賈朝勇，潘玉榮

（蚌埠學(xué)院 數(shù)理系，安徽 蚌埠 233030）

b值橫截距法在汶川地震最大余震震級預(yù)測中的應(yīng)用

賈朝勇，潘玉榮

（蚌埠學(xué)院 數(shù)理系，安徽 蚌埠 233030）

本文使用8.0級汶川大地震震后四天內(nèi)不小于3.0級余震序列，利用最小二乘法擬合除去主震的震級-頻度關(guān)系式中的未知參數(shù)，進(jìn)行了相關(guān)系數(shù)檢驗和殘差檢驗.計算出了震級-頻度關(guān)系式圖形在橫軸上的截距，該截距就是估算的最大余震震級，結(jié)果表明按這種方法估算出的最大余震的震級與實際已發(fā)生最大余震的震級很接近.

汶川地震；b值；最小二乘法；最大余震

一次強(qiáng)震（主震）后，巖層中剩余的能量將持續(xù)一段時間緩慢地釋放出來，因此就會發(fā)生一系列的余震.余震趨勢是震區(qū)人民十分關(guān)心的事，也是專家和學(xué)者們研究的一個重要課題.由于基礎(chǔ)設(shè)施受到了主震的嚴(yán)重破壞，因而隨后發(fā)生的余震特別是最大余震的危害將很大，因此強(qiáng)余震的預(yù)報也非常重要.強(qiáng)余震的預(yù)報不但能減少災(zāi)后的損失，還能增加對地震發(fā)展過程的認(rèn)識.

對余震序列的研究，是理解地震過程的重要途徑.一些學(xué)者利用大森公式對主震后余震次數(shù)進(jìn)行了研究[1-2].我國學(xué)者利用灰色預(yù)測理論對強(qiáng)余震發(fā)震的時間進(jìn)行了的研究，結(jié)果表明灰色預(yù)測理論對6級以上余震具有較好的預(yù)測效果[3-5].還有很多學(xué)者根據(jù)余震序列運用震級-頻度關(guān)系式和b值對主震后強(qiáng)余震進(jìn)行探索，結(jié)果表明對某些主震后的強(qiáng)余震具有一定的可行性[6-9].本文將對汶川余震數(shù)據(jù)合理取舍，并利用最小二乘法對震級-頻度關(guān)系式中的a,b值進(jìn)行估算，進(jìn)行了相關(guān)系數(shù)檢驗和殘差檢驗，再應(yīng)用b值橫截距對最大余震進(jìn)行了估計.

1 b值橫截距法及相關(guān)的統(tǒng)計檢驗

1.1 G-R關(guān)系式及b值的計算

地震研究中最重要的是震級-頻度關(guān)系式 （G-R關(guān)系式）：

a和b反映了一定地區(qū)的地質(zhì)構(gòu)造和地震活動情況，能根據(jù)該地區(qū)一段時間的地震目錄估算得到，其中b反映了該地區(qū)某段時間內(nèi)地震頻數(shù)的相對比例關(guān)系.M是震級，N（M）是某段時間內(nèi)發(fā)生的不小于M級的地震次數(shù).

在利用G-R關(guān)系式研究強(qiáng)余震時，a,b值的計算非常重要，最小二乘法是估算a和b這兩個常數(shù)最實用的方法之一.

最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配.在研究兩個變量（x,y）之間的相互關(guān)系時，通常在實驗的過程中得到一系列成對的觀察數(shù)據(jù)（x1,y1）,L（xn,yn）；將這些數(shù)據(jù)描繪到平面直角坐標(biāo)系中，若這些點在一條直線附近，可設(shè)這條直線方程為：y贊=kx+h，其中k,h是待求常數(shù).

1.2 相關(guān)系數(shù)檢驗和殘差檢驗

一般地，在使用最小二乘法估計參數(shù)（x1,y1）,L（xn,yn）之前，要對有序數(shù)據(jù)組 進(jìn)行相關(guān)性進(jìn)行檢驗.由概率論與數(shù)理統(tǒng)計[10]知：相關(guān)系數(shù)公式為：

ρ的大小表示變量之間線性關(guān)系強(qiáng)弱的程度，通常|ρ|≥0.8時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.當(dāng)ρ越接近于1表明變量線性關(guān)系越強(qiáng)，從而說明最小二乘法擬合得越好.

殘差是一元線性回歸方程計算得到的預(yù)測值與實際樣本值之間的差距，即

在一元線性回歸模型中，由多個ei（i=1,2,L,n）構(gòu)成的序列稱為殘差序列.殘差檢驗是一元線性回歸方程中的重要組成部分，其出發(fā)點是：如果一元線性回歸方程能夠較好地反應(yīng)被解釋變量的特征和變化規(guī)律，那么殘差序列中應(yīng)不包含明顯的規(guī)律性和趨勢性.檢驗殘差是否為服從均值為0的正態(tài)分布、檢驗殘差是否為等方差的正態(tài)分布、檢驗殘差序列是否獨立、借助殘差探測樣本中的異常值[13].圖形分析和數(shù)值分析是殘差分析的有效工具.

2 b值橫截距法在汶川余震中的應(yīng)用

b值橫截距法在研究主震-余震型地震效果較好，因此判斷地震類型很重要.自1920年以來，中國大陸發(fā)生的所有M≥8地震類型都是主震-余震型，這是因為主震震級大、能量釋放徹底，因此再發(fā)生震級相當(dāng)?shù)牡卣鸬目赡苄孕?；歷史上記載川滇地區(qū)發(fā)生的大地震都是主震-余震型，而地震類型在空間上又具有一定的穩(wěn)定性[11].基于以上兩點可以推測汶川8.0級地震是主震-余震型的可能性較大.

應(yīng)用G-R關(guān)系式對a、b值進(jìn)行估算時,要注意所用地震序列滿足以下條件[6-7]:（1）確定余震的起始時間.（2）余震數(shù)必須大于50.（3）確定起始震級.（4）對（1）式應(yīng)用最小二乘擬合的數(shù)據(jù)數(shù)要大于5個.（5）最大震級與最小震級之差必須大于1.5級.（6）震級要用統(tǒng)一標(biāo)度.

主震-余震型地震的余震初期，余震頻度高、強(qiáng)度大，求得b值比較可靠.隨著時間推移，余震頻度衰減，強(qiáng)度降低，會使b值顯著變小.因此，用b值橫截距法估計強(qiáng)余震震級時，使用前期序列會得到較好的結(jié)果.基于以上因素，本文選取的地震數(shù)據(jù)的時間段為2008年5月12日至2008年5月15日.數(shù)據(jù)來自中國地震臺網(wǎng)中心給出的地震序列目錄,震級統(tǒng)一標(biāo)度為Ms.

實際地震資料因受各種因素的影響常與G-R關(guān)系式有一定的偏差.由于小震漏記或沒有測到，常造成在小震級一端會偏離G-R關(guān)系式，出現(xiàn)G-R圖形小震級段“掉頭”；對于大震資料，由于統(tǒng)計時間不夠長，會造成大震部分缺失，常造成在大震級一端會偏離G-R關(guān)系式，出現(xiàn)G-R圖形大震級段“彎曲”.因此，在確定b值時需適當(dāng)舍去偏差較大的兩頭數(shù)據(jù)，使b值的計算結(jié)果偏差盡量減小.

為了避免G-R圖形出現(xiàn)“彎曲”，對于小震級一端，由于b值的計算與起算震級的選取有密切關(guān)系，為了避免個人選取起始震級的隨意性，盡量減小誤差，增強(qiáng)b值的準(zhǔn)確度，本文采取了拋投法[12].具體做法是：起始震級從2.5級開始，震級分檔為0.2級，求出這組數(shù)據(jù)（M,lgN（M））的相關(guān)系數(shù).再把起始震級調(diào)為2.6級，震級分檔仍為0.2級，求出這組新數(shù)據(jù)（M,lgN（M））的相關(guān)系數(shù).如此反復(fù)多次，相關(guān)系數(shù)會從較小值逐漸增大，達(dá)到極大值后又逐漸減小.取相關(guān)系數(shù)達(dá)到極大值時算得b值，從而得到擬合最好的那一次.結(jié)果表明：極大值點在3.0,即起始震級為3.0級，該震級恰好是有感地震的初始震級，這也與地震臺網(wǎng)精確監(jiān)測能力相吻合.為了避免G-R圖形“掉頭”現(xiàn)象，對于大震級一端，本文采用了剔除8.0級主震.

圖1 汶川8.0級地震后四天的余震序列G-R關(guān)系圖

因此G-R關(guān)系式應(yīng)用的數(shù)據(jù)為：震級統(tǒng)一標(biāo)度為Ms，起始震級為3.0級，震級分檔為0.2級，剔除8.0級主震的汶川后四天的余震數(shù)據(jù).以震級M為橫坐標(biāo)，lgN（M）為縱坐標(biāo)畫出散點圖，通過圖像可以發(fā)現(xiàn)散點圖幾乎位于一條直線上（圖1）.根據(jù)（1）式，利用最小二乘法計算出的常數(shù)a=5.2827，b=0.7974，計算出相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)|ρ|=0.9974，這充分說明了M與lgN（M）線性關(guān)系密切，直線吻合得好.

在圖2中，隨著標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值的變化，殘差點在0線周圍隨機(jī)分布，因此不存在異方差現(xiàn)象.此外還可以通過標(biāo)準(zhǔn)化殘差的非參數(shù)檢驗，檢驗表明標(biāo)準(zhǔn)化殘差與正態(tài)分布不存在顯著差異，可以任務(wù)殘差滿足了線性模型的前提要求.

最后通過延長直線lgN（M）=5.2827-0.7974,得到直線在橫截距為6.6，即估算未來最大余震震級Mm=6.6.這與實際2008年5月25日發(fā)生的最大余震6.4級很接近，這也表明b值橫截距法在汶川最大余震預(yù)測中的的應(yīng)用效果非常好.

圖2 汶川8.0級地震序列G-R關(guān)系式回歸分析的殘差圖

3 結(jié)論

本文利用最小二乘法估算了G-R關(guān)系式中的常數(shù)a，b，并進(jìn)行了相關(guān)系數(shù)檢驗和殘差檢驗.再用b值橫截距對可能最大余震進(jìn)行估計，結(jié)果表明估算出的最大余震6.6級與實際已經(jīng)發(fā)生的最大余震6.4很接近，這表明該方法對最大余震的估算是可行的.

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P315.8

A

1673-260X（2012）09-0159-02

安徽省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師人才科研資助項目（2012SQRL215,2010SQRL115）