胡燕芳

（電子科技大學(xué)，四川 成都 610054）

基于初等微積分和解析幾何的C方法

胡燕芳

（電子科技大學(xué)，四川 成都 610054）

Chandezon的基于坐標(biāo)變換的微分方法（C方法）是最簡(jiǎn)單和最通用的方法之一。然而，迄今為止，只有少數(shù)的人使用它，可能是因?yàn)椋怯脗鹘y(tǒng)的基本張量理論進(jìn)行闡述的。文章重新闡述了C方法，而沒(méi)有使用任何的張量理論方面的知識(shí)，這樣可以使光學(xué)工程師更容易理解。

初等微積分；解析幾何；C方法

1 C方法的描述

1.1 問(wèn)題描述及其符號(hào)表示

圖1-1 直角坐標(biāo)系下光柵結(jié)構(gòu)的符號(hào)表示

我們考慮表面起伏光柵最簡(jiǎn)單的情況，如圖1-1所示。周期性波紋界面在z方向保持不變，將兩個(gè)各向同性的媒質(zhì)分開(kāi)。入射媒質(zhì)的折射率n1為實(shí)數(shù)，另一個(gè)媒質(zhì)的折射率n2可以為復(fù)數(shù)。我們認(rèn)為兩個(gè)媒質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率 同真空中的一樣，入射角為 。光柵輪廓函數(shù)y=a(x)要求連續(xù)且單值，光柵周期和深度分別用d和h表示。為方便起見(jiàn)，我們僅考慮TM波。如果想得到TE波的對(duì)應(yīng)結(jié)果，僅需做如下變化：E?H,ε0? ?μ0,ε? ?μ。這里，我們僅使用一個(gè)坐標(biāo)系——笛卡爾坐標(biāo)系。

圖1-2 空間域D+，D?， 1D， 2D和 0D的定義

為了精確地說(shuō)明光柵問(wèn)題，需要做一點(diǎn)準(zhǔn)備。圖1-2中，兩條虛線通過(guò)輪廓函數(shù) ()a x的最大值與最小值，把空間分成三部分：1D，2D，0D。D±表示位于輪廓函數(shù) ()ya x= 之

上與之下的半空間。根據(jù)麥克斯韋方程，我們可以很容易得到波動(dòng)方程：

其中F=Hz，k0=2π/λ， 是真空中的波長(zhǎng)。 是相對(duì)介電常數(shù)，D?：ε=ε1=n12/μ，D+:ε=ε2=n22/μ。D1，

D2中的場(chǎng)按瑞利展開(kāi)為：

其中

是幅度常量。為了使衍射場(chǎng)在y=±∞有限，我們必須取= 0 ,m≠ 0 。= 0，m取任意數(shù)。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們規(guī)定。確定未知系數(shù)A(p)，需要m把 D1， D2區(qū)域聯(lián)系起來(lái)。一般而言，在 D0區(qū)域，瑞利展開(kāi)是無(wú)效的，它將 D1， D2區(qū)域分開(kāi)，并且與D+，D?區(qū)域部

分重疊。光柵問(wèn)題在于在D+，D?區(qū)域求解亥姆霍茲方程，使它在無(wú)窮遠(yuǎn)處和沿著 y = a ( x)服從邊界條件。

1.2 算法思想

特征方程及總場(chǎng)表達(dá)

我們考慮D+或者D?區(qū)域中的式子(0-1)，做如下變量代換：

根據(jù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，有：

其中/ada dx=˙。把式子(0-6)帶入(0-1)中，得到如下微分算子：

為方便起見(jiàn)，我們用 代替v，因?yàn)?= v 。空間變量、u具有良好的特性：當(dāng) 在一個(gè)光柵周期內(nèi)變化時(shí)，u保持為常量，點(diǎn)(x, u)所描繪的曲線平行于光柵的輪廓，因此為常量。尤其是 u = 0即為原來(lái)的光柵表面，而這一特點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)(x, y)并不適用。

現(xiàn)在，我們繼續(xù)特征值問(wèn)題的推導(dǎo)。二階微分方程L ( ? v, ? u ; x ) F = 0 可以寫成一階方程組：

其中 F'= ( 1/i)? F / ?u 。因?yàn)槲⒎炙阕拥南禂?shù)與u無(wú)關(guān)，我們認(rèn)為F、 F'依賴于指數(shù)函數(shù)exp(iρ u)。把a(bǔ)˙展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)，進(jìn)而可以將式子(0-8)轉(zhuǎn)換為傅里葉空間的矩陣方程。這意味著做如下變化：

相應(yīng)地式子(0-8)可以寫成以下形式：

其中 β(p)是以為元素的對(duì)角陣，F(xiàn)和 F'是由F和 F'的傅里葉系數(shù)組成的列向量，α是以mα為元素的對(duì)角陣，a˙是由a˙的傅里葉系數(shù)組成的矩陣，即：

值得注意的是a˙a˙是矩陣的平方（不是矩陣(a˙)2）。當(dāng)光柵具有陡峭的邊緣時(shí)，式子(0-10)可以確保數(shù)值快速收斂。對(duì)左邊的系數(shù)矩陣求逆，這個(gè)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單，因?yàn)樗菍?duì)角陣，我們得到C方法的特征方程：

我們需要求解兩個(gè)特征值問(wèn)題，即當(dāng) p =1時(shí)和當(dāng) p =2時(shí)。式子(0-12)同以前的C方法中的特征方程不同。我們現(xiàn)在使用式子(0-12)是因?yàn)槲覀冋J(rèn)為跟老的特征方程相比，它具有一定的優(yōu)勢(shì)。

為了求解特征值問(wèn)題，需要截?cái)噙@一無(wú)窮矩陣。我們假設(shè)2×2分塊矩陣的每一子塊被截?cái)酁镹×N的矩陣。2N個(gè)特征值可以分為兩組，每組中包含N個(gè)特征值。第一組，∑ +中包含正的實(shí)特征值和虛部為正數(shù)的復(fù)特征值。第二組，∑?中包含與其符號(hào)相反的特征值。每組中，把實(shí)特征值和復(fù)特征值分開(kāi)。實(shí)本征解與近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)有關(guān)，復(fù)本征解只與近場(chǎng)有關(guān)。在D+區(qū)域中，應(yīng)該舍棄 ∑?中除了對(duì)應(yīng)入射波的特征解的其它特征解。在D?區(qū)域中，應(yīng)該舍棄 ∑+中包含的解。這樣做的目的是保證在無(wú)窮遠(yuǎn)處滿足 OWC。嚴(yán)格地講，我們應(yīng)該使用符號(hào) ∑±∑±。第一個(gè) ± 表示與特征值相關(guān)的區(qū)域（D+或者D?），第二個(gè)±表示特征值的符號(hào)。由于舍棄了 ∑+?和 ∑?+，因此可以省略第一個(gè)上標(biāo)。相應(yīng)地，我們用相同的方式標(biāo)記特征值和特征向量。

隨著N的增加，實(shí)特征值和低階的復(fù)特征值收斂于±β(p)（可以從表4-1和4-2中看到）。這并不奇怪，因?yàn)槠?/p>

m面波是式子(0-1)的特征解，并且做變量代換并不會(huì)影響特征值。當(dāng)然，可以證明滿足L ( ? v , ? u ; x ) F = 0 。然而，正如以前關(guān)于C方法的文章中指出當(dāng)在寫邊界條件時(shí)，不應(yīng)該用嚴(yán)格的本征解，也就是瑞利平面波的解去替代式子(0-12)中的2N個(gè)解。

上面，我們假定對(duì)于任意的m， β(p)≠0。如果對(duì)于某

原則上，D+區(qū)域中的總場(chǎng)可以表達(dá)為入射波和 ∑+中的本征解的疊加。實(shí)際中，我們用瑞利中的相應(yīng)部分來(lái)代替實(shí)本征解。這一措施與前一段落結(jié)尾描述的并不矛盾，因?yàn)橹皇且徊糠值奶卣鹘獗淮??？梢宰C明如下：數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明當(dāng)實(shí)本征解收斂為瑞利相應(yīng)的部分時(shí)衍射效率收斂。使用瑞利解的另一原因是用空間諧波來(lái)簡(jiǎn)化特征解。因此我們可以將總磁場(chǎng)的z分量寫為：

邊界條件

式子(0-13)、(0-14)中的總場(chǎng) Hz的表達(dá)式中含有變量

， ，u。因?yàn)楣鈻诺谋砻婵梢院?jiǎn)單地用 u = 0 來(lái)描述，為了匹配邊界條件，我們僅需使用變量 和u。把式子(0-13)、(0-14)中的y用 u + a ( x)代替，并且將指數(shù)函數(shù)中的 a( x)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。重新組合傅里葉系數(shù)，得：

對(duì)于正弦、梯形或者三角光柵mL 可以閉式表達(dá)，前者是貝塞爾函數(shù)，后者是一系列指數(shù)函數(shù)的和。對(duì)于其他的輪廓，可以通過(guò)數(shù)值積分或者快速傅里葉變換進(jìn)行計(jì)算。

在 0u= 處，令F F+?= ，可得

寫成矩陣形式，

其中

上標(biāo)R提醒我們對(duì)應(yīng)的部分是瑞利解。當(dāng)進(jìn)行矩陣乘法時(shí)， 式子(0-18)中的n，q，k，r的總和就可得知。當(dāng)截?cái)嚯A數(shù)為N時(shí)，集合U+（或者U?）的傳播級(jí)數(shù)和V+（或者V?）中的衰減級(jí)數(shù)的和為N。

根據(jù)初等幾何學(xué)知識(shí)，我們可以得到平面曲線的切線方向，例如，光柵輪廓函數(shù)的切向分量是：

由麥克斯韋方程 ? ×H=?iωεε0E得

其中 Z0=(μ0/ε0)1/2，利用式子(0-6)，得到用變量 和u表示的G的表達(dá)式：

把式子(0-15)、(0-16)分別帶入上式，得到G+、G?的表達(dá)式，在u= 0 處，令G+=G?，可得：

和式子(0-10)、(0-12)一樣，需根據(jù)乘法規(guī)則計(jì)算a˙a˙(而不是代入傅里葉系數(shù)(a˙)2)。

合并式子(0-19)、(0-25)，得到完備線性方程組：

射級(jí)數(shù)的衍射效率ηnr和透射級(jí)數(shù)的衍射效率ηk

注意，求解TE波時(shí)，式子(0-26)、(0-29)及Z0=μ0/ε0會(huì)

有變動(dòng)，具體如下

1）式子(0-26)中的ε1，ε2用? 代替

2 數(shù)值結(jié)果及其分析

這里，我們考慮等腰梯形光柵，下底角的內(nèi)角60°，光柵周期 400d= nm，其他參數(shù)的設(shè)置為：入射媒質(zhì)為空氣，媒質(zhì)2為硅（Si），入射角15θ=°，波長(zhǎng)范圍為190nm～1000nm。

圖2-1、圖2-2分別表示TE波和TM波的衍射效率曲線，圖中的紅線表示用C方法計(jì)算的結(jié)果，綠線表示用嚴(yán)格耦合波法（Rigorous Couple Wave Analysis, RCWA），另外一種衍射模擬算法，計(jì)算的結(jié)果。從圖中可以看出：在TE波下，C方法和RCWA的衍射效率曲線是重合的，但是在TM波下，兩者的衍射效率不能完全重合。

圖2-1 TE波的衍射效率曲線

圖2-2 TE波的衍射效率曲線

C方法和RCWA的主要區(qū)別是：

1）C方法在每種媒質(zhì)中要求求解4 2N+ 階的特征值問(wèn)題，而RCWA對(duì)于每層要求解2 1N+階的特征值問(wèn)題；

2）對(duì)于TE波和TM波，C方法只需求解一個(gè)特征值問(wèn)題，而RCWA對(duì)于不同的偏振態(tài)，需分別求解兩種不同的特征值問(wèn)題；

3）RCWA近似光柵的分界面，而C方法則不是；

4）當(dāng)RCWA模擬淺斜坡的光柵或者具有很多層的多層堆疊光柵時(shí)，比如說(shuō)具有大量的四分之一波層的極紫外掩模，RCWA的缺點(diǎn)就暴露出來(lái)了。這時(shí)分層將變得很繁瑣，并且計(jì)算成本可能會(huì)大幅度增加。而C方法也具有一定的局限性，它要求光柵輪廓可以用函數(shù)來(lái)表示，并且該函數(shù)連續(xù)單值的。C方法不適用于模擬二進(jìn)制模式或者輪廓陡峭的光柵。

綜上所述，兩種算法各有自己的優(yōu)缺點(diǎn)。為了能有效地解決問(wèn)題，我們應(yīng)該采用C-RCWA相混合的方法，進(jìn)而提高性能。

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C method based on elementary calculus and analytic geometry

Chandezon differential methods based on coordinate transformation method ( C method) is the easiest and one of the most common method. However, to day, only a few people use it, may be it is elaborated with the traditional basic tensor theory. C method was described, without using any knowledge of theory of Tensors, it made it easier for optical engineers understand

Elementary calculus; Analytic geometry ; C method

O17

A

1008-1151(2012)06-0042-04

2012-04-20

胡燕芳，電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院碩士研究生。