王 艷

（長(zhǎng)治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長(zhǎng)治 046011）

水槽中的孤波是非線性科學(xué)中的一個(gè)典型現(xiàn)象，很多學(xué)者對(duì)非傳播孤波的理論和實(shí)驗(yàn)都做了積極的探討[1-12]。關(guān)于水槽中孤波的相互作用，除了吳君汝等的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)外，一些文獻(xiàn)還用不同方法給出了兩同振幅孤波相互作用的理論分析，同相孤波相互吸引而周期性的合并，反相孤波相互排斥而遠(yuǎn)離[8-10]。有關(guān)不同振幅孤波的相互作用，則討論很少。另外，吳君汝等的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)水槽沿長(zhǎng)度方向略微傾斜時(shí)，孤波將沿著淺水方向移動(dòng)，而且文獻(xiàn)[11]從能量觀點(diǎn)出發(fā)對(duì)此做出了分析和估計(jì)。

本文是在不考慮外加驅(qū)動(dòng)的情況下，對(duì)深度緩變矩形槽中的非傳播表面孤波的演化做了一些討論，主要針對(duì)槽底部?jī)A斜和槽底部呈余弦變化這兩種情況，得到了一些有意義的結(jié)論。不考慮外加驅(qū)動(dòng)的情況下，深度緩變矩形槽中非傳播性表面孤波滿足的非線性薛定諤方程為[12]：

為了簡(jiǎn)化方程，進(jìn)行無量綱變換，令 x′=x/2c2，t′=x/4ωc2，A′=，f（x）=-2c2F（x），略去上標(biāo)“′”，得到深度緩變矩形槽中，孤波滿足的無量綱化的非線性薛定諤方程：

其中 A（x，t）表示表面波包絡(luò)，f（x）是槽底緩變函數(shù)。

1 底部?jī)A斜的矩形槽中的孤波

我們考慮深度緩變矩形槽中槽底傾斜時(shí)的情況，即：

其中b為槽底的斜率，b＞0意味著沿x正方向槽變淺。此方程的精確解為[13,14]：

其中 θ=μ（x-0.5bt2+x0），φ=-btx+0.5（b2t3/3-μ2t）+φ0，μ，b，x0，φ0是實(shí)常數(shù)。精確解中 μ 與孤波寬度有關(guān)，x0是孤波移動(dòng)的初始點(diǎn)，x0是初相位，孤波移動(dòng)的速度是時(shí)間的函數(shù)為bt，加速度為b，若b=0，孤波將停留在原地。若b＞0，孤波則沿淺水方向加速移動(dòng)，通過改變參數(shù)b的值，即通過調(diào)節(jié)槽底的傾斜度，可以控制孤波的移動(dòng)速度。從圖1（a）中我們可以看到當(dāng)槽底沿x正方向向上傾斜，即b＞0時(shí)，非傳播性孤波是沿x正方向，即淺水方向移動(dòng)的。從圖1（b）中我們可以看到當(dāng)槽底不傾斜，即b=0時(shí)，非傳播性孤波將停留在原地。圖2顯示了槽底傾斜時(shí)兩個(gè)同振幅的非傳播性孤波移動(dòng)過程中的相互作用情況：從圖2（a）可以看到兩個(gè)振幅和寬度相同的同相孤波在移動(dòng)過程中相互吸引而周期性的合并；從圖2（b）可以看到兩個(gè)振幅和寬度相同的反相孤波在移動(dòng)過程中相互排斥而遠(yuǎn)離。圖3顯示了槽底傾斜時(shí)兩個(gè)不同振幅的非傳播性孤波移動(dòng)過程中的相互作用情況。我們可以看到，同相和反相的兩孤波在移動(dòng)過程中都將保持相對(duì)距離不變。數(shù)值模擬顯示了兩個(gè)不同振幅的非傳播性孤波的相互作用比同振幅的要弱。

圖1 槽底傾斜時(shí)非傳播性孤波的移動(dòng)。參數(shù)選取分別為：μ=1，x0=0，φ0=0，（a）b=0.1，（b）b=0。

圖2 槽底傾斜時(shí)兩振幅相同的非傳播性孤波的相互作用。參數(shù)選取分別為：μ=1，φ0=0，b=0.05，（a）同相孤波相互作用 A（x，0）=sech（x+2）+sech（x-2），（b）反相孤波相互作用 A（x，0）=sech（x+2）-sech（x-2）。

圖3 槽底傾斜時(shí)兩振幅不同的非傳播性孤波的相互作用。參數(shù)選取分別為：μ=2，φ0=0，b=0.05，（a）同相孤波相互作用 A（x，0）=2sech［2（x+2）］+sech（x-2），（b）反相孤波相互作用 A（x，0）=2sech［2（x+2）］-sech（x-2）。

2 底部呈余弦變化矩形槽中的孤波

我們考慮深度緩變矩形槽中槽底呈余弦變化的情況，即：

此時(shí)方程（3）沒有精確的孤波解，我們考慮如下初始波形：

其中η與孤波的寬度有關(guān)，圖4顯示了槽底部呈余弦變化時(shí)波形（7）的演化情況，從圖4中我們看到ε取值較小時(shí)波形（7）是穩(wěn)定的。事實(shí)上，當(dāng)槽底緩變函數(shù)f（x）=0時(shí)，方程（3）就簡(jiǎn)化成了標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程。眾所周知，標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程的精確孤波解的初始形式為（7）式，由于考慮到矩形槽底是做微小的變化，即槽底緩變函數(shù)f（x）中參量ε＜＜1，可認(rèn)為在非線性體系（6）下的方程（3）是精確可積的標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程的周期橫向微擾形式。圖5顯示了槽底呈余弦變化時(shí)兩非傳播性孤波的相互作用，只要選取合適的參數(shù)兩同相孤波將不會(huì)出現(xiàn)周期性合并，兩反相孤波也不會(huì)遠(yuǎn)離。

圖4 槽底部呈余弦變化時(shí)孤波的演化。參數(shù)選取分別為：η=1，ω=1，（a）ε=0.05，（b）ε=0。

圖5 槽底呈余弦變化時(shí)兩非傳播性孤波的相互作用。參數(shù)選取分別為：η=1，ω=1，ε=0.05，（a）同相孤波相互作用 A（x，0）=sech（x+2.6）+sech（x-2.6），（b）反相孤波相互作用 A （x，0）=sech（x+2.6）-sech（x-2.6）。

本文是在不考慮外加驅(qū)動(dòng)的情況下，討論了深度緩變矩形槽中底部?jī)A斜和底部呈余弦變化時(shí)非傳播性孤波的演化情況，分析了槽底部?jī)A斜時(shí)非線性薛定諤方程的精確解，從而得到了孤波向淺水方向移動(dòng)的結(jié)論，與吳君汝的實(shí)驗(yàn)和文獻(xiàn)[11]的結(jié)論是一致的。還進(jìn)一步討論了兩孤波相互作用的情況，得到的結(jié)論與槽底部不傾斜的情況一樣，即：兩個(gè)同振幅和同寬度的同相孤波相互吸引而周期性的合并，反相孤波相互排斥而遠(yuǎn)離；數(shù)值模擬顯示了兩個(gè)不同振幅的非傳播性孤波的相互作用比同振幅的要弱。我們期待能從理論上對(duì)此作出分析。對(duì)于槽底部呈余弦變化情況，此時(shí)非線性薛定諤方程是不可積的，沒有精確解，我們?nèi)×朔匠探平獾某跏夹问竭M(jìn)行數(shù)值模擬，得到此近似解的初始波形在演化過程中是穩(wěn)定的。對(duì)兩孤波相互作用，得到了與槽底是平面時(shí)不一樣的結(jié)論，只要選取合適的參數(shù)，兩同相孤波將不會(huì)出現(xiàn)周期性合并，兩反相孤波也不會(huì)遠(yuǎn)離，而是處于一種相持狀態(tài)。

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