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        MathCAD在連接體問(wèn)題研究中的應(yīng)用
        ——再議連接體中物體最大速度問(wèn)題

        2011-08-17 12:49:36姜付錦
        物理通報(bào) 2011年12期
        關(guān)鍵詞:物理

        姜付錦

        (武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430030)

        文獻(xiàn)[1]~[3]都是討論連接體中物體最大速度問(wèn)題;其中文獻(xiàn)[1]準(zhǔn)確、精煉地研究了這個(gè)問(wèn)題并且利用幾何畫板求得一個(gè)物體最大速度的位置,但是沒(méi)有求出兩個(gè)物體的最大速度及另一個(gè)物體取最大速度的位置;文獻(xiàn)[2]與文獻(xiàn)[3]非常系統(tǒng)和完整地研究了這個(gè)問(wèn)題中的加速度關(guān)系及兩個(gè)物體在取最大速度時(shí)的位置并且得到了最大速度的表達(dá)式,但計(jì)算過(guò)程非常簡(jiǎn)單不直觀、具體;文獻(xiàn)[2]不僅得到兩物體達(dá)到最大速度時(shí)的位置而且還通過(guò)理論證明了在此位置有最大速度的原因,但是文中的公式和描述性語(yǔ)言過(guò)多不便于讀者深刻領(lǐng)會(huì).現(xiàn)筆者通過(guò)MathCAD來(lái)研究此問(wèn)題,如果文中有不當(dāng)之處,請(qǐng)各位物理同仁批評(píng)指正.

        MathCAD是美國(guó)Mathsoft公司推出的一個(gè)交互式數(shù)學(xué)軟件,該軟件定位于向廣大教師、學(xué)生、工程人員提供一個(gè)兼?zhèn)湮淖?、?shù)學(xué)和圖形處理能力的集成工作環(huán)境,使他們能方便地準(zhǔn)備教案,完成作業(yè)或準(zhǔn)備科學(xué)分析報(bào)告.在輸入一個(gè)數(shù)學(xué)公式、方程組、矩陣之后,計(jì)算機(jī)能直接給出結(jié)果,而無(wú)需考慮中間計(jì)算過(guò)程.在計(jì)算機(jī)中輸入數(shù)學(xué)公式、符號(hào)和等式,可以很容易地算出代數(shù)、微積分、三角函數(shù)以及很多科技領(lǐng)域中的復(fù)雜表達(dá)式的值,并可顯示數(shù)學(xué)表格和圖形,通過(guò)對(duì)圖形結(jié)果的分析,使對(duì)問(wèn)題的理解更加形象.

        1 題目1

        如圖1所示,一輕繩通過(guò)無(wú)摩擦的定滑輪,一端與放在傾角為α=30°的光滑斜面上的質(zhì)量為m1的物體A相連,另一端與套在光滑豎直桿上質(zhì)量為m2的物體B相連.定滑輪M到豎直桿的距離為l=m,桿上N點(diǎn)與定滑輪的高度相同,當(dāng)物體B在距N點(diǎn)下方1m處時(shí),A和B恰好靜止,求

        (1)物體A和B的質(zhì)量之比;

        (2)將物體B從N點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放,物體B下滑過(guò)程中的最大速度大小.

        圖1

        1.1 分析

        第一問(wèn)的結(jié)果為=4.以物體B出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)豎直向下為正方向建立x軸,設(shè)某一時(shí)刻物體B下降位移為x,則物體A沿斜面移動(dòng)距離為y=.設(shè)繩子的拉力大小為F,與水平方向成θ角,則有以下微分方程組

        初始值為

        所以上式可化為

        1.2 利用MathCAD解微分方程

        利用MathCAD解微分方程,如圖2所示.

        圖2

        1.3 圖形分析

        在圖2(c)中v1i,v2i分別表示B物體與A物體的速度,Ti表示物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,表示繩子與水平方向的夾角.由圖可知,兩物體的運(yùn)動(dòng)都是周期性的,周期是3.6s.當(dāng)θ=20.01°,即t=0.4s時(shí),B物體第一次達(dá)到最大速度2.358m/s;當(dāng)θ=36.452°,即t=0.7s時(shí),A物體第一次達(dá)到最大速度1.130 8m/s;兩物體達(dá)到最大速度時(shí)的位置與時(shí)間都不同.這與文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[3]中的結(jié)論是一致的.

        2 題目2

        如圖3所示,一段足夠長(zhǎng)輕繩跨過(guò)兩個(gè)等大等高的定滑輪后,兩端各有一個(gè)質(zhì)量為m的物體A和B,系統(tǒng)開(kāi)始處于靜止?fàn)顟B(tài).此時(shí),在繩子的中點(diǎn)掛一個(gè)質(zhì)量也為m的物體C,已知兩定滑輪的間距為2L,忽略滑輪的摩擦力和空氣阻力,設(shè)重力加速度為g.試分析物體C在什么位置取最大速度及最大速度為多少?

        圖3

        2.1 通常分析

        當(dāng)DC,EC夾角為120°時(shí),系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),物體C有最大速度,設(shè)最大速度為vm.由運(yùn)動(dòng)的合成與分解知識(shí)可知物體A,B的速度為vmcos 60°,設(shè)物體C下降的高度為h,則有h=;物體A,B上升的高度為.由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律可知

        2.2 正確分析

        初始值為

        所以上式可化為

        2.3 利用MathCAD解這個(gè)微分方程

        用MathCAD解該方程,如圖4所示.

        圖4

        2.4 圖形分析

        設(shè)三個(gè)物體的質(zhì)量均為m=1kg,重力加速度g=10m/s2,兩定滑輪的間距2L=20m,v1i,v2i分別為物體C和物體A(B)的速度,Ti,分別為時(shí)間及繩子與水平方向的夾角.由圖4(c)可知,當(dāng)時(shí)間為1.033 3s時(shí),物體C第一次達(dá)到最大速度vm=6.211m/s,繩子與水平方向的夾角為22.921°;當(dāng)時(shí)間為1.633 3s時(shí),物體A(B)第一次達(dá)到最大速度3.238 6m/s,繩子與水平向上方向的夾角為38.038°;三個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的周期為7.433s.這與文獻(xiàn)[2]中的結(jié)論是一致的.

        從以上的應(yīng)用可以發(fā)現(xiàn)MathCAD具有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)運(yùn)算功能,利用它可以進(jìn)行復(fù)雜的理論計(jì)算和創(chuàng)作設(shè)計(jì)物理教學(xué)與研究,也可以用來(lái)精確模擬各種物理現(xiàn)象,把物理概念、物理方程及其解答有機(jī)結(jié)合起來(lái),達(dá)到“形象思維與抽象思維的統(tǒng)一”.用MathCAD研究物理問(wèn)題,效率很高,操作簡(jiǎn)便,避開(kāi)了復(fù)雜、重復(fù)、容易出錯(cuò)的數(shù)學(xué)計(jì)算和耗費(fèi)精力的計(jì)算機(jī)編程,把精力和智慧集中在物理問(wèn)題的本質(zhì)部分.運(yùn)用它可以在計(jì)算機(jī)上開(kāi)展實(shí)驗(yàn),尤如“在智力游戲的同時(shí),探索極其復(fù)雜的原理”.這里既有數(shù)學(xué)和物理,也有藝術(shù).

        1 何征宇.用“幾何畫板”的函數(shù)功能研究物理疑難問(wèn)題.物理通報(bào),2010(4):65~66

        2 孫林燕,黃振平.輕繩連接體中的加速度問(wèn)題.物理通報(bào),2010(5):70~71

        3 易行.談?wù)劤浞职l(fā)揮習(xí)題的“物理營(yíng)養(yǎng)”.物理通報(bào),2010(6):56~58

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