陸偉鋒,唐厚興
多屬性決策問題的決策理論與方法目前已成為決策科學、系統(tǒng)工程等領(lǐng)域的熱點。在這些決策方法中,TOPSIS方法因為簡單、直觀,是人們最常使用的多目標評價方法之一。然而普通的TOPSIS方法存在許多缺陷,尤其是在貼近度計算公式上,如胡永宏(2002)就指出TOPSIS法中如果存在一些特殊樣本點時,將可能導致排序不合理的情況,并通過引入一個虛擬最劣點來進行改進貼近度計算公式[1]。邱根勝、鄒水木、劉日華(2005)指出傳統(tǒng)TOPSIS法的貼近度計算公式存在問題,導致出現(xiàn)排序錯誤,基于靠近理想點和遠離負理想點這兩個基準,他們定義了一種新的相對貼近度的計算公式來解決這個問題[2]。而付巧峰(2008)提出用多目標規(guī)劃來確定權(quán)重,簡化了正負理想方案的計算,提出了一種更易計算的與原 TOPSIS法相對接近度等價的新的相對接近度[3]。陳偉(2005)也指出傳統(tǒng)的TOPSIS法在實際應用中容易產(chǎn)生逆序的現(xiàn)象,分析了逆序產(chǎn)生的主要原因,并提出了一種改進的方法。不僅能消除逆序的現(xiàn)象,而且還能正確反映指標權(quán)重對決策結(jié)果的影響[4]。
從已研究的內(nèi)容可以看出,對傳統(tǒng)TOPSIS法的改進,主要集中在三個方面:一是正負理想點的改進;二是指標權(quán)重的確定;三是貼近度計算公式的確定。但是很少有學者從這三個方面進行綜合的改進,據(jù)此,本文將首先分析TOPSIS法的各種缺陷,并給出相應的改進措施;其次給出改進后的一般決策過程;最后通過一個示例比較改進后的方法是否有效。
用理想解求解多屬性決策問題的概念簡單,它借助多屬性問題中的理想解和和負理想解來給方案排序。其基本步驟如下:
(1)用向量規(guī)范化的方法求得規(guī)范決策矩陣。設(shè)多屬性決策問題的決策矩陣A={aij},規(guī)范化決策矩陣R={rij},則有
(2)構(gòu)成加權(quán)規(guī)范矩陣X={xij}。假設(shè)屬性權(quán)重已有決策者給出ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,則
(3)確定正理想解x*和負理想解x0。設(shè)正理想解x*的第 j個屬性值為x*j,負理想解x0第j個屬性值為x0j,則有
(4)計算各方案到理想解與負理想解的距離。備選方案xi到正理想解的距離為:
備選方案xi到負理想解的距離為:
(5)計算各方案的綜合評價指數(shù)
(6)按照C*i的值由大到小排列方案的優(yōu)劣次序。
盡管TOPSIS法比一般加權(quán)求和法更具合理性,但自身也存在一些不足,主要表現(xiàn)在出現(xiàn)逆序和無法絕對排序以及權(quán)重的設(shè)定不合理等方面。
(1)正負理想點的不合理選擇導致的逆序問題及其解決
圖1
在圖1中,x*和x0分別是正負理想點,x1和x2相比,由于兩者與正負理想點的距離相同,因此方案1和2的相對優(yōu)劣性應該相同。但是按照公式(1)、(2)對正負理想點的選擇來看,如果此時增加了一個新的備選方案,導致負理想點移動到A點,很明顯此時x2?x1,相反如果負理想點移動到B點,則有x2?x1。這必然將導致評價結(jié)果的不穩(wěn)定性,即會出現(xiàn)逆序問題。究其原因是正、負理想點的選擇是相對的,而非絕對的。如果能夠?qū)⒄摾硐朦c固定,則將能消除逆序問題。我們通過如下公式對屬性值進行規(guī)范化處理:
通過這樣的處理后,rij∈[0,1],且其值越大越好,因此絕對正負理想解即為x*=[1,1,…,1]Tn,x0=(0,0,…,0)Tn。由此我們可發(fā)現(xiàn),不管其他方案的增減,方案x1,和x2的正負距離是保持不變的,因此綜合評價指數(shù)也是不變,從而保證評價的穩(wěn)定性。
(2)權(quán)重的設(shè)定不合理及其解決
一種情形是由于在原始數(shù)據(jù)上人為地乘上權(quán)系數(shù),從而改變了原決策數(shù)據(jù)間的關(guān)系結(jié)構(gòu),而使排序結(jié)果產(chǎn)生逆序。還有學者認為TOPSIS方法的權(quán)重是決策者已經(jīng)設(shè)定的,主觀性強而缺乏客觀性,導致評價結(jié)果不可靠。從幾何角度出發(fā),對屬性權(quán)重未給定情形下的多屬性決策問題,本文采用如下方式確定權(quán)重。
將m個備選方案在第j個屬性下的值看成一個向量
則該屬性的權(quán)重為
(3)相對距離的度量不當導致的逆序問題及其解決;
圖2
圖2 中,x0是負理想解,x*是正理想解,x1,x2是備選方案。備選方案與正負理想解的距離分別是d*1,d01;d*2,d02。直線AE是正負理想點連線的垂線,h1,h2分別是H點到正負理想點的距離。按照逼近理想點方法的思想,無論直線AE如何沿著正負理想解連線移動(x1,x2的在直線AE上的相對位置不變),因為d*1>d*2,所以總有x1?x2。然而文獻[1]已經(jīng)證明,根據(jù)式(3),C*1,C*2的大小取決于h1,h2的長度比,即當h2<h1時,x1?x2;而當h2>h1,x1?x2;當h2=h1,x1~x2。這說明方案的排序存在逆序問題。
根據(jù)公式(3)有
則有
我們發(fā)現(xiàn)如果備選方案x1,x2樣本點落在正負理想解的連線上,那么如果d*1>d*2,則必有d01<d02,此時d*1d01>d*2d02,即C*1<C*2,所以x1?x2。反之依然。只要保證x1,x2相對位置不變,則不論如何移動,結(jié)果都是一致的。在這種情形下,圖示法和利用公式(3)計算的結(jié)果是一致的。由此對比分析發(fā)現(xiàn),普通TOPSIS方法利用式(3)計算綜合評價指數(shù)是有局限性的。本文將利用投影方法對貼近度公式進行改進。
正負理想點已經(jīng)固定為x*=[1,1,…,1]Tn,x0=(0,0,…,0)Tn,從幾何的視角看,正負理想點的連線實際上就是正理想點向量,本文稱之為參照向量。每個備選方案也可以看成是空間的一個向量,如果每個待選向量與參照向量越接近,則該待選方案是最好的。待選方案向量的??梢院饬颗c負理想點的距離,待選方案向量與參照向量所形成的夾角可以衡量與正理想點的距離,因此通過把模的大小與夾角余弦值結(jié)合起來考慮全面反映了向量之間的接近程度,故可以采用如下投影方法:
設(shè)α=(α1,α2,…,αn)和β=(β1,β2,…,βn)是兩個向量,則向量夾角余弦為:
則有
為α在β上的投影。一般的,Pr jβ(α)越大,表示向量α和β越接近。令
顯然,Pr jx*(xi)越大,表明方案xi越貼近正理想點且遠離負理想點,方案xi越優(yōu)。
設(shè)對于某一多屬性決策問題,屬性權(quán)重信息已知,ω=(ω1,ω2,…,ωn) ωj≥0,。 屬 性 集 為U={u1,u2,…,un},方案集為X={x1,x2,…,xm},決策矩陣為A=(aij)m×n。A經(jīng)過規(guī)范化處理后,得到規(guī)范化矩陣
(1)對屬性進行規(guī)范化處理
(2)構(gòu)建加權(quán)規(guī)范矩陣Y={yij}
(3)確定正負理想點
(4)計算各方案與正理想點的投影
(5)按照投影值Pr jy*(yi)(i∈M)大小對方案集 X={x1,x2,…,xm}進行排序。
我們通過構(gòu)造一個示例,對本文所述方法進行比較分析。其中指標好轉(zhuǎn)率、床位周轉(zhuǎn)次數(shù)和平均病床工作日屬于效益型指標,平均費用屬于成本型指標,假定各屬性權(quán)重相等為0.25。如下表1所示,我們所要確定的是哪個年度醫(yī)院的效益最好。
在表1中,1997*表示增加了一年的樣本數(shù)據(jù),即相當于增加了一個備選方案。兩種數(shù)據(jù)集分別成為數(shù)據(jù)集1(D1)和數(shù)據(jù)集2(D2)我們分別采用改進前和改進后的TOPSIS法來比較分析,當決策備選方法出現(xiàn)變動的時候?qū)Q策結(jié)果產(chǎn)生的影響,即決策方法是否具有較好的穩(wěn)定性和一致性。計算結(jié)果如下。
改進前TOPSIS計算結(jié)果:
D1:方案綜合屬性值為[0.6938,0.7344,0.5155,0.2324,0.8919,0.8323,0.7697];方案排序:
D2:方案綜合屬性值[0.9326,0.9197,0.8879,0.8890,0.9690,0.9527,0.9320,0.1053];方案排序:
表1 某院1990~1996年幾項醫(yī)院工作質(zhì)量指標情況
對不同的兩個年份而言,不管備選方案怎么變化,它們的相對優(yōu)劣順序不應該變化。而由該結(jié)果發(fā)現(xiàn)此方法存在逆序。
改進后的TOPSIS計算結(jié)果:
D1:方案綜合屬性值 [0.4582,0.4625,0.4300,0.4327,0.4917,0.4749,0.4691];方案排序:
D2:方案綜合屬性值[0.4582,0.4625,0.4300,0.4327,0.4917,0.4749,0.4691,0.3917];方案排序:
該結(jié)果沒有出現(xiàn)逆序現(xiàn)象。由此可見,改進后的方法比原有方法更有效,可以消除逆序現(xiàn)象,使得評價方法更客觀、更具有一致性和穩(wěn)定性。
在多屬性決策中,TOPSIS法是最簡單、直接,也是應用非常廣的一種方法,然而其本身存在一定的缺陷。本文提出從規(guī)范化數(shù)據(jù)矩陣、確定絕對正負理想點、求解客觀權(quán)重、利用投影設(shè)定新的貼近度公式四個方面改進TOPSIS方法,并通過示例表明該改進方法比傳統(tǒng)方法具有決策穩(wěn)定性、一致性的優(yōu)點。
[1]胡永宏.對TOPSIS法用于綜合評價的改進[J].數(shù)學的理論與實踐,2002,32(4).
[2]邱根勝,鄒水木,劉日華.多指標決策TOPSIS法的一種改進[J].南昌航空工業(yè)學院學報(自然科學版),2005,19(3).
[3]付巧峰.關(guān)于TOPSIS法的研究[J].西安科技大學學報,2008,28(1).
[4]陳偉.關(guān)于TOPSIS法應用中的逆序問題及消除的方法[J].運籌與管理,2005,14(3).