陸偉鋒，唐厚興

0 引言

多屬性決策問題的決策理論與方法目前已成為決策科學(xué)、系統(tǒng)工程等領(lǐng)域的熱點(diǎn)。在這些決策方法中，TOPSIS方法因?yàn)楹唵?、直觀，是人們最常使用的多目標(biāo)評價(jià)方法之一。然而普通的TOPSIS方法存在許多缺陷，尤其是在貼近度計(jì)算公式上，如胡永宏(2002)就指出TOPSIS法中如果存在一些特殊樣本點(diǎn)時(shí)，將可能導(dǎo)致排序不合理的情況，并通過引入一個(gè)虛擬最劣點(diǎn)來進(jìn)行改進(jìn)貼近度計(jì)算公式[1]。邱根勝、鄒水木、劉日華（2005）指出傳統(tǒng)TOPSIS法的貼近度計(jì)算公式存在問題，導(dǎo)致出現(xiàn)排序錯(cuò)誤，基于靠近理想點(diǎn)和遠(yuǎn)離負(fù)理想點(diǎn)這兩個(gè)基準(zhǔn),他們定義了一種新的相對貼近度的計(jì)算公式來解決這個(gè)問題[2]。而付巧峰(2008)提出用多目標(biāo)規(guī)劃來確定權(quán)重，簡化了正負(fù)理想方案的計(jì)算,提出了一種更易計(jì)算的與原 TOPSIS法相對接近度等價(jià)的新的相對接近度[3]。陳偉（2005）也指出傳統(tǒng)的TOPSIS法在實(shí)際應(yīng)用中容易產(chǎn)生逆序的現(xiàn)象，分析了逆序產(chǎn)生的主要原因,并提出了一種改進(jìn)的方法。不僅能消除逆序的現(xiàn)象,而且還能正確反映指標(biāo)權(quán)重對決策結(jié)果的影響[4]。

從已研究的內(nèi)容可以看出，對傳統(tǒng)TOPSIS法的改進(jìn)，主要集中在三個(gè)方面：一是正負(fù)理想點(diǎn)的改進(jìn)；二是指標(biāo)權(quán)重的確定；三是貼近度計(jì)算公式的確定。但是很少有學(xué)者從這三個(gè)方面進(jìn)行綜合的改進(jìn)，據(jù)此，本文將首先分析TOPSIS法的各種缺陷，并給出相應(yīng)的改進(jìn)措施；其次給出改進(jìn)后的一般決策過程；最后通過一個(gè)示例比較改進(jìn)后的方法是否有效。

1 TOPSIS法存在的問題及其改進(jìn)

1.1 TOPSIS法的一般求解步驟

用理想解求解多屬性決策問題的概念簡單，它借助多屬性問題中的理想解和和負(fù)理想解來給方案排序。其基本步驟如下：

(1)用向量規(guī)范化的方法求得規(guī)范決策矩陣。設(shè)多屬性決策問題的決策矩陣A={aij},規(guī)范化決策矩陣R={rij},則有

(2)構(gòu)成加權(quán)規(guī)范矩陣X={xij}。假設(shè)屬性權(quán)重已有決策者給出ω=(ω1,ω2,…,ωn)T，則

(3)確定正理想解x*和負(fù)理想解x0。設(shè)正理想解x*的第 j個(gè)屬性值為x*j，負(fù)理想解x0第j個(gè)屬性值為x0j，則有

(4)計(jì)算各方案到理想解與負(fù)理想解的距離。備選方案xi到正理想解的距離為:

備選方案xi到負(fù)理想解的距離為:

(5)計(jì)算各方案的綜合評價(jià)指數(shù)

(6)按照C*i的值由大到小排列方案的優(yōu)劣次序。

1.2 TOPSIS存在的問題及其改進(jìn)方法

盡管TOPSIS法比一般加權(quán)求和法更具合理性，但自身也存在一些不足，主要表現(xiàn)在出現(xiàn)逆序和無法絕對排序以及權(quán)重的設(shè)定不合理等方面。

（1）正負(fù)理想點(diǎn)的不合理選擇導(dǎo)致的逆序問題及其解決

圖1

在圖1中，x*和x0分別是正負(fù)理想點(diǎn)，x1和x2相比，由于兩者與正負(fù)理想點(diǎn)的距離相同，因此方案1和2的相對優(yōu)劣性應(yīng)該相同。但是按照公式(1)、(2)對正負(fù)理想點(diǎn)的選擇來看，如果此時(shí)增加了一個(gè)新的備選方案，導(dǎo)致負(fù)理想點(diǎn)移動到A點(diǎn)，很明顯此時(shí)x2?x1，相反如果負(fù)理想點(diǎn)移動到B點(diǎn)，則有x2?x1。這必然將導(dǎo)致評價(jià)結(jié)果的不穩(wěn)定性，即會出現(xiàn)逆序問題。究其原因是正、負(fù)理想點(diǎn)的選擇是相對的，而非絕對的。如果能夠?qū)⒄?fù)理想點(diǎn)固定，則將能消除逆序問題。我們通過如下公式對屬性值進(jìn)行規(guī)范化處理：

通過這樣的處理后，rij∈[0,1]，且其值越大越好，因此絕對正負(fù)理想解即為x*=[1,1,…,1]Tn，x0=(0,0,…,0)Tn。由此我們可發(fā)現(xiàn)，不管其他方案的增減，方案x1,和x2的正負(fù)距離是保持不變的，因此綜合評價(jià)指數(shù)也是不變，從而保證評價(jià)的穩(wěn)定性。

（2）權(quán)重的設(shè)定不合理及其解決

一種情形是由于在原始數(shù)據(jù)上人為地乘上權(quán)系數(shù),從而改變了原決策數(shù)據(jù)間的關(guān)系結(jié)構(gòu),而使排序結(jié)果產(chǎn)生逆序。還有學(xué)者認(rèn)為TOPSIS方法的權(quán)重是決策者已經(jīng)設(shè)定的，主觀性強(qiáng)而缺乏客觀性，導(dǎo)致評價(jià)結(jié)果不可靠。從幾何角度出發(fā)，對屬性權(quán)重未給定情形下的多屬性決策問題，本文采用如下方式確定權(quán)重。

將m個(gè)備選方案在第j個(gè)屬性下的值看成一個(gè)向量

則該屬性的權(quán)重為

（3）相對距離的度量不當(dāng)導(dǎo)致的逆序問題及其解決；

圖2

圖2 中，x0是負(fù)理想解，x*是正理想解，x1,x2是備選方案。備選方案與正負(fù)理想解的距離分別是d*1,d01；d*2,d02。直線AE是正負(fù)理想點(diǎn)連線的垂線，h1,h2分別是H點(diǎn)到正負(fù)理想點(diǎn)的距離。按照逼近理想點(diǎn)方法的思想，無論直線AE如何沿著正負(fù)理想解連線移動（x1,x2的在直線AE上的相對位置不變），因?yàn)閐*1＞d*2，所以總有x1?x2。然而文獻(xiàn)[1]已經(jīng)證明，根據(jù)式(3)，C*1,C*2的大小取決于h1,h2的長度比，即當(dāng)h2＜h1時(shí),x1?x2；而當(dāng)h2＞h1，x1?x2；當(dāng)h2=h1，x1～x2。這說明方案的排序存在逆序問題。

根據(jù)公式(3)有

則有

我們發(fā)現(xiàn)如果備選方案x1,x2樣本點(diǎn)落在正負(fù)理想解的連線上，那么如果d*1＞d*2，則必有d01＜d02，此時(shí)d*1d01＞d*2d02，即C*1＜C*2，所以x1?x2。反之依然。只要保證x1,x2相對位置不變，則不論如何移動，結(jié)果都是一致的。在這種情形下，圖示法和利用公式(3)計(jì)算的結(jié)果是一致的。由此對比分析發(fā)現(xiàn)，普通TOPSIS方法利用式(3)計(jì)算綜合評價(jià)指數(shù)是有局限性的。本文將利用投影方法對貼近度公式進(jìn)行改進(jìn)。

正負(fù)理想點(diǎn)已經(jīng)固定為x*=[1,1,…,1]Tn，x0=(0,0,…,0)Tn，從幾何的視角看，正負(fù)理想點(diǎn)的連線實(shí)際上就是正理想點(diǎn)向量，本文稱之為參照向量。每個(gè)備選方案也可以看成是空間的一個(gè)向量，如果每個(gè)待選向量與參照向量越接近，則該待選方案是最好的。待選方案向量的?？梢院饬颗c負(fù)理想點(diǎn)的距離，待選方案向量與參照向量所形成的夾角可以衡量與正理想點(diǎn)的距離，因此通過把模的大小與夾角余弦值結(jié)合起來考慮全面反映了向量之間的接近程度，故可以采用如下投影方法：

設(shè)α=（α1，α2，…，αn）和β=(β1,β2,…,βn)是兩個(gè)向量，則向量夾角余弦為：

則有

為α在β上的投影。一般的，Pr jβ(α)越大，表示向量α和β越接近。令

顯然，Pr jx*(xi)越大，表明方案xi越貼近正理想點(diǎn)且遠(yuǎn)離負(fù)理想點(diǎn)，方案xi越優(yōu)。

3 改進(jìn)的決策方法計(jì)算步驟

設(shè)對于某一多屬性決策問題，屬性權(quán)重信息已知，ω=(ω1,ω2,…,ωn) ωj≥0,。 屬 性 集 為U={u1,u2,…,un}，方案集為X={x1,x2,…,xm}，決策矩陣為A=(aij)m×n。A經(jīng)過規(guī)范化處理后，得到規(guī)范化矩陣

(1)對屬性進(jìn)行規(guī)范化處理

(2)構(gòu)建加權(quán)規(guī)范矩陣Y={yij}

(3)確定正負(fù)理想點(diǎn)

(4)計(jì)算各方案與正理想點(diǎn)的投影

(5)按照投影值Pr jy*(yi)(i∈M)大小對方案集 X={x1,x2,…,xm}進(jìn)行排序。

4 示例分析

我們通過構(gòu)造一個(gè)示例，對本文所述方法進(jìn)行比較分析。其中指標(biāo)好轉(zhuǎn)率、床位周轉(zhuǎn)次數(shù)和平均病床工作日屬于效益型指標(biāo)，平均費(fèi)用屬于成本型指標(biāo)，假定各屬性權(quán)重相等為0.25。如下表1所示，我們所要確定的是哪個(gè)年度醫(yī)院的效益最好。

在表1中，1997*表示增加了一年的樣本數(shù)據(jù)，即相當(dāng)于增加了一個(gè)備選方案。兩種數(shù)據(jù)集分別成為數(shù)據(jù)集1（D1）和數(shù)據(jù)集2（D2）我們分別采用改進(jìn)前和改進(jìn)后的TOPSIS法來比較分析，當(dāng)決策備選方法出現(xiàn)變動的時(shí)候?qū)Q策結(jié)果產(chǎn)生的影響，即決策方法是否具有較好的穩(wěn)定性和一致性。計(jì)算結(jié)果如下。

改進(jìn)前TOPSIS計(jì)算結(jié)果：

D1：方案綜合屬性值為[0.6938,0.7344,0.5155,0.2324,0.8919,0.8323,0.7697];方案排序：

D2：方案綜合屬性值[0.9326,0.9197,0.8879,0.8890,0.9690,0.9527,0.9320,0.1053];方案排序：

表1 某院1990～1996年幾項(xiàng)醫(yī)院工作質(zhì)量指標(biāo)情況

對不同的兩個(gè)年份而言，不管備選方案怎么變化，它們的相對優(yōu)劣順序不應(yīng)該變化。而由該結(jié)果發(fā)現(xiàn)此方法存在逆序。

改進(jìn)后的TOPSIS計(jì)算結(jié)果：

D1：方案綜合屬性值 [0.4582,0.4625,0.4300,0.4327,0.4917,0.4749,0.4691];方案排序：

D2：方案綜合屬性值[0.4582,0.4625,0.4300,0.4327,0.4917,0.4749,0.4691,0.3917];方案排序：

該結(jié)果沒有出現(xiàn)逆序現(xiàn)象。由此可見，改進(jìn)后的方法比原有方法更有效，可以消除逆序現(xiàn)象，使得評價(jià)方法更客觀、更具有一致性和穩(wěn)定性。

5 結(jié)論

在多屬性決策中，TOPSIS法是最簡單、直接，也是應(yīng)用非常廣的一種方法，然而其本身存在一定的缺陷。本文提出從規(guī)范化數(shù)據(jù)矩陣、確定絕對正負(fù)理想點(diǎn)、求解客觀權(quán)重、利用投影設(shè)定新的貼近度公式四個(gè)方面改進(jìn)TOPSIS方法，并通過示例表明該改進(jìn)方法比傳統(tǒng)方法具有決策穩(wěn)定性、一致性的優(yōu)點(diǎn)。

[1]胡永宏.對TOPSIS法用于綜合評價(jià)的改進(jìn)[J].數(shù)學(xué)的理論與實(shí)踐，2002,32(4).

[2]邱根勝，鄒水木，劉日華.多指標(biāo)決策TOPSIS法的一種改進(jìn)[J].南昌航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005,19(3).

[3]付巧峰.關(guān)于TOPSIS法的研究[J].西安科技大學(xué)學(xué)報(bào),2008,28(1).

[4]陳偉.關(guān)于TOPSIS法應(yīng)用中的逆序問題及消除的方法[J].運(yùn)籌與管理，2005,14(3).