齊立哲 陳 磊 王 偉 余蕾斌 贠 超

(①北京航空航天大學(xué)機(jī)器人研究所，北京 100083;②上海飛機(jī)制造有限公司，上海 200436)

一般工業(yè)機(jī)器人重復(fù)定位精度很高，但絕對定位精度很差。為了提高機(jī)器人的性能及拓展工業(yè)機(jī)器人的應(yīng)用范圍，需要對機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型的參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定來降低它的絕對定位誤差。機(jī)器人標(biāo)定一般分4個步驟進(jìn)行:建模、測量、辨識與補(bǔ)償［1］。為了測量出機(jī)器人在其工作空間內(nèi)的各個測量點(diǎn)的定位誤差，需要對測量靶標(biāo)中心在機(jī)器人末端的位置(工具坐標(biāo)系)及機(jī)器人基坐標(biāo)系與測量設(shè)備坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣(基坐標(biāo)系)進(jìn)行標(biāo)定，以將直接從機(jī)器人中獲取的末端法蘭盤中心測量數(shù)據(jù)與測量設(shè)備測得的靶標(biāo)中心的數(shù)據(jù)統(tǒng)一到一個坐標(biāo)系下。因此在工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量過程中涉及到機(jī)器人工具坐標(biāo)系及基坐標(biāo)系標(biāo)定的問題。

針對機(jī)器人工具坐標(biāo)系的標(biāo)定，李瑞峰等人給出了標(biāo)準(zhǔn)試件標(biāo)定法、固定基準(zhǔn)測試點(diǎn)法及變姿態(tài)直接標(biāo)定法等方法，實(shí)現(xiàn)了工具坐標(biāo)系位置的標(biāo)定［2］，牛雪娟等人提出三點(diǎn)五步法并采用奇異值分解的方法實(shí)現(xiàn)了工具坐標(biāo)系的位姿標(biāo)定［3］，Juhaa等人實(shí)現(xiàn)了工具坐標(biāo)系位姿的標(biāo)定［4］，湯青等人提出了一個通用的工具坐標(biāo)系標(biāo)定公式［5］;同時目前商用工業(yè)機(jī)器人都給出了工程化的工具坐標(biāo)系標(biāo)定方法，如Fanuc機(jī)器人采用“三點(diǎn)法”及“六點(diǎn)法”實(shí)現(xiàn)了工具坐標(biāo)系位置及位姿的標(biāo)定。

這些方法的核心思想是采用了一個約束點(diǎn)，增加一個輔助工具，同時需要人工手動示教機(jī)器人以不同的姿態(tài)使待標(biāo)定的工具點(diǎn)接近約束點(diǎn)，而且標(biāo)定精度除了受機(jī)器人定位誤差的影響外，還受示教精度的影響。本文根據(jù)工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)的特點(diǎn)，采用基于距離約束的方法實(shí)現(xiàn)了工具坐標(biāo)系的自動化標(biāo)定過程;分步實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人基坐標(biāo)系的自動化標(biāo)定過程。同時建立了基于激光跟蹤儀的工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)，并根據(jù)測量數(shù)據(jù)具體標(biāo)定出了涉及到的各個坐標(biāo)系，驗(yàn)證了算法的有效性，為工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量及補(bǔ)償打下了基礎(chǔ)。涉及到的坐標(biāo)系的標(biāo)定過程，無需輔助工具。不僅操作簡單，而且還可以排除人為操作因素的影響。

1 工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)描述

如圖1所示，工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)由測量設(shè)備、測量靶標(biāo)及工業(yè)機(jī)器人組成。圖中P表示待測量的靶標(biāo)中心，Base為機(jī)器人基坐標(biāo)系，Tool0為機(jī)器人法蘭盤坐標(biāo)系，Measure為測量設(shè)備坐標(biāo)系。

在此工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)中，測量設(shè)備可以直接測量出靶標(biāo)中心P在Measure坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，同時機(jī)器人本身也可以作為測量裝置獲得被機(jī)器人抓著的靶標(biāo)中心P在機(jī)器人Base坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，兩者進(jìn)行坐標(biāo)變換便可以統(tǒng)一到同一個坐標(biāo)系下，進(jìn)而進(jìn)行比較獲得工業(yè)機(jī)器人在其工作空間內(nèi)各個測量點(diǎn)的位置誤差。因此工業(yè)機(jī)器人的定位誤差測量系統(tǒng)的測量過程數(shù)學(xué)模型可表示為

其中:ΔP為工業(yè)機(jī)器人測量點(diǎn)P的位置誤差;PM為測量點(diǎn)P在Measure坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(由測量設(shè)備直接讀取);BTM為機(jī)器人Base坐標(biāo)系與Measure坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換矩陣(未知量);T0TB為工業(yè)機(jī)器人Tool0坐標(biāo)系在機(jī)器人Base坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換矩陣(可通過機(jī)器人示教器直接讀取);PT0為P點(diǎn)為Tool0坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(未知量)。

由此可知，為了獲得工業(yè)機(jī)器人在其工作空間內(nèi)各個測量點(diǎn)的定位誤差，需要對BTM及PT0進(jìn)行預(yù)先標(biāo)定。

2 測量系統(tǒng)中相關(guān)坐標(biāo)系標(biāo)定算法

2.1 測量系統(tǒng)中工具坐標(biāo)系標(biāo)定

在機(jī)器人誤差測量系統(tǒng)中，測量靶標(biāo)中心P在機(jī)器人Base坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可表示為:

其中，N為在機(jī)器人工作空間內(nèi)的測量位置數(shù)。任取機(jī)器人兩個不同測量位置m、n，測量坐標(biāo)偏差為

同時，靶標(biāo)中心P在Measure坐標(biāo)下的坐標(biāo)偏差為

從而有:

由于T0、T0可以從機(jī)器人示教器中直接讀取到，、可以由從測量設(shè)備中測量獲得，通過上式便可以計算出靶標(biāo)中心P在機(jī)器人Tool0坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，即可標(biāo)定出靶標(biāo)中心P在機(jī)器人末端的位置，從而可實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)中的工具坐標(biāo)系的標(biāo)定。

2.2 測量系統(tǒng)中基坐標(biāo)系的標(biāo)定

工業(yè)機(jī)器人Base坐標(biāo)系在測量設(shè)備Measure坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換矩陣可表示為:

眾所周知，對于機(jī)器人在空間中任意兩個不同位置，雖然它們在機(jī)器人坐標(biāo)系和測量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值是不同的，但是這兩位置在兩坐標(biāo)中的距離長度是相同的［6］，即:

考慮到工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)的特殊性，可將機(jī)器人基坐標(biāo)系的標(biāo)定分步進(jìn)行，即方向向量及位置向量分別標(biāo)定。

(1)機(jī)器人基坐標(biāo)系的方向向量標(biāo)定:控制機(jī)器人抓著測量靶標(biāo)，沿自身Base坐標(biāo)系各個軸運(yùn)動，并記錄測量設(shè)備的數(shù)據(jù)便可得到Base坐標(biāo)系的各個坐標(biāo)軸在Measure坐標(biāo)系下的方向向量，如下:

(2)機(jī)器人基坐標(biāo)系的位置標(biāo)定:在工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)中，測量靶標(biāo)中心的坐標(biāo)滿足以下關(guān)系:

式(9)變形可得式(10):

其中，pM可由激光跟蹤儀測得;經(jīng)過測量靶標(biāo)中心p位置的標(biāo)定后，pB也可知道。因此通過上式便可計算出Base坐標(biāo)系原點(diǎn)在Measure坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值BpM。

機(jī)器人基坐標(biāo)系的X、Y及Z軸在測量設(shè)備坐標(biāo)系的方向向量及原點(diǎn)標(biāo)定出來后，便實(shí)現(xiàn)了測量系統(tǒng)中基坐標(biāo)系的標(biāo)定，即有:

3 實(shí)驗(yàn)與標(biāo)定過程實(shí)現(xiàn)

激光跟蹤儀作為標(biāo)定環(huán)節(jié)中的測量工具，因其具有配置簡單，適合應(yīng)用于工業(yè)現(xiàn)場標(biāo)定場合等優(yōu)勢，越來越受到機(jī)器人廠家及研究學(xué)者的青睞［7］。因此，在工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)中的測量設(shè)備選擇了激光跟蹤儀來進(jìn)行標(biāo)定研究。

建立的工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)如圖2所示，它包含被標(biāo)定工業(yè)機(jī)器人、激光跟蹤儀及跟蹤靶標(biāo)。工業(yè)機(jī)器人采用ABB IRB 4400機(jī)器人，此機(jī)器人是一種機(jī)身緊湊的機(jī)器人，承受載荷最高可達(dá)60 kg，具有較高的重復(fù)定位精度，可廣泛應(yīng)用于切割、去毛刺、清洗、噴涂、研磨、拋光和物料搬運(yùn)等場合，通過對其絕對定位誤差進(jìn)行標(biāo)定后，可以大大拓展其應(yīng)用領(lǐng)域。誤差測量設(shè)備采用FARO ION型激光跟蹤儀，該測量設(shè)備具有測量精度高、操作簡單等優(yōu)點(diǎn)，可以直接測得機(jī)器人手臂上靶標(biāo)在其坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

3.1 標(biāo)定數(shù)據(jù)的采集

由式(6)可知，為了標(biāo)定出測量靶標(biāo)工具坐標(biāo)系，至少需要測量機(jī)器人工作空間內(nèi)的3個點(diǎn);由式(8)和(9)可知，為了標(biāo)定出機(jī)器人基坐標(biāo)系在激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，至少需要在機(jī)器人每個坐標(biāo)軸上采集2個點(diǎn)，即總計至少需要采集6個測量點(diǎn)。為了充分表現(xiàn)機(jī)器人的特性，對于工具坐標(biāo)系標(biāo)定試驗(yàn)過程采集了12個測量點(diǎn)(在機(jī)器人工作空間內(nèi)均勻采集);對于基坐標(biāo)系標(biāo)定試驗(yàn)過程采集了30個測量點(diǎn)(每個坐標(biāo)軸上取了10個點(diǎn))，數(shù)據(jù)采集的測量點(diǎn)的分布情況如圖3所示。

3.2 工具坐標(biāo)系標(biāo)定過程實(shí)現(xiàn)與分析

雖然采集了12個測量點(diǎn)作為工具坐標(biāo)系標(biāo)定的輸入數(shù)據(jù)，但實(shí)際標(biāo)定可選取其中的部分?jǐn)?shù)據(jù)使用，這樣就可以標(biāo)定多次，然后對多次標(biāo)定的結(jié)果進(jìn)行比較分析，可以相互驗(yàn)證標(biāo)定效果。

根據(jù)公式(5)建立的非線性方程為

其中假設(shè)每次用來標(biāo)定工具坐標(biāo)系的測量點(diǎn)的個數(shù)為N。求解工具坐標(biāo)系時可建立的非線性方程的個數(shù)M為

綜合式(12)及(13)便可列出M維的非線性方程組，然后通過最小二乘法求解出工具坐標(biāo)系(x，y，z)。

將采集到的12個測量點(diǎn)數(shù)據(jù)分成10組分別標(biāo)定，即首先選擇3個不同測量點(diǎn)作為一組，可有4組標(biāo)定數(shù)據(jù)來進(jìn)行標(biāo)定;然后選擇4個不同測量點(diǎn)作為一組，可有3組標(biāo)定數(shù)據(jù)來進(jìn)行標(biāo)定;接著選擇6個不同測量點(diǎn)作為一組，可有2組標(biāo)定數(shù)據(jù)來進(jìn)行標(biāo)定;最后用12個測量點(diǎn)作為一組來進(jìn)行標(biāo)定。從而可標(biāo)定出10個工具坐標(biāo)系，標(biāo)定結(jié)果如表1所示。

表1 工具坐標(biāo)系標(biāo)定結(jié)果

從標(biāo)定結(jié)果看，雖然求解的非線性方程組中只有3個未知數(shù)，但由于機(jī)器人定位誤差的存在，導(dǎo)致非線性方程組的系數(shù)誤差較大。因此，非線性方程組的維數(shù)越小，求解的結(jié)果越不穩(wěn)定;同時，穩(wěn)定的標(biāo)定結(jié)果也因?yàn)椴杉瘮?shù)據(jù)時機(jī)器人的位置不同，而標(biāo)定結(jié)果也有微小差別。

3.3 基坐標(biāo)系標(biāo)定過程實(shí)現(xiàn)與分析

(1)基坐標(biāo)系方向向量的求解

通過數(shù)據(jù)采集環(huán)節(jié)，在機(jī)器人每個坐標(biāo)軸上都選取了10個測量點(diǎn)。根據(jù)公式(8)求解基坐標(biāo)系方向向量的思想，可以轉(zhuǎn)換成根據(jù)多個空間點(diǎn)擬合空間直線后，求解直線的方向向量的問題。擬合出的3條直線的方向向量就是機(jī)器人基坐標(biāo)系3個坐標(biāo)軸在測量設(shè)備坐標(biāo)系下的方向向量。為了簡化空間直線的擬合過程，這里可采用分步最小二乘法求解，首先擬合空間直線在XOZ及YOZ平面投影的直線方程，這兩條直線方程在O－XYZ中又是兩個特殊的平面方程，然后求解兩個平面的交線就是我們要求的空間直線［8］。求解出了直線方程，便可以求解出坐標(biāo)軸的方向向量。根據(jù)這種思想擬合出來的一個軸的直線方程為

(2)基坐標(biāo)系位置的求解

求解出來了基坐標(biāo)系的方向向量后，根據(jù)公式(10)便可以由每個測量點(diǎn)計算出一個基坐標(biāo)系的位置，綜合多個測量數(shù)據(jù)，將多個位置量的均值作為最后基坐標(biāo)系的位置值，即:

(3)基坐標(biāo)系標(biāo)定結(jié)果

通過上述公式，根據(jù)采集的30組數(shù)據(jù)，標(biāo)定出的基坐標(biāo)系見表2。

表2 基坐標(biāo)系標(biāo)定結(jié)果 mm

從標(biāo)定結(jié)果看，由于機(jī)器人定位誤差的存在，導(dǎo)致基坐標(biāo)系位置標(biāo)定誤差較大。

4 結(jié)語

根據(jù)工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)的特點(diǎn)，推導(dǎo)了工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)中涉及到的工具坐標(biāo)系及基坐標(biāo)系的自動化標(biāo)定公式，建立了基于激光跟蹤儀的工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量系統(tǒng)，并根據(jù)測量數(shù)據(jù)具體標(biāo)定出了涉及到的各個坐標(biāo)系，驗(yàn)證了算法的有效性，為工業(yè)機(jī)器人定位誤差測量及補(bǔ)償打下了基礎(chǔ)。

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