韓 偉

（赤峰學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，內蒙古 赤峰 024000）

概率統(tǒng)計教學研究

韓 偉

（赤峰學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，內蒙古 赤峰 024000）

本人通過教學實踐，深感概率統(tǒng)計教與學之難，通過隨機變量函數(shù)的分布這一具體內容，分析了學生普遍認為概率統(tǒng)計比較難學的原因，探討了概率統(tǒng)計課程教學內容、方法等方面的教學改革思路，以期為數(shù)學課程教學方法改革實踐提供一些參考.

概率統(tǒng)計；隨機變量；函數(shù)；教學改革

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門十分活躍的理論性和實踐性都很強的學科，其知識和方法在各個領域都有著十分廣泛的應用，已經滲透到自然科學和社會科學的很多領域.在高等學校，它是理、工、農、醫(yī)、經管等許多專業(yè)的一門必修基礎課，正在逐漸成為文史、軍事、教育等專業(yè)的選修課.通過本課程的學習，使學生初步掌握處理隨機現(xiàn)象的基本理論和方法，培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力，這一點在注重應用型人才培養(yǎng)的今天，顯得尤為重要.概率論與數(shù)理統(tǒng)計與學生前期所學的其他數(shù)學課程具有不同的特點：由于隨機現(xiàn)象的不確定性，使人感到把握不定，主要表現(xiàn)在概念難以建立，方法難以掌握，思維難以展開，習題無從下手等困惑.在教學中應循序善誘，層層剖析，深入淺出，學用結合.下面就隨機變量函數(shù)分布的教學談一點粗淺的體會.

1 概念理論要清楚

對于隨機變量X和連續(xù)函數(shù)Y=g(X)求隨機變量Y的分布函數(shù)的一般方法是FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，再轉化成含有X的事件，利用X的分布即可求解.而離散型隨機變量的分布函數(shù)或概率一般使用求和符號表示的，連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)或概率一般使用積分符號表示的，因此又演變出了求離散型隨機變量的分布函數(shù)或概率和連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)或概率的具體方法.

1.1 對于離散型隨機變量X，P{X=xi}=pi，i=1,2,…，求Y的分布.

1.1.1 若yi=g(xi),i=1,2,…，為單射時，則有

1.1.2 若yi=g(xi),i=1,2,…，不為單射時，即若xi≠xj時，不一定有yi≠yj，則應分別把那些相等的值合并，并根據(jù)概率加法公式把相等的pi相加，就得到 的分布列.

1.2 對于連續(xù)型隨機變量，設p(X)為隨機變量X的密度函數(shù)，Y=g(X)為連續(xù)函數(shù)，求Y的分布函數(shù)或密度函數(shù).

1.2.1 分布函數(shù)法 也是求Y=g(X)的分布函數(shù)（或密度函數(shù)）的通用方法

a）先求Y的分布函數(shù)

b）若求Y的密度函數(shù)，需對分布函數(shù)求導

1.2.2 公式法 對于單調可微函數(shù)Y=g(X)，Y的分布函數(shù)（或密度函數(shù)）可用下面公式求得

其中 x=g-1(y)是 y=g(x)的反函數(shù)，α=min{g(-∞),g(+∞)}，β=max{g(-∞),g(+∞)}

在計算隨機變量的函數(shù)的分布時，應注意以下幾點：

1）首先要準確求出Y的取值范圍.一般地，由Y=g(X)和X的取值范圍即決定了Y的取值范圍.但是對于離散型隨機變量，要注意相同值的合并，相同值之間是“或”的關系.對于連續(xù)型隨機變量，若Y=g(X)不是單調函數(shù)時，往往需要將區(qū)間化成有限個或可列個單調區(qū)間.然后在每個單調區(qū)間上應用公式；

2）應正確計算Y的分布.對于連續(xù)型隨機變量X，若Y=g(X)為一般的連續(xù)函數(shù)時，要使用公式（3），先求出FY(y)，再求pY(y)；

3）在計算連續(xù)型隨機變量X的函數(shù)Y=g(X)的分布函數(shù)（或密度函數(shù)）時，得到的往往是分段函數(shù)，一定要注意討論.

2 例題要由淺入深，富有代表性

離散型的題目較簡單，在此不述.

例1 已知隨機變量X的概率密度為

求隨機變量Y=sinX的概率密度.

接下來求積分，再求導即可.

對于這樣的問題，要引導學生作出圖像，簡單明了.

舉一反三：

1）設隨機變量 X在(0,π)內服從均勻分布，即 X～U(0,π)，試求Y=sinX的分布函數(shù)G(y)和密度函數(shù)g(y).（課本的練習題）

2）設隨機變量 X 在(-π/2,π/2)內服從均勻分布，試求Y=CosX的密度函數(shù)fY(y).

例2 對球的直徑X做近似測量，設其值均勻分布于區(qū)間[a,b]，試求球體積Y的密度函數(shù).

實驗儀器:H 2 S檢測儀:PN-2000在線式H 2 S檢測儀;反應釜:江蘇海安石油科技耐高溫高壓抗腐蝕不銹鋼反應釜;p H計:上海雷磁PHBJ-260便攜式p H計。

又如：設一設備開機后無故障工作的事件X服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時間EX為5小時，設備定時開機，出現(xiàn)故障時自動關機，而在無故障的情況下工作2小時便關機.試求該設備每次開機無故障工作的時間Y的分布函數(shù)FY(y).

例3 設隨機變量X的分布函數(shù)FX(x)為嚴格單調連續(xù)函數(shù)，證明Y=FX(X)服從均勻分布.

說明：當 y<0 時，F(xiàn)Y(y)=0，當 y≥1 時，F(xiàn)Y(y)=1，當 0≤y<1時，

這個例子說明一維連續(xù)型隨機變量不同的密度函數(shù)p(x)可以對應同一個分布函數(shù)FX(x).另一方面，這是一個十分典型的例題，可以有多種變形，如：

1）設隨機變量X服從(a,b)上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0).證明Y服從均勻分布.

2）設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，Y=1-e-2x，在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.

例4 設隨機變量X服從 (-1,1)上的均勻分布，Y=sgnX，求Y的概率分布.

又如：設隨機變量X服從(0,2)上的均勻分布

求Y的分布函數(shù).

顯然，Y不是離散型隨機變量，Y也不是連續(xù)性隨機變量.Y的分布函數(shù)FY(y)在Y=1處不連續(xù).

在教材中，一般只討論離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量，在二者之間還有一種隨機變量，由于本身較復雜，應用也少，故沒有討論.對于隨機變量函數(shù)，若隨機變量是離散型的，其函數(shù)一定是離散型的；若隨機變量是連續(xù)型的，其函數(shù)也可是離散型的，也可是連續(xù)型的，也可是非離散非連續(xù)型的.

概率統(tǒng)計來源于生活，具有深厚的應用基礎，其有些內容使人感到是實踐經驗的總結，有點像文科課程，而不像數(shù)學；另外，它又具有嚴密的理論體系，抽象，難于理解.正是這種二重性，使概率統(tǒng)計成為難教難學的“邊緣”學科，因此，在教學上要把握好利用好它的特點，應用性強，要結合實踐來學，學以致用；理論性強，要把握住它的整體框架，在這個框架下找準用好每一個概念、定理、公式，并掌握好它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.

概率統(tǒng)計討論的是不確定性問題，它的理論、方法和思維方式與以往所學的確定性理論都有很大的不同，學生感到很陌生，難以理解，無從下手，因此，教學中要注重概念的交代和比較辨析，注重理論的嚴密和實用，注重方法的演示和訓練.循序漸進，由淺入深，層層剖析.使學生掌握好概率統(tǒng)計這個無處不用的“萬能”工具.

〔1〕沈京一.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2008.

〔2〕王麗霞.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].大連：大連理工大學出版社，2010.

〔3〕茆詩松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2005.

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1673-260X（2012）03-0006-02