劉 巖，劉獻(xiàn)龍，羅志環(huán)，李 海，楊 意

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系，廣東 廣州 510642）

格點(diǎn)規(guī)范理論課程中的數(shù)值模擬方法的應(yīng)用

劉 巖，劉獻(xiàn)龍，羅志環(huán)，李 海，楊 意

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系，廣東 廣州 510642）

本文在格點(diǎn)規(guī)范理論課程中，采用數(shù)值模擬中的Metropolis方法，組織學(xué)生解決了一個(gè)可以使用理論方法計(jì)算的問題，即規(guī)范場作用量，并把數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果做了比較，加深了學(xué)生對(duì)離散化格點(diǎn)這一模型的理解，并進(jìn)而熟悉和掌握在離散化的格點(diǎn)下研究問題的原理和方法，取得了很好的學(xué)習(xí)效果.

格點(diǎn)規(guī)范理論；數(shù)值方法；教學(xué)改革

自然界存在的四種基本相互作用——強(qiáng)相互作用，弱相互作用，電磁相互作用以及引力相互作用，它們都有各自的理論體系進(jìn)行描述，其中對(duì)于描述強(qiáng)相互作用的可重整化規(guī)范理論，即量子色動(dòng)力學(xué)（QCD），是在上個(gè)世紀(jì)70年代才被提出.不過，QCD是微擾的理論，僅在耦合常數(shù)較小，或者說強(qiáng)相互作用高能的部分有效，而在強(qiáng)相互作用的低能部分，微擾的QCD失效.為了研究強(qiáng)相互作用的低能非微擾過程，1974年K.Wilson首先提出了格點(diǎn)規(guī)范理論（LGT），其基本思想是將連續(xù)的時(shí)空用離散的晶格代替，這樣，連續(xù)理論無法計(jì)算（發(fā)散的）物理量就可在格點(diǎn)上計(jì)算，最后還要用重整化群方法把結(jié)果外推到連續(xù)極限.如圖1所示，其中格點(diǎn)間的距離即格距為a，費(fèi)米場定義在格點(diǎn)上，而規(guī)范場則定義在兩個(gè)格點(diǎn)間的鏈上.

圖1 格點(diǎn)規(guī)范理論的基本元素.其中費(fèi)米場和規(guī)范場分別定義在a）,b）處

在格點(diǎn)規(guī)范理論的教學(xué)中，會(huì)教導(dǎo)學(xué)生首先掌握規(guī)范場和費(fèi)米場的作用量，而格點(diǎn)下的規(guī)范場和費(fèi)米場作用量是由連續(xù)理論下的作用量在格點(diǎn)下離散化后得到的，為了讓學(xué)生理解連續(xù)理論離散化到格點(diǎn)的，以及格點(diǎn)理論下的結(jié)果在格距a→0時(shí)可以回歸到連續(xù)理論的過程，一般在課堂上會(huì)給出以上過程的理論推導(dǎo)，但是，為了幫助學(xué)生進(jìn)一步的理解連續(xù)性和離散化的相互轉(zhuǎn)化，并進(jìn)而熟悉和掌握在離散化的格點(diǎn)下研究各種問題的原理和方法，可以在教導(dǎo)理論推導(dǎo)的同時(shí)，組織學(xué)生采用數(shù)值計(jì)算的方法研究格點(diǎn)問題.下面以格點(diǎn)下的規(guī)范場作用量為例，讓學(xué)生使用Metropolis方法研究1+1維U（1）格點(diǎn)規(guī)范場作用量與β的函數(shù)關(guān)系，同時(shí)計(jì)算對(duì)應(yīng)平均作用量的理論值，將理論值與數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較，并作出相應(yīng)的對(duì)比圖形.

由Wilson提出的方塊算符（plaquette）構(gòu)成的規(guī)范場作用量如下：

其中Pμv代表格點(diǎn)的方塊變量，它由四條規(guī)范鏈的有序乘積所組成，如圖2所示：

圖2 方塊算符Pμv

下面組織學(xué)生用Metropolis方法數(shù)值計(jì)算該規(guī)范場作用量.首先對(duì)Metropolis方法進(jìn)行說明：

（1）通常情況下，組態(tài)U是被隨機(jī)定義在格點(diǎn)上的，為了求解相關(guān)的物理量，我們先引入物理量對(duì)應(yīng)算符F的期望值[1]：

關(guān)于應(yīng)用到格點(diǎn)上的組態(tài)，當(dāng)組態(tài)數(shù)目較大時(shí)，我們可以以格點(diǎn)離散的形式得到近似的表達(dá)式[2]：

上式可以看到，要求得相應(yīng)的表達(dá)式必須對(duì)所有組態(tài)進(jìn)行求和.不管怎么說，這是不太現(xiàn)實(shí)的，在統(tǒng)計(jì)物理方面，人們選擇“重要抽樣”的思想，只對(duì)貢獻(xiàn)較大的組態(tài)進(jìn)行求和，對(duì)于貢獻(xiàn)較少的部分則省略掉.這樣，物理量可以通過求選取的組態(tài)平均值得到.

（2）組態(tài)的選擇取決于玻爾茲曼因子（Boltzmann factor），即e-△S（U），Metropolis方法中通過Update實(shí)現(xiàn)組態(tài)的選擇：

假設(shè)更新前的組態(tài)和更新后的組態(tài)分別為U和U'，二者滿足：

其中，△S（U）是組態(tài)從U變化到U'所產(chǎn)生的作用量的變化量，并且（4）中的玻爾茲曼因子 e-△S（U）滿足[3]：

組態(tài)更新與否并非完全確定的，組態(tài)U以一定的概率確定是否更新為U'，用P（U→U'）表示這一概率，則P（U→U'）滿足：

通常，由于組態(tài)的初始化是通過隨機(jī)數(shù)實(shí)現(xiàn)的，所以組態(tài)的更新需要進(jìn)行一定的時(shí)間才能達(dá)到合理的狀態(tài)，即組態(tài)的分布需要一定次數(shù)的更新之后才能滿足重要抽樣條件.Metropolis方法的關(guān)鍵也在于找到合適的系統(tǒng)組態(tài)，之后再在該系統(tǒng)組態(tài)下，計(jì)算相關(guān)的物理量.

我們使用以上介紹的Metropolis方法計(jì)算規(guī)范場作用量，該模擬過程主要分為以下四個(gè)步驟：

1 確定格點(diǎn)的初組態(tài)

為了計(jì)算格點(diǎn)的方塊平均值，我們需要確定格點(diǎn)最初的組態(tài)，包括格點(diǎn)的大小和格點(diǎn)上的規(guī)范場作用量.格點(diǎn)的大小可以根據(jù)實(shí)際計(jì)算確定，通常為了減少運(yùn)算量，可以用4×4的格點(diǎn)驗(yàn)證程序的可行性，進(jìn)而可減小格距，增大格子數(shù)目，如使用16×16、32×32的格點(diǎn)等.

程序模擬中通過函數(shù)rand（）產(chǎn)生一組0～1之間的隨機(jī)數(shù)來確定各個(gè)格點(diǎn)上的規(guī)范場作用量U，具體的表達(dá)式滿足：

2 格點(diǎn)組態(tài)的更新

格點(diǎn)組態(tài)的更新是為了得到一個(gè)相對(duì)平衡的格點(diǎn)系統(tǒng)，主要通過Metropolis方法條件來進(jìn)行更新組態(tài)：更新前的組態(tài)U與另外3個(gè)組態(tài)U1U2U3共同組成一個(gè)方塊UP，即更新前有：

之后用另一組隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生一個(gè)新的組態(tài)U'，可以組成一個(gè)新的方塊：

將（8）和（9）分別代入（1），可以計(jì)算得到兩個(gè)方塊的作用量，其中β的值已知.

然后，根據(jù)Metropolis方法原理，比較兩個(gè)方塊作用量的變化：

（1）如果新的組態(tài)產(chǎn)生的方塊作用量比原組態(tài)構(gòu)成的方塊作用量小，則用新的組態(tài)U'代替原來的組態(tài)U；

（2）如果新的組態(tài)產(chǎn)生的方塊作用量比原組態(tài)構(gòu)成的方塊作用量大，則可能用新組態(tài)U'代替原組態(tài)U，也可能保持原組態(tài)U不變，其更新概率按照（6）式進(jìn)行.

以上即完成了一個(gè)組態(tài)的更新，運(yùn)用同樣的方法對(duì)格點(diǎn)系統(tǒng)中的每一組態(tài)進(jìn)行更新，可完成一次整個(gè)格點(diǎn)系統(tǒng)的組態(tài)更新.通常情況下，格點(diǎn)的更新需要反復(fù)進(jìn)行，才能得到盡可能準(zhǔn)確的規(guī)范場分布，從而進(jìn)行作用量計(jì)算.

3 格點(diǎn)作用量平均值的計(jì)算

（1）格點(diǎn)系統(tǒng)的預(yù)熱過程：在計(jì)算作用量平均值之前，先根據(jù)步驟2對(duì)格點(diǎn)系統(tǒng)更新200次；

（2）計(jì)算一個(gè)格點(diǎn)系統(tǒng)的總作用量：完成200次格點(diǎn)系統(tǒng)更新后，在最新的規(guī)范場分布下利用（1）式計(jì)算每個(gè)方塊的作用量，求和得到一個(gè)總的作用量；

（3）持續(xù)計(jì)算一組格點(diǎn)系統(tǒng)的總作用量：計(jì)算出一個(gè)格點(diǎn)系統(tǒng)總的作用量后，按步驟2繼續(xù)更新格點(diǎn)組態(tài)，每完成5次格點(diǎn)系統(tǒng)的更新計(jì)算一個(gè)系統(tǒng)總的作用量，總共計(jì)算500個(gè)格點(diǎn)系統(tǒng)總的作用量；

（4）計(jì)算一個(gè)格點(diǎn)方塊的作用量平均值：對(duì)所求的500組格點(diǎn)系統(tǒng)總作用量取算術(shù)平均可得到格點(diǎn)系統(tǒng)的總作用量平均值，再除以格點(diǎn)系統(tǒng)的格點(diǎn)方塊數(shù)量，即可得到單個(gè)格點(diǎn)方塊的作用量平均值.

4 均勻改變公式（1）式中β的值，重復(fù)步驟1-3

程序中β的取值范圍為[0,6]，為了得到有效的擬合曲線，β的取值間隔越小越好，這里以0.2為取值間隔，得到多組β值下對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)方塊作用量平均值.

5 求作用量的理論值

為了驗(yàn)證格點(diǎn)QCD方法的正確性，我們?cè)诘玫礁顸c(diǎn)QCD作用量的平均值后，需要計(jì)算出它的理論值，從而能進(jìn)行結(jié)果比較.

作用量當(dāng)中的Re（UP）的理論值為：

其中，I0（β）和 I1（β）滿足[4]：

由此得到：

由此，我們分別得到了規(guī)范場作用量的數(shù)值計(jì)算和理論計(jì)算結(jié)果，列于表1：

表1 不同β下的方塊作用量理論計(jì)算以及數(shù)值計(jì)算結(jié)果

表中的理論計(jì)算結(jié)果可通過第一類的虛宗量貝塞爾函數(shù)得到，實(shí)際操作中，可以通過Matlab、Excel等工具計(jì)算得到.

以β為橫坐標(biāo)、方塊作用量為縱坐標(biāo)，可以得到如圖3所示的對(duì)比曲線：

圖3 方塊作用量數(shù)值計(jì)算與理論計(jì)算結(jié)果的對(duì)比曲線

從圖形可以看出，計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果與理論值達(dá)到了有效的吻合，二者可分辨的誤差極小.這正好驗(yàn)證了格點(diǎn)方法在非微擾QCD上運(yùn)用的正確性.將數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行曲線擬合后，可以近似給出格點(diǎn)QCD經(jīng)過連續(xù)極限外推下的真實(shí)值.

通過這一問題的解決，可以看到學(xué)生能夠使用數(shù)值計(jì)算方法比較容易的得到與理論解一致的結(jié)果，從而熟悉和掌握在離散化的格點(diǎn)下研究問題的原理和方法，并進(jìn)一步理解連續(xù)理論離散化到格點(diǎn)，以及格點(diǎn)理論下的結(jié)果在格距a→0時(shí)可以回歸到連續(xù)理論的過程.因此，在格點(diǎn)規(guī)范理論課程中，基于離散化這一特殊背景，對(duì)一些問題由淺入深的逐步引入數(shù)值計(jì)算，是可以有效的增加學(xué)生的基本功以及對(duì)格點(diǎn)理論的理解和掌握，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)值計(jì)算的能力，對(duì)其今后進(jìn)一步的科研工作也有著積極的作用.

〔1〕（美）黃卓然.高能重離子碰撞導(dǎo)論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2002.

〔2〕羅向前,劉巖.格點(diǎn)QCD對(duì)混雜態(tài)介子基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)質(zhì)量譜的研究[D].廣州:中山大學(xué),2006.

〔3〕Kerson H.Quarks,leptons and gauge fields[M].2nd ed.Beijing:World Scientific Publishing,1992.

〔4〕吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京:北京大學(xué)出版社,2003.

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A

1673-260X（2012）09-0211-03

華南農(nóng)業(yè)大學(xué)2010年度教育教學(xué)改革與研究自籌項(xiàng)目（JG10108）；華南農(nóng)業(yè)大學(xué)2012年度教育教學(xué)改革與研究重點(diǎn)項(xiàng)目（JG12008）