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        直角棱鏡的特性研究

        2011-01-25 03:41:44葛松華唐亞明
        物理通報(bào) 2011年12期

        葛松華 唐亞明

        (青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院 山東 青島 266042)

        1 引言

        棱鏡的一個(gè)主要功能是色散.直角棱鏡又稱為阿貝棱鏡,由于它的設(shè)計(jì)特點(diǎn),即利用全反射特性,棱鏡的出射光線與入射光線具有恒偏向角,所以經(jīng)常應(yīng)用在光譜儀器中[1]. 現(xiàn)推導(dǎo)直角棱鏡的偏向角與入射角的關(guān)系式,得到恒偏向角的結(jié)果,并討論直角棱鏡的最大入射角和最小入射角,用Matlab軟件繪出最大入射角和最小入射角與折射率的變化曲線.

        2 直角棱鏡的恒偏向角

        2.1 偏向角與入射角的關(guān)系式

        δ=60°+i-i′

        (1)

        在AB面上由折射定律得

        sini=nsinr

        (2)

        同理在BC面上有

        sini′=nsinr′

        (3)

        圖1 直角棱鏡偏向角的光路圖

        從圖1容易得到

        r+r′=60°

        (4)

        所以有

        sini′=nsinr′=nsin(60°-r)=

        n(sin60°cosr-cos60°sinr)=

        (5)

        式(5)即為偏向角δ與入射角i之間關(guān)系的表達(dá)式.偏向角與折射率n和入射角i有關(guān),表明全反射后會(huì)對(duì)顏色有選擇,因而產(chǎn)生色散現(xiàn)象.

        2.2 恒偏向角的條件

        如果使

        (6)

        (7)

        則偏向角

        δ=60°

        (8)

        即為恒偏向角.這就是直角棱鏡的重要特征,與常用的等邊三棱鏡不同,它是利用全反射特性制成的反射棱鏡.反射棱鏡經(jīng)常應(yīng)用在光譜儀器中,光源和觀察系統(tǒng)的角度可以固定,旋轉(zhuǎn)棱鏡,即改變?nèi)肷浣?,就能夠方便地觀察到不同波長(zhǎng)的譜線.

        式(7)可表示為

        n=2sini

        (9)

        根據(jù)式(9),只要測(cè)出入射角i,就可得到折射率n.用Matlab軟件畫出n-i曲線,如圖2所示.

        圖2 折射率與入射角關(guān)系曲線

        實(shí)驗(yàn)中,旋轉(zhuǎn)直角棱鏡,改變?nèi)肷浣蔷涂梢杂^察特定波長(zhǎng)的光線.所以這個(gè)裝置可以經(jīng)過校準(zhǔn),使得棱鏡旋轉(zhuǎn)度盤讀數(shù)直接用波長(zhǎng)標(biāo)定.

        3 直角棱鏡全反射時(shí)的最大入射角與最小入射角

        3.1 最大入射角

        圖3 最大入射角光路圖

        如圖3所示,當(dāng)入射光線入射到AB面上,發(fā)生折射,設(shè)入射角為i,折射角為r,折射光線又以入射角r0入射到AC面上,并恰好在AC面發(fā)生全反射.

        根據(jù)折射定律,在AB面上有sini=nsinr,在AC面上有nsinr0=1 ,由圖3可得

        ∠A=r+r0=90°

        (10)

        sini=nsinr=nsin(∠A-r0)=

        n(sin∠Acosr0-cos∠Asinr0)=

        此時(shí)的入射角稱為直角棱鏡在AC面上全反射時(shí)的最大入射角,記為imax,那么

        (11)

        用Matlab軟件畫出最大入射角與折射率的變化曲線,即imax-n曲線,如圖4所示.

        圖4 最大入射角與折射率的關(guān)系曲線

        如果入射光線大于最大入射角,則光線就不能在AC面上發(fā)生全反射,即要在AC面上產(chǎn)生全反射現(xiàn)象,入射角必須小于最大入射角.最大入射角隨折射率的增大而增大.當(dāng)折射率n≥1.41時(shí),最大入射角為90°,這對(duì)玻璃棱鏡和可見光而言是沒問題的.所以入射光線不論以多大的入射角入射,在AC面上總能發(fā)生全反射.這就是直角棱鏡的設(shè)計(jì)特點(diǎn).

        3.2 最小入射角

        下面再來討論BC面上的全反射問題.入射光線在AB面上入射,在AC面上全反射后,再入射到BC面上.當(dāng)入射角i減小時(shí),折射角r也會(huì)減小.由于r′=60°-r,r′會(huì)增加,如果r′增大到全反射角時(shí),即

        nsinr′=sini′=1

        (12)

        光線就會(huì)在BC面上發(fā)生全反射,沒有出射光線.此時(shí)的入射角稱為最小入射角imin,由式(2)和式(12)得

        sinimin=nsinr=nsin(60°-r′)=

        (13)

        用Matlab軟件畫出imin-n曲線,如圖5所示.最小入射角隨折射率的增大而增大.

        圖5 最小入射角與折射率的關(guān)系曲線

        綜上所述,要在BC面上得到出射光線,入射角必須小于最大入射角和大于最小入射角.實(shí)驗(yàn)中小于最大入射角一般是沒有問題的,只要注意大于最小入射角即可.

        直角棱鏡是具有60°恒偏向角的棱鏡,另外還有具有90°恒偏向角的Pellin-Broca棱鏡等[2].分析這些棱鏡的特性,對(duì)實(shí)驗(yàn)來說很有意義.

        參考文獻(xiàn)

        1 E·赫克特,A·贊斯著.秦克誠,詹達(dá)三,林福成譯. 光學(xué)(上冊(cè))(第1版).北京:高等教育出版社,1979 .252~254

        2 姚啟鈞.光學(xué)教程(第1版). 北京:高等教育出版社,1981 .203~204

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