郭春曉

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，北京 100083）

《空間解析幾何》是高等院校數(shù)學(xué)系開設(shè)的一門重要的基礎(chǔ)課程,它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，訓(xùn)練與提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力有重要作用.同時(shí),它又與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等課程有著密切的聯(lián)系.該課程的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何，坐標(biāo)法和向量法是其基本的研究方法[1].但是在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)為空間解析幾何課程的內(nèi)容相對(duì)抽象，對(duì)一些基本概念難以理解.如何使學(xué)生掌握課程的主要內(nèi)容并培養(yǎng)他們嚴(yán)密的邏輯思維能力，是我們教學(xué)活動(dòng)所要解決的問(wèn)題.針對(duì)這些現(xiàn)象，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談一點(diǎn)教學(xué)體會(huì).

1 提高緒論課和章節(jié)小結(jié)在教學(xué)中的比例

緒論是每門課程的第一堂課，是教師與學(xué)生的第一次正面接觸，因此講好緒論課，能促使學(xué)生對(duì)該門課程產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)又能使教師贏得學(xué)生的充分信任與尊重，從而為這門課程的進(jìn)一步教學(xué)奠定良好的基礎(chǔ).通過(guò)緒論課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能從整體上把握這門課程，了解該課程的研究?jī)?nèi)容、研究對(duì)象、研究方法，進(jìn)而了解整本書以及每個(gè)章節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中做到“有的放矢，胸有成竹”.在《空間解析幾何》的教學(xué)中，緒論課的教學(xué)尤為重要，因?yàn)榻^大多數(shù)學(xué)生在高中時(shí)期就或多或少接觸了一些向量和坐標(biāo)的基礎(chǔ)知識(shí)，使得他們無(wú)論是從學(xué)習(xí)動(dòng)力還是從投入精力方面都有所減少，正是這種狀況使得學(xué)生對(duì)解析幾何課程的學(xué)習(xí)出現(xiàn)了懈怠情緒.筆者在教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常聽到學(xué)生們說(shuō)學(xué)過(guò)這門課程的相關(guān)知識(shí)，他們基本上做完作業(yè)就很少再花時(shí)間在這門課程的學(xué)習(xí)上，而把更多的時(shí)間和精力留給了數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù).介于此種情況，如果緒論課不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，那么以后的學(xué)習(xí)可能越來(lái)越困難，慢慢就失去了學(xué)習(xí)的動(dòng)力；相反若緒論課能講好，引起學(xué)生濃厚的興趣，那么學(xué)生會(huì)主動(dòng)地學(xué)習(xí)，積極配合教學(xué)，能產(chǎn)生良好的教學(xué)效果.

好的開始是成功的一半，但是在教學(xué)過(guò)程中忌諱“虎頭蛇尾”.因此，“趁熱打鐵”及時(shí)對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，可以使學(xué)生把前后所學(xué)內(nèi)容聯(lián)系在一起，融會(huì)貫通，更深刻地掌握所學(xué)知識(shí).比如，當(dāng)講授完向量與坐標(biāo)這一章后，可以將向量積和行列式結(jié)合起來(lái)考慮，結(jié)束平面與空間直線這一章的教學(xué)后，可以將平面的參數(shù)式方程、點(diǎn)位式方程、三點(diǎn)式方程、截距式方程等進(jìn)行比較，直線的參數(shù)式、射影式、一般式等進(jìn)行比較，使學(xué)生能更好地掌握它們的聯(lián)系、區(qū)分這些基本方程式的區(qū)別，并能熟練的實(shí)現(xiàn)幾種方程的相互推導(dǎo)轉(zhuǎn)化.同時(shí)，再將平面和直線的方程與行列式的知識(shí)結(jié)合起來(lái)講解[2,3]，使學(xué)生能把分散的知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)化、有序化.

2 加強(qiáng)基本概念、重點(diǎn)概念的教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物在數(shù)量關(guān)系上的抽象,反映了客觀對(duì)象普遍的本質(zhì)屬性,這就決定了數(shù)學(xué)概念的抽象性.解析幾何是以向量、共線、共面、線性表示、線性相關(guān)等一系列抽象概念為主線的數(shù)學(xué)課程.對(duì)于抽象概念，若不注重引入方法而直接講解，會(huì)使學(xué)生難以接受.即使勉強(qiáng)接受也不能在實(shí)際中熟練應(yīng)用.在這些概念的教學(xué)中，教師在授課過(guò)程中應(yīng)注意用精練的語(yǔ)言準(zhǔn)確的講清概念，強(qiáng)調(diào)揭示概念的實(shí)質(zhì)，具體來(lái)說(shuō)教師應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

2.1 將抽象概念和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合

解析幾何作為基礎(chǔ)課程，在數(shù)學(xué)專業(yè)的相關(guān)課程中都有應(yīng)用.但在解析幾何教學(xué)過(guò)程中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，滿堂灌的教學(xué)方法往往會(huì)使學(xué)生感到單調(diào)乏味，因此在解析幾何教學(xué)中增加實(shí)用性教學(xué)就顯得尤為重要.可以考慮在解析幾何教學(xué)中引人生活或者數(shù)學(xué)中的實(shí)際案例，并引導(dǎo)學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)去解決，這樣就使抽象枯燥的知識(shí)點(diǎn)變得實(shí)用有趣.例如，向量法講過(guò)之后，就可以用來(lái)解決三角形三條邊上的高、中線、角平分線交于一點(diǎn)的問(wèn)題.而上面這些問(wèn)題實(shí)際上是大家從初中高中就知道的一些基本常識(shí).另一方面，講授概念時(shí)首先從概念的背景出發(fā)，由引例來(lái)導(dǎo)入概念，做到先具體后抽象，再到具體的問(wèn)題中去.例如，在講向量的點(diǎn)積、向量積、混合積的概念時(shí)，就可以從計(jì)算點(diǎn)到直線的距離、三角形的面積、六面體的體積等實(shí)際問(wèn)題引入.

2.2 借助概念的直觀性

數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)就是嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)中每個(gè)概念都有嚴(yán)格的定義，在解析幾何的實(shí)際教學(xué)中，為了讓學(xué)生理解一些定義相對(duì)抽象的概念，如：向量、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)等概念，教師可以先依托二維、三維向量，二維、三維向量空間等已知概念，逐步幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由具體到抽象的思維過(guò)程.盡管抽象性是解析幾何的特點(diǎn)，但在教學(xué)中我們也要注意直觀性教學(xué)在本門課程中的應(yīng)用.

再如，在講授空間直線方程的時(shí)候提到一個(gè)概念—方向數(shù)[1]：直線的方向向量的坐標(biāo)或者與它成比例的一組數(shù)，稱為直線的方向數(shù).對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)式給出的直線方程，直接通過(guò)觀察法就可以得到這組數(shù).但是對(duì)于由一般方程表示的直線如何求方向數(shù)呢？設(shè)直線L的一般方程為：

教材中用行列式的形式給出了這組數(shù)：

教師可以通過(guò)直觀的方法來(lái)解釋這組數(shù).直線L可以看作兩個(gè)平面相交得到，故其一般式是由兩個(gè)平面方程聯(lián)立而得.那么第一個(gè)平面的法向量與直線垂直，第二個(gè)平面的法向量也與直線垂直.結(jié)合兩向量的向量積的概念，直線的方向向量可看作由兩個(gè)法向量做向量積得到，再結(jié)合向量積的行列式表示，自然就得到了由一般方程表示的直線的方向數(shù).

2.3 注重概念的體系化

數(shù)學(xué)的概念很少是孤立的，理解概念之間的相互聯(lián)系既能促進(jìn)新概念的引入，也有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的理解.解析幾何的知識(shí)點(diǎn)很多，看起來(lái)錯(cuò)綜復(fù)雜，這就需要在講課過(guò)程中注重知識(shí)點(diǎn)的銜接和轉(zhuǎn)化.如向量共線、共面問(wèn)題，既可以從向量的線性相關(guān)性方面理解，也可以從行列式是否為零的角度理解.讓學(xué)生把一個(gè)個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)成一套完整的理論體系.

3 注重習(xí)題課的教學(xué)，精選習(xí)題，歸納總結(jié)

目前，習(xí)題課的教學(xué)主要存在以下幾個(gè)問(wèn)題：1.學(xué)生完成作業(yè)的質(zhì)量不高，究其原因，教師布置了作業(yè)之后，一部分學(xué)生盲目地完成“任務(wù)”，并未挖掘題目深層次的內(nèi)容；一部分學(xué)生參考習(xí)題集草草完成作業(yè)；一部分學(xué)生索性“拿來(lái)主義”，抄襲他人作業(yè).2.由于課時(shí)的限制，往往留給習(xí)題課的課時(shí)很少，教師并未能充分地利用好這一環(huán)節(jié).因此，精心組織好習(xí)題課，是提高教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要環(huán)節(jié).在習(xí)題課上，教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，把學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)思考，積極探索，歸納總結(jié)，吸收和消化所學(xué)知識(shí)內(nèi)容.針對(duì)上面教學(xué)中的問(wèn)題，習(xí)題課應(yīng)該分兩大塊內(nèi)容：一是充分發(fā)揮教師的作用.前面我們已經(jīng)提到了章節(jié)小結(jié)的重要性.因此，習(xí)題課首先要總結(jié)這一章的主要內(nèi)容，如向量法和坐標(biāo)法是貫穿解析幾何課程始終的重要方法，為了使學(xué)生掌握并靈活應(yīng)用這兩類方法，除了書上的例題，書后還有涉及此類問(wèn)題的相關(guān)習(xí)題，結(jié)合這些題目教師可以總結(jié)出向量法和坐標(biāo)法解題的一般思路.同時(shí)，在講習(xí)題課的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生歸納問(wèn)題、總結(jié)問(wèn)題的能力.二是精講典型習(xí)題.針對(duì)學(xué)生在做習(xí)題過(guò)程中出現(xiàn)的應(yīng)付、抄襲等現(xiàn)象，首先，教師要解決的是習(xí)題的選取問(wèn)題，要盡量按以下原則選題：1.題目形式要簡(jiǎn)明，學(xué)生容易看懂，容易引起學(xué)生興趣，而且解法具有一定的技巧；2.所選習(xí)題要有代表性和啟發(fā)性.其次，教師在講解這些習(xí)題的時(shí)候要使得學(xué)生在正確理解和掌握基本概念的基礎(chǔ)上培養(yǎng)一定的解題能力，并靈活運(yùn)用這些解題技巧.最后，通過(guò)批改作業(yè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的共性問(wèn)題，詳細(xì)講解，使學(xué)生真正明白問(wèn)題的原因，并在以后的學(xué)習(xí)中加以改進(jìn).

4 發(fā)揮多媒體優(yōu)勢(shì),增強(qiáng)教學(xué)效果

多媒體教學(xué)是當(dāng)前高校教學(xué)模式的重要手段.傳統(tǒng)的黑板加粉筆的教學(xué)模式已經(jīng)很難滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.《空間解析幾何》課程的特點(diǎn)是課時(shí)少，而內(nèi)容多，尤其是瑣碎的知識(shí)點(diǎn)比較多，再加上在教學(xué)過(guò)程中教師板書多，因此，在較短的時(shí)間內(nèi)想把這門課講清楚，有一定的困難.而豐富的多媒體資源以其優(yōu)異的計(jì)算功能和圖像功能可以彌補(bǔ)板書教學(xué)的不足，但同時(shí)，由于PPT頁(yè)面切換較快，又容易使學(xué)生產(chǎn)生“過(guò)眼不過(guò)腦”的結(jié)果.因此，如果PPT與板書兩者能完美的結(jié)合，我們的課程不僅會(huì)在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、教學(xué)手段上獲得很大的進(jìn)步，也會(huì)使學(xué)生由怕數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閻蹟?shù)學(xué).例如，第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面的教學(xué)，如果可以將多媒體教學(xué)和板書形式結(jié)合的恰如其分的話，教學(xué)效果會(huì)事半功倍.平行截面法是我們研究曲面的主要方法，但是有些曲面如馬鞍面本身圖就不太好畫，如果進(jìn)一步在黑板上畫出曲面截面的話更是體現(xiàn)不出立體性，倘若我們借助于PPT教學(xué)，可以讓學(xué)生直觀的看到一些立體圖形，這樣不僅節(jié)省教學(xué)時(shí)間，對(duì)學(xué)生能深刻理解這些曲面也有很大的幫助.

5 “交流”有助于提高教學(xué)效果

作為年輕老師，需要從學(xué)生的角色迅速轉(zhuǎn)換成“傳道授業(yè)者”的角色.要想成為一名合格的大學(xué)老師除了有較高的學(xué)術(shù)水平外，還需要有充足的教學(xué)經(jīng)驗(yàn).因此，教學(xué)活動(dòng)中就需要積極的交流.一方面，教師應(yīng)主動(dòng)跟學(xué)生交流.我們都知道,教師與學(xué)生相處是否融洽對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)有很大影響,而這主要取決于教師的表現(xiàn).筆者講授的《空間解析幾何》課程，每周都有固定時(shí)間組織學(xué)生答疑，在答疑的時(shí)候，基本會(huì)先了解一下學(xué)生最近的學(xué)習(xí)情況,哪些知識(shí)點(diǎn)好學(xué),哪些比較困難不好理解等等.根據(jù)這些信息,教師可以相應(yīng)地調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和進(jìn)度,重點(diǎn)講解那些“攔路虎”,不必浪費(fèi)太多時(shí)間在簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)上面.如學(xué)生對(duì)向量的點(diǎn)積的計(jì)算比較熟悉，而對(duì)向量的向量積卻是第一次接觸，根據(jù)這些實(shí)際情況，教師可以把更多的精力放在向量積的教學(xué)上.像解析幾何這類課程，教師應(yīng)采取啟發(fā)式、問(wèn)題式教學(xué)模式,通過(guò)在引導(dǎo)、解惑和練習(xí)訓(xùn)練上下功夫,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,為學(xué)生創(chuàng)造充足的自主學(xué)習(xí)時(shí)間,調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能動(dòng)性.另一方面，教師之間經(jīng)常交流可以促進(jìn)教學(xué)水平的提高.在教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)有這樣的問(wèn)題：老師在上面滔滔不絕，學(xué)生在下面不知所云.這種狀況要求教師要多與老教師交流、請(qǐng)教，并且多與學(xué)生交流，從中發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的問(wèn)題，并及時(shí)改正.筆者作為一名年輕教師，在與有經(jīng)驗(yàn)的教師的交流中獲益匪淺.

〔1〕呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.

〔2〕韓瑞珠.線性代數(shù)與空間解析幾何教學(xué)中的一點(diǎn)體會(huì)[J].工科數(shù)學(xué),2002,18（6）:52-58.

〔3〕楊純富.《解析幾何》課堂教學(xué)改革的實(shí)踐與思考[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，5（1）：82-83.