張利強(qiáng),全厚德,崔佩璋

(軍械工程學(xué)院信息工程系,石家莊050003)

1 引 言

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境的日益復(fù)雜化,空間目標(biāo)日益增多,對(duì)目標(biāo)源進(jìn)行精確定位就需要提供精確的二維信息。確定目標(biāo)的DOA(來波方向),在對(duì)敵方軍事目標(biāo)實(shí)施全面的偵察、測(cè)向定位和監(jiān)視中就顯得尤為重要,是獲取戰(zhàn)場(chǎng)制電磁權(quán)與實(shí)施精確打擊的首要前提。

近年來,以基于接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣特征分解理論的子空間類方法MUSIC算法為代表的空間譜估計(jì)技術(shù)在雷達(dá)、通信、電子對(duì)抗等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。在空間譜估計(jì)中,采用經(jīng)典陣列結(jié)構(gòu)形式的陣列得到了深入的研究。但是對(duì)于采用固定陣列結(jié)構(gòu)的陣列形式而言,其對(duì)布設(shè)陣列所需的空間有嚴(yán)格的要求。現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中,由于受實(shí)際環(huán)境的限制,天線陣列的陣元數(shù)量及其陣列結(jié)構(gòu)都會(huì)受到一定的影響,陣列結(jié)構(gòu)不一定滿足線陣等經(jīng)典陣列形式,陣列結(jié)構(gòu)往往是非規(guī)則的任意陣型,這就會(huì)給精確測(cè)向帶來困難,因此,研究非規(guī)則型天線陣列的超分辨測(cè)向具有重要的實(shí)際意義。

對(duì)非規(guī)則陣列的測(cè)向,學(xué)者們進(jìn)行了一定程度的研究。文獻(xiàn)[2-4]研究了非規(guī)則陣列的優(yōu)化和合成,文獻(xiàn)[5]僅對(duì)空間任意四元陣測(cè)向進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[6]對(duì)陣列結(jié)構(gòu)與測(cè)向性能的關(guān)系進(jìn)行了分析。但是,這些研究成果對(duì)非規(guī)則陣列的測(cè)向模糊性討論較少。本文推導(dǎo)了適用于非規(guī)則結(jié)構(gòu)平面陣列的MUSIC算法,完成了對(duì)空間多目標(biāo)信號(hào)的DOA估計(jì),同時(shí)分析了非規(guī)則平面陣列的陣列結(jié)構(gòu)對(duì)測(cè)向模糊性的影響,以期為人們選擇合適的陣列結(jié)構(gòu)提供依據(jù)。

2 非規(guī)則陣列測(cè)向數(shù)學(xué)模型

在圖1中的空間三維坐標(biāo)系OXYZ,假設(shè)M 個(gè)陣元在平面XOY內(nèi)組成任意幾何結(jié)構(gòu)形狀的平面陣列,以某一陣元作為參考陣元(即位于坐標(biāo)原點(diǎn)O),點(diǎn)Ai為平面XOY內(nèi)中第i個(gè)陣元的位置,其坐標(biāo)為(xi,yi)。假設(shè)空間有 N個(gè)不相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)sj(t)(1≤j≤N),分別以不同的方向入射到該平面陣列,遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)為均值為零的平穩(wěn)過程,各陣元接收的噪聲為獨(dú)立的加性高斯白噪聲,第j個(gè)信號(hào)來波方向的方位角和俯仰角為(θj,φj)。

圖1 非規(guī)則陣列模型Fig.1 Irregular geometry plane array′s model

在圖1中,連接O和A點(diǎn),從A點(diǎn)作垂直于入射信號(hào)的垂線,垂點(diǎn)為B點(diǎn),其坐標(biāo)為(x,y,z),由電磁波傳播理論可知OB就是陣元A與參考陣元之間在Δt內(nèi)傳播的距離,由幾何關(guān)系得

其中,AB2=(xi-x)2+(yi-y)2+z2,B點(diǎn)坐標(biāo)分別為 x=OBsinφ cosθ,y=OBsinφ sinθ,z=OBcosφ。將B點(diǎn)坐標(biāo)代入式(1),對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn),可得陣元A與參考陣元間的波程差τ:

測(cè)向陣列的輸出矩陣形式為

其中,A為陣列流形矩陣,S(t)為空間信號(hào)矢量,N(t)為噪聲矢量,即:

式(5)中,導(dǎo)向矢量

式中,ω0=2πc/λ,τNi表示第i個(gè)信號(hào)到達(dá)第N 個(gè)陣元時(shí)對(duì)參考陣元的時(shí)延。

3 基于MUSIC算法的高分辨二維測(cè)向

基于協(xié)方差矩陣特征分解理論的子空間類方法MUSIC算法一直受到人們的重視,其能夠提供信號(hào)參量的漸進(jìn)無偏估計(jì),使估計(jì)的均方差接近CR界,在特定條件下具有很高的分辨力、估計(jì)精度和穩(wěn)定性。該算法的提出促進(jìn)了特征結(jié)構(gòu)類算法的興起和發(fā)展,已成為空間譜估計(jì)理論體系中的標(biāo)志性算法。

文獻(xiàn)[7]利用3個(gè)直線陣進(jìn)行組合實(shí)現(xiàn)了分別估計(jì)一維DOA,但其對(duì)非規(guī)則結(jié)構(gòu)平面陣并不適用。對(duì)于非規(guī)則結(jié)構(gòu)平面陣,基于MUSIC算法實(shí)現(xiàn)二維DOA估計(jì)的主要步驟如下。

(1)參數(shù)初始化。設(shè)置各陣元位置坐標(biāo)以及信號(hào)源的入射角度,并建立導(dǎo)向矢量矩陣A。

(2)通過建模隨機(jī)產(chǎn)生窄帶信號(hào)源及噪聲數(shù)據(jù),建立陣列接收數(shù)據(jù)的矩陣形式X(t)[8]。

(4)對(duì)R進(jìn)行特征值分解,按照降序排列其特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。

(5)從第三步知R的獲得是通過有限的采樣數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)的,因此其最小特征值并不相等,依據(jù)信息論最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則對(duì)信源數(shù)目q進(jìn)行估計(jì)。

(6)從第五步得到最小特征值的個(gè)數(shù)為(M-q),進(jìn)一步求出特征矢量 VD+1,VD+2,…,VM,最小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的噪聲子空間 UN=[VD+1,VD+2,…,VM];

(7)計(jì)算MUSIC譜函數(shù)PMUSIC:

使 θ、φ分別在 0～ 360°、0～ 90°變化,對(duì)式(9)進(jìn)行計(jì)算,繪制二維曲線并在二維空間進(jìn)行譜峰搜索,即可估計(jì)得到信號(hào)源的方位角和俯仰角。高分辨二維DOA估計(jì)的流程圖如圖2所示。

圖2 二維DOA估計(jì)的算法流程Fig.2 Flow of two-dimensional DOA estimation

在圖2中,關(guān)鍵工作是建立導(dǎo)向矢量矩陣A,其具體過程在非規(guī)則陣列測(cè)向數(shù)學(xué)模型中有詳細(xì)的研究。

4 測(cè)向模糊性分析

在圖1所示的M元非規(guī)則結(jié)構(gòu)平面陣中,天線陣的陣列流形如式(8)所示。對(duì)于復(fù)指數(shù)函數(shù)e-jt,其對(duì)于t是以2π為周期的周期函數(shù),因此對(duì)于一個(gè)確定的 a(θ),可能存在互異的角度 θ1、θ2使得a(θ1)=a(θ2)成立,即并不能保證信號(hào)方向估計(jì)的唯一性。

假設(shè)信號(hào)入射角度為θ,若存在測(cè)向模糊,則必存在另一個(gè)入射角度 ψ,使得 a(θ)=a(ψ)成立,即向量的各個(gè)分量相等,由此可得

根據(jù)復(fù)指數(shù)函數(shù)的周期性,可得

其中,ki(i=1,2,…,M)為整數(shù)或零。對(duì)上式進(jìn)行整理:

在圖1中,設(shè)任意陣元 A與x軸夾角為θA,則陣元A的坐標(biāo)滿足

對(duì)上式進(jìn)一步整理可得

對(duì)于M元非規(guī)則結(jié)構(gòu)平面陣,在采用MUSIC算法測(cè)向時(shí),在信號(hào)波達(dá)方向 θ上,對(duì)任意的-π≤(θ-ψ)/2≤π,和式(10)(其中 ki為整數(shù)或 0),如果有且僅有 θ=ψ時(shí)式(10)成立,則此時(shí)不存在測(cè)向模糊。若θ-ψ≠0時(shí)式(10)仍成立,那么此時(shí)就存在測(cè)向模糊。所以,是否存在測(cè)向模糊可歸根于式(10)中ki是否有整數(shù)解或零解。測(cè)向模糊存在與否,取決于陣列的各陣元位置及信號(hào)的波長(zhǎng)。在設(shè)計(jì)無模糊測(cè)向的陣列時(shí)應(yīng)綜合考慮這兩方面因素。

5 仿真和分析

實(shí)驗(yàn)1 取陣元數(shù)為6元的平面陣,陣列結(jié)構(gòu)分別采用矩形平面陣和任意形狀平面陣,矩形面陣的各陣元坐標(biāo)為(0,0)、(2,0)、(4,0)、(0,2)、(2,2)、(4,2),任意形狀平面陣的各陣元坐標(biāo)為(0,0)、(1,0)、(3,1)、(1,3)、(5,3)、(2,5)?？臻g信源個(gè)數(shù)為 2,入射角度分別為(20°,30°)和(110°,50°),信噪比假設(shè)為-10～20 dB,快拍數(shù)取512,信號(hào)頻率為150 MHz。做100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)分析矩形平面陣和任意形狀平面陣的測(cè)向精度。

為了描述兩種平面陣列的測(cè)向精度,定義二維測(cè)向時(shí)角度的均方根誤差(RMSE)為

式中,θ、φ表示信號(hào)方位角和俯仰角的真值 , θ、 φ表示信號(hào)方位角和俯仰角的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值。

在仿真過程中,改變信噪比,以5 dB為步長(zhǎng)從-10 dB變化到20 dB,以100次測(cè)量結(jié)果的平均值作為測(cè)量結(jié)果。測(cè)向角度的RMSE與信噪比的關(guān)系曲線如圖3和圖4所示。

圖3 信號(hào)(20°,30°)的 R MSE隨SNR變化曲線Fig.3 Signal(20°,30°)variation curve of R MSE and SNR

圖4 信號(hào)(110°,50°)的 R MSE隨SNR變化曲線Fig.4 Signal(110°,50°)variation curve of R MSE and SNR

從圖3和圖4可以看出,對(duì)不同的信號(hào)入射角度,在信噪比變化過程中,在整體趨勢(shì)上6元矩形平面陣列的均方根誤差(RMSE)要大于陣元位置坐標(biāo)任意的任意形結(jié)構(gòu)平面陣列。兩種陣形相比,任意形平面陣列的測(cè)向精度更好些。

實(shí)驗(yàn)2 取實(shí)驗(yàn)1中的兩種6元平面陣列,空間信源個(gè)數(shù)為 2,入射角度分別為(10°,20°)和(80°,60°),在信噪比為5 dB時(shí),做100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)分析矩形平面陣和任意形狀平面陣的二維MUSIC譜曲線圖。

矩形平面陣的MUSIC譜曲線圖及其等高線圖如圖5和圖6所示。

圖5 矩形平面陣的譜曲線圖Fig.5 Spectrum of rectangle plane array

圖6 矩形平面陣譜曲線的等高線圖Fig.6 Spectrum′s contour of rectangle plane array

任意形平面陣列的MUSIC譜曲線圖及其等高線圖如圖7和圖8所示。

圖7 任意形平面陣的譜曲線圖Fig.7 Spectrum of arbitrary plane array

圖8 任意形平面陣譜曲線的等高線圖Fig.8 Spectrum′s contour of arbitrary plane array

從圖5～8可看出,在相同條件下,矩形平面陣和陣元位置坐標(biāo)任意的平面陣列兩者都能夠比較準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)信號(hào)的DOA估計(jì),而且后者得到的空間功率譜的譜峰更尖銳,指向更精確。

實(shí)驗(yàn)3 對(duì)實(shí)驗(yàn)1中的兩種6元平面陣列,理論分析其測(cè)向模糊性。將矩形平面陣和任意形平面陣的各陣元位置坐標(biāo)代入式(10),經(jīng)過Matlab計(jì)算發(fā)現(xiàn)在矩形平面陣時(shí)ki不存在,故該矩形平面陣在本實(shí)驗(yàn)條件下存在測(cè)向模糊問題,這一點(diǎn)從圖6也可得到驗(yàn)證。在對(duì)任意形平面陣經(jīng)過計(jì)算后,發(fā)現(xiàn)滿足條件的ki存在,因此該陣列不存在測(cè)向模糊問題。通過進(jìn)一步分析可知,測(cè)向模糊與陣元位置及信號(hào)波長(zhǎng)有直接的關(guān)系,在圖1所示的坐標(biāo)系下設(shè)計(jì)任意形平面陣時(shí),應(yīng)首先保證位于x軸上的第一個(gè)陣元到參考陣元的距離d>λ/2,否則必存在模糊問題。

以上實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型對(duì)非規(guī)則結(jié)構(gòu)平面陣列二維測(cè)向的有效性,為后續(xù)工程實(shí)踐中應(yīng)用論文的研究成果提供了可行性,具有一定的實(shí)用性。

6 結(jié)束語

天線陣的陣列結(jié)構(gòu)對(duì)其測(cè)向性能有著直接影響。針對(duì)實(shí)際環(huán)境對(duì)陣列結(jié)構(gòu)的約束和實(shí)際應(yīng)用中的二維測(cè)向問題,本文建立了非規(guī)則平面陣列的通用測(cè)向數(shù)學(xué)模型,利用經(jīng)典MUSIC算法對(duì)二維測(cè)向進(jìn)行了研究,分析了陣列結(jié)構(gòu)對(duì)測(cè)向模糊的影響。理論分析和仿真結(jié)果表明,論文提出的數(shù)學(xué)模型對(duì)非規(guī)則結(jié)構(gòu)平面陣列的測(cè)向具有實(shí)用性,可廣泛應(yīng)用于任意平面空間的二維測(cè)向研究。在非規(guī)則陣列結(jié)構(gòu)中如何選取最簡(jiǎn)單的陣型以符合測(cè)向的具體要求,將是后續(xù)研究工作的重點(diǎn)。

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