葛松華 唐亞明

(青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院 山東 青島 266042)

1 引言

棱鏡的一個(gè)主要功能是色散.直角棱鏡又稱為阿貝棱鏡，由于它的設(shè)計(jì)特點(diǎn)，即利用全反射特性，棱鏡的出射光線與入射光線具有恒偏向角，所以經(jīng)常應(yīng)用在光譜儀器中[1]. 現(xiàn)推導(dǎo)直角棱鏡的偏向角與入射角的關(guān)系式，得到恒偏向角的結(jié)果，并討論直角棱鏡的最大入射角和最小入射角，用Matlab軟件繪出最大入射角和最小入射角與折射率的變化曲線.

2 直角棱鏡的恒偏向角

2.1 偏向角與入射角的關(guān)系式

δ=60°+i-i′

(1)

在AB面上由折射定律得

sini=nsinr

(2)

同理在BC面上有

sini′=nsinr′

(3)

圖1 直角棱鏡偏向角的光路圖

從圖1容易得到

r+r′=60°

(4)

所以有

sini′=nsinr′=nsin(60°-r)=

n(sin60°cosr-cos60°sinr)=

得

則

(5)

式(5)即為偏向角δ與入射角i之間關(guān)系的表達(dá)式.偏向角與折射率n和入射角i有關(guān)，表明全反射后會(huì)對(duì)顏色有選擇，因而產(chǎn)生色散現(xiàn)象.

2.2 恒偏向角的條件

如果使

(6)

即

(7)

則偏向角

δ=60°

(8)

即為恒偏向角.這就是直角棱鏡的重要特征，與常用的等邊三棱鏡不同，它是利用全反射特性制成的反射棱鏡.反射棱鏡經(jīng)常應(yīng)用在光譜儀器中，光源和觀察系統(tǒng)的角度可以固定，旋轉(zhuǎn)棱鏡，即改變?nèi)肷浣?，就能夠方便地觀察到不同波長(zhǎng)的譜線.

式(7)可表示為

n=2sini

(9)

根據(jù)式(9)，只要測(cè)出入射角i，就可得到折射率n.用Matlab軟件畫出n-i曲線，如圖2所示.

圖2 折射率與入射角關(guān)系曲線

實(shí)驗(yàn)中，旋轉(zhuǎn)直角棱鏡，改變?nèi)肷浣蔷涂梢杂^察特定波長(zhǎng)的光線.所以這個(gè)裝置可以經(jīng)過校準(zhǔn)，使得棱鏡旋轉(zhuǎn)度盤讀數(shù)直接用波長(zhǎng)標(biāo)定.

3 直角棱鏡全反射時(shí)的最大入射角與最小入射角

3.1 最大入射角

圖3 最大入射角光路圖

如圖3所示，當(dāng)入射光線入射到AB面上，發(fā)生折射，設(shè)入射角為i，折射角為r，折射光線又以入射角r0入射到AC面上，并恰好在AC面發(fā)生全反射.

根據(jù)折射定律，在AB面上有sini=nsinr,在AC面上有nsinr0=1 ,由圖3可得

∠A=r+r0=90°

(10)

則

sini=nsinr=nsin(∠A-r0)=

n(sin∠Acosr0-cos∠Asinr0)=

此時(shí)的入射角稱為直角棱鏡在AC面上全反射時(shí)的最大入射角，記為imax，那么

(11)

用Matlab軟件畫出最大入射角與折射率的變化曲線，即imax-n曲線，如圖4所示.

圖4 最大入射角與折射率的關(guān)系曲線

如果入射光線大于最大入射角，則光線就不能在AC面上發(fā)生全反射,即要在AC面上產(chǎn)生全反射現(xiàn)象，入射角必須小于最大入射角.最大入射角隨折射率的增大而增大.當(dāng)折射率n≥1.41時(shí)，最大入射角為90°，這對(duì)玻璃棱鏡和可見光而言是沒問題的.所以入射光線不論以多大的入射角入射，在AC面上總能發(fā)生全反射.這就是直角棱鏡的設(shè)計(jì)特點(diǎn).

3.2 最小入射角

下面再來討論BC面上的全反射問題.入射光線在AB面上入射，在AC面上全反射后，再入射到BC面上.當(dāng)入射角i減小時(shí)，折射角r也會(huì)減小.由于r′=60°-r，r′會(huì)增加，如果r′增大到全反射角時(shí)，即

nsinr′=sini′=1

(12)

光線就會(huì)在BC面上發(fā)生全反射，沒有出射光線.此時(shí)的入射角稱為最小入射角imin，由式(2)和式(12)得

sinimin=nsinr=nsin(60°-r′)=

(13)

用Matlab軟件畫出imin-n曲線，如圖5所示.最小入射角隨折射率的增大而增大.

圖5 最小入射角與折射率的關(guān)系曲線

綜上所述，要在BC面上得到出射光線，入射角必須小于最大入射角和大于最小入射角.實(shí)驗(yàn)中小于最大入射角一般是沒有問題的，只要注意大于最小入射角即可.

直角棱鏡是具有60°恒偏向角的棱鏡，另外還有具有90°恒偏向角的Pellin-Broca棱鏡等[2].分析這些棱鏡的特性，對(duì)實(shí)驗(yàn)來說很有意義.

參考文獻(xiàn)

1 E·赫克特，A·贊斯著.秦克誠，詹達(dá)三，林福成譯. 光學(xué)(上冊(cè))(第1版).北京：高等教育出版社,1979 .252～254

2 姚啟鈞.光學(xué)教程(第1版). 北京：高等教育出版社，1981 .203～204