù)

根據(jù)剛度的定義式（14）和式（18）得雙螺母的接觸剛度:

1．4 δ*的計(jì)算

δ*是量綱為1的接觸位移［5］，作為滾珠絲杠軸向接觸變形和剛度計(jì)算中的一個(gè)重要參數(shù)，其數(shù)值解影響軸向接觸變形和剛度的精度。對(duì)于δ*的求解，多數(shù)學(xué)者是通過數(shù)值迭代和積分法或者查表的方法得到，數(shù)值迭代和積分方法公式復(fù)雜且計(jì)算量很大，對(duì)專業(yè)知識(shí)要求較高，查表時(shí)涉及到取值和插值問題，精度較低。

本文提出一種新的δ*計(jì)算方法，采用遍歷法求解δ*，該解法計(jì)算量小，計(jì)算精度和效率高。利用MATLAB的數(shù)值計(jì)算和處理能力，編寫相應(yīng)的通用計(jì)算程序，能夠快速準(zhǔn)確地得到δ*的數(shù)值解。

為了描述兩個(gè)對(duì)應(yīng)的回轉(zhuǎn)面在無載荷作用情況下發(fā)生的接觸狀態(tài)，定義曲率差:

也可表示為［5］:

δ*的數(shù)值解法的思想是:k以間隔0.000 1從0增加到1，根據(jù)式（3）、（4），對(duì)于每一個(gè)k，求出K（e）和L（e），將其代入式（21）計(jì)算出F（ρ），然后與給定的F（ρ）做比較，差值最小時(shí)的k即為所求，將所求的k、K（e）和L（e）帶入式（2），求出δ*。這種方法計(jì)算量小，精度高。

2 計(jì)算結(jié)果分析

以FF4005的滾珠絲杠副為研究對(duì)象，用本文建立的滾珠絲杠副軸向接觸變形和剛度數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用于該滾珠絲杠靜力學(xué)特性分析。表1是滾珠絲杠副的幾何和物理參數(shù)。

2．1 載荷與滾珠絲杠副靜力學(xué)特性的關(guān)系

2．1．1 載荷與軸向接觸變形的關(guān)系

根據(jù)建立的單、雙螺母滾珠絲杠副軸向接觸變形數(shù)學(xué)模型，可得到不同工作載荷下單、雙螺母的軸向接觸變形的變化曲線，如圖4所示。

由圖4可以看出，單、雙螺母的軸向接觸變形都隨著載荷的增大而增大，但是雙螺母的軸向接觸變形小，且變化幅度較小。

2．1．2 載荷與軸向接觸剛度的關(guān)系

根據(jù)式（16）和（20）得出單、雙螺母與的軸向接觸剛度K與載荷的關(guān)系如圖5所示。

分析圖5可知:Ks隨載荷的增大而提高，且變化幅度較大，呈現(xiàn)不穩(wěn)定性，進(jìn)而影響機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的定位精度。Kd隨載荷的增大而降低，明顯大于Ks。Ks在載荷較小時(shí)變化較大，隨著載荷的增加其逐漸趨于穩(wěn)定，Kd在載荷較小時(shí)比較穩(wěn)定，當(dāng)載荷較大時(shí)其變化比較明顯。

2．2 螺旋升角與滾珠絲杠副軸向靜力學(xué)特性的關(guān)系

2．2．1 螺旋升角與軸向接觸變形的關(guān)系

目前，大導(dǎo)程的滾珠絲杠副的螺旋角在9°～17°，所以設(shè)螺旋角在0°～25°的范圍內(nèi)變化。圖6是載荷是4 000 N，預(yù)緊力2 500 N，接觸角為45°時(shí)，根據(jù)式（14）和（19）得出螺旋升角與軸向接觸變形的關(guān)系。

由圖6可以看出，軸向接觸變形隨著螺旋角的增大而減小，螺旋升角在0°～25°時(shí)，軸向接觸變形變化較小，變化率在3.5%左右。

2．2．2 螺旋升角與軸向接觸剛度的關(guān)系

圖7是載荷是4 000 N，預(yù)緊力2 500 N，接觸角為45°時(shí)，根據(jù)式（16）和（20）得出螺旋升角與軸向接觸剛度的關(guān)系圖。

由圖7可知，軸向接觸剛度隨著螺旋升角的增大而提高，變化幅度較小。

綜合圖6和7，螺旋升角對(duì)滾珠絲杠副的靜力學(xué)特性影響較小，隨著螺旋升角的增大，單、雙螺母滾珠絲杠的軸向接觸變形減小，軸向接觸剛度提高。因此，適當(dāng)增大螺旋升角，既可以提高進(jìn)給速度，又有利于提高滾珠絲杠副的靜力學(xué)性能。

3 結(jié)語

本文應(yīng)用赫茲理論，考慮螺旋角的影響，建立了單、雙螺母滾珠絲杠副的軸向接觸變形和剛度的數(shù)學(xué)模型，分析工作載荷對(duì)單、雙螺母的接觸變形和剛度的影響規(guī)律得出如下結(jié)論:

（1）雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的軸向接觸變形量明顯小于單螺母滾珠絲杠的軸向接觸變形量，減小60%左右。

（2）雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的軸向接觸剛度明顯高于單螺母滾珠絲杠的軸向接觸剛度，提高80%。

（3）適當(dāng)增大滾珠絲杠副的螺旋升角，有利于提高進(jìn)給系統(tǒng)的定位精度。

（4）雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的軸向接觸剛度變化幅度在15%左右，而單螺母滾珠絲杠的軸向接觸剛度變化幅度在50%左右，說明雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的軸向接觸剛度更穩(wěn)定，有利于提高機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的定位精度。

［1］Chin Chung Wei，Jen Fin Lin．Kinematic analysis of the ball screw mechanism considering variable contact deformations［J］．Journal of Mechanical Design，2003（125）:717－733．

［2］趙訓(xùn)貴，平舜娣．滾珠絲杠副產(chǎn)生彈性接觸變形時(shí)實(shí)際接觸角的計(jì)算［J］．機(jī)床，1989（10）:22－26．

［3］蔣書運(yùn)，祝書龍．帶滾珠絲杠副的直線導(dǎo)軌結(jié)合部動(dòng)態(tài)剛度特性［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008，19（9）:1079－1083．

［4］許向榮，宋現(xiàn)春，姜洪奎，等．單螺母滾珠絲杠副軸向剛度的分析研究［J］．武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，31（24）:54－57．

［5］Harris T A，Kotzalas M N．Essential concepts of bearing technoiogy［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2009．