施培成

（鄭州華信學(xué)院，河南 鄭州 451100）

走進(jìn)數(shù)學(xué)王國 探究數(shù)學(xué)奧秘

施培成

（鄭州華信學(xué)院，河南 鄭州 451100）

本文試圖從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義，數(shù)學(xué)的理論結(jié)構(gòu)和體系方法，分析數(shù)學(xué)的特征，探尋學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在，希望通過這些文字和歷史小故事打開認(rèn)識數(shù)學(xué)的大門.讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的奧秘，消除對數(shù)學(xué)的誤區(qū)，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的趣味和魅力，增加學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

麥比烏斯曲面；哥尼斯堡七橋問題；歐拉公式；貝特朗奇論

1 數(shù)學(xué)是開啟一切科學(xué)大門的鑰匙

按照目前科學(xué)分類的方法，物質(zhì)世界的運動按其矛盾的特性可分為自然科學(xué)，社會科學(xué)和思維科學(xué)三大基本領(lǐng)域，與這三大基本領(lǐng)域相對應(yīng)，現(xiàn)代科學(xué)包括五大基本部類，即自然科學(xué)類、社會科學(xué)類、思維科學(xué)類、數(shù)學(xué)和哲學(xué)，它們的關(guān)系如下圖1所示：

圖1中黑體字表示大部類科學(xué)，圓括號表示次級類過渡學(xué)科或邊緣學(xué)科.實線表示一級聯(lián)系，虛線表示次級聯(lián)系.

從圖1中看到數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地滲透到物質(zhì)世界的各個領(lǐng)域，數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)中的基礎(chǔ)學(xué)科，成為各門科學(xué)發(fā)展的共同工具，馬克思說“一種科學(xué)只有成功地運用數(shù)學(xué)的時候才算達(dá)到真正完善的地步”.

數(shù)學(xué)蘊含了巨大的威力，它的領(lǐng)域日益擴(kuò)大，它不僅為自然科學(xué)服務(wù)，而且在社會科學(xué)領(lǐng)域也離不開數(shù)學(xué)，誰要是不用數(shù)學(xué)為自己服務(wù)，總會有一天發(fā)現(xiàn)別人已經(jīng)用數(shù)學(xué)來同自己競爭，21世紀(jì)人人都離不開數(shù)學(xué).

2 數(shù)學(xué)的特征（Ⅰ）——高度的抽象性

充分認(rèn)識數(shù)學(xué)的抽象性特征，并找出讓自己能夠適應(yīng)并學(xué)會數(shù)學(xué)抽象的方法.

數(shù)學(xué)是人類歷史上誕生最早的科學(xué)之一，數(shù)和形這兩個基本概念是數(shù)學(xué)的兩塊基石.早在2000年前人們就認(rèn)識數(shù)的重要性，古希臘數(shù)學(xué)家說：“龐大、萬能和完美無缺是數(shù)字的力量所在，數(shù)是人類生活的開始和主宰者，也是一切事物的參與者”.缺少數(shù)字一切都變得混亂無序，數(shù)學(xué)的發(fā)展大體上也是圍繞數(shù)和形這兩個基本概念的提煉發(fā)展和演變而展開，例如大家熟悉的虛數(shù)i，起初只是在求解代數(shù)方程中出現(xiàn)，在很長一段時間里虛數(shù)i的價值和意義不為人們所理解，只把虛數(shù)之看作一個虛設(shè)的符號，直到18世紀(jì)70年代對i給予了幾何解釋建立了復(fù)變量x+yi于是應(yīng)系統(tǒng)的研究，復(fù)變函數(shù)論誕生并把它應(yīng)用在流體力學(xué)和地圖制圖學(xué)上，從此這種虛設(shè)的數(shù)i在數(shù)學(xué)上完全站住了.以及后來歐拉命名的公式e2πi的出現(xiàn)，e，π，i，1，2 這些“出身”完全不同的數(shù)，可用一個簡明的公式表現(xiàn)出來，真是不可思議，讓人對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生驚訝、感奮，引來無窮遐想，這就是數(shù)學(xué)的奧妙和魅力.

數(shù)學(xué)的抽象與其他科學(xué)的抽象有明顯的區(qū)別，數(shù)學(xué)的抽象是撇開對象具體內(nèi)容，具體屬性僅僅保留其中純粹的數(shù)量關(guān)系或空間形式例如點、線、面、數(shù)、元素、集合、空間等等這些都是純粹抽象的概念，這類基本概念無法用語言文字直接定義，它們各自的“意境”只能通過類比和聯(lián)想加以思索.然而它們在數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用中發(fā)揮了不可取代的作用.人們的習(xí)慣常常是喜歡具體而不習(xí)慣抽象（看不見摸不著）甚至有一個“誤區(qū)”認(rèn)為學(xué)習(xí)高度抽象的數(shù)學(xué)，在實際中能有多大的用處？其實正好相反，因為抽象的數(shù)學(xué)概念和方法都是由大量的生活實踐中整理概括抽象而來，一大批具有同一實際背景的事物通過類比聯(lián)想和移植就可以再回到同一類型的實際問題中去，這就是說數(shù)學(xué)的高度抽象性和廣泛應(yīng)用性不但不矛盾而且相輔相成.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要適應(yīng)并且習(xí)慣它的抽象性，在求解應(yīng)用題時，更要善于對實際問題運用抽象、聯(lián)想和移植的方法、迅速地化難為易.請看下面兩個小故事：

例1 在微積分下冊講曲面積分時提到麥比烏斯帶，這是一個單側(cè)曲面，它是由18世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家麥比烏斯構(gòu)造的，遺憾的是論文尚未發(fā)表作者就不幸故去，許多年后，被別人在他的遺作中發(fā)現(xiàn)，并把這個單側(cè)曲面命名為麥比烏斯曲面而公開發(fā)表.更加有趣的是三百多年后在上海舉世聞名的世界博覽會的展覽館群中，有一個國家把這種麥比烏斯曲面設(shè)計使用在自己國家的世博會的展覽大廳上，當(dāng)參觀的人群走在這種單側(cè)曲面的參觀通道上，感受到三百年前的古代數(shù)學(xué)文明與現(xiàn)代高科技的建筑文明融洽為一體成為世博會的一大亮點，這個抽象的麥比烏斯單側(cè)曲面再次失而復(fù)得.我們敬佩那位建筑設(shè)計師他有厚重的數(shù)學(xué)底蘊，更有超常的把抽象應(yīng)用到現(xiàn)實的能力，這個故事驗證了一句民間諺語“是金子總是要發(fā)光的”.

例2 哥尼斯堡城位于普格雷尼河畔如圖2a所示河中有大小兩個島，大島南北兩邊各有兩座橋與對岸相連，小島南北兩邊各有一座橋與對岸相連，大小兩島之間又有一座橋相連，哥尼斯堡就是由南岸、北岸、大島、小島這四塊陸地通過七座橋相連.旅游團(tuán)希望能找出一條參觀的路線使得從四塊陸地的任一塊出發(fā)每座橋只通過一次，不重復(fù)不遺漏在最后又回到原地，這就是歷史上著名的七橋問題，這個問題困擾了當(dāng)時眾多的學(xué)者.許多年后由數(shù)學(xué)家歐拉解決了.歐拉先對問題作抽象簡化，他用四個點A、B、C、D分別表示四塊陸地，再用七條線段 AC，CA，CB，BC，AD，CD，BD，分別表示七座橋，七橋問題抽象為一條回路（圖2b）的“一筆畫”問題，歐拉進(jìn)一步研究回路“一筆畫”的充分必要條件，最后的結(jié)論是七橋問題無解.在這里我們又一次看到了用純粹抽象的點線圖形解決了復(fù)雜的應(yīng)用問題.

圖2a

圖2b

在近代的網(wǎng)絡(luò)理論中“一筆畫”問題更有重要作用.

數(shù)學(xué)的抽象性不僅表現(xiàn)在概念上，也表現(xiàn)在方法上，恩格斯說：“數(shù)學(xué)是一種研究思想事物的科學(xué)”.這是對數(shù)學(xué)抽象性的深刻概括.

3 數(shù)學(xué)的特征（Ⅱ）——數(shù)學(xué)理論具有嚴(yán)密的邏輯性，邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)的生命

數(shù)學(xué)理論的建立無法通過實驗驗證和判斷從古希臘開始形式邏輯就與數(shù)學(xué)緊密結(jié)合，數(shù)學(xué)命題的真?zhèn)沃荒芙柚趪?yán)密的形式邏輯原則來判斷.

（1）數(shù)學(xué)思維的方法是開啟思維的鑰匙，有了科學(xué)的思維方法就能對許多原始資料進(jìn)行合理的加工整理形成嚴(yán)密的理論體系，常用的數(shù)學(xué)思維方法有分析與綜合，抽象與概括歸納與演繹等等.

（2）數(shù)學(xué)思維的形式是建構(gòu)數(shù)學(xué)分支邏輯結(jié)構(gòu)體系的“元件“，常用的是以下七種：

①概念：對原始的數(shù)學(xué)資料抽象整理去偽存真加工而成，它真實地反映事物的本質(zhì).

②定義：是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法.

③判斷：是反映事物具有或不具有某種屬性（或關(guān)系）.

④命題：是用文字或符號表達(dá)判斷的句子.

⑤演繹（又稱推理）是由一般到特殊的推理方式它給出命題的前提與結(jié)論之間的必然聯(lián)系，因為演繹推理是合乎邏輯的推理，故它可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具.

⑥公理數(shù)學(xué)分支中不需經(jīng)過邏輯論證而確認(rèn)它的正確性，并可以用它論證命題，公理必須滿足無矛盾性，獨立性和完備性三個條件.

⑦定理和推論是由前提和結(jié)論兩部分組成的一個數(shù)學(xué)命題，客觀存在的真實性完全可以經(jīng)過嚴(yán)格的推理來確認(rèn).

（3）數(shù)學(xué)理論結(jié)構(gòu)的邏輯體系，是以上七種數(shù)學(xué)思維形式一環(huán)連接一環(huán)形成的單向有序的邏輯結(jié)構(gòu)鏈，如下圖3所示：

圖3

例3 歐幾里德幾何學(xué)和非歐幾何學(xué)公理化體系：

公元前300年古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在總結(jié)了大量已有的幾何知識的基礎(chǔ)上，將人們公認(rèn)的一些幾何知識、點、線、面、角、圓等定為幾何學(xué)基本概念，并把當(dāng)時人們公認(rèn)的一些幾何知識列成定義和五條公理總結(jié)成一套幾何學(xué)理論的演繹體系并著書取名為《幾何原本》，許多年后人們發(fā)現(xiàn)歐幾里德的公理化系統(tǒng)并不完善，更為完整的幾何學(xué)公理系統(tǒng)是在19世紀(jì)末由德國數(shù)學(xué)家希爾伯特完成，他改善了歐氏幾何學(xué)的第五公理，建立了非歐幾何，非歐幾何學(xué)是從公理出發(fā)的純粹演繹系統(tǒng)，形成了近代幾何學(xué)的公理化體系結(jié)構(gòu).

隨著社會實踐活動向廣度和深度上發(fā)展數(shù)學(xué)公理化方法不但可以研究具有確定因果關(guān)系的確定性數(shù)學(xué)問題，還可以研究不具有確定性因果關(guān)系的隨機(jī)性數(shù)學(xué)問題.

例4 用公理化方法建立概率論的公理化體系（Ω、F、Р）.

早期概率論對求解古典型幾何型概率問題得出一些結(jié)果.但有很大的局限性，碰到比較復(fù)雜的隨機(jī)事件就無能為力，甚至出現(xiàn)像貝特朗奇論的怪現(xiàn)象，使得當(dāng)時不少人對概率論的科學(xué)性產(chǎn)生了懷疑.上世紀(jì)20年代以柯爾莫哥洛夫為首的一批前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，用公理化方法建立了概率論的公理化體系簡記為（Ω、F、Р）它為概率論奠定了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，推動了概率論的飛速發(fā)展.

4 結(jié)束語

怎樣看待數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值？

下面引述日本著名學(xué)者米山國藏的一席話作為回答，他說：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識畢業(yè)后沒有機(jī)會去用，不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么工作唯有深深銘刻在頭腦里的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和看問題的著眼點卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益”.

〔1〕[蘇]亞歷山大洛夫.數(shù)學(xué)它的內(nèi)容、方法和意義[M].科學(xué)出版社，1984.

〔2〕[日]米山國藏.數(shù)學(xué)的精神思想與方法[M].成都四川教育出版社，1986.

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