李 硯，杜 綱，劉 波,2b

0 引言

魯棒優(yōu)化是一種處理不確定參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的重要方法，由Soyster[1]于1973年首次提出，其區(qū)別于其它不確定優(yōu)化方法的重要特征是模型對(duì)數(shù)據(jù)的不確定具有免疫性。由于魯棒優(yōu)化對(duì)于不確定參數(shù)沒(méi)有假定分布，魯棒解被定為最壞不確定情景下使目標(biāo)函數(shù)具有最優(yōu)值的解。因此，魯棒優(yōu)化規(guī)避了估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)也規(guī)避了低概率事件發(fā)生所帶來(lái)的巨大風(fēng)險(xiǎn)。魯棒優(yōu)化的核心思想是將不確定性問(wèn)題以一定的近似程度轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)可以解決的確定性凸優(yōu)化問(wèn)題。

雙層規(guī)劃是具有主從遞階結(jié)構(gòu)的層次優(yōu)化問(wèn)題，它將一個(gè)參數(shù)化的優(yōu)化問(wèn)題作為其約束條件[2]。在其層次決策框架中，下層決策者在上層決策者給定參數(shù)條件下優(yōu)化自己的目標(biāo)函數(shù)，而上層決策者基于下層決策者可能的最優(yōu)反應(yīng)來(lái)確定自己的決策參數(shù)以優(yōu)化自己的目標(biāo)函數(shù)，決策過(guò)程中上下層的決策與選擇行為相互依存。目前，雙層規(guī)劃模型在委托代理、供應(yīng)鏈等諸多領(lǐng)域已經(jīng)有著非常廣泛的應(yīng)用。

本文將提出魯棒雙層規(guī)劃模型，針對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的系數(shù)均在橢球不確定集內(nèi)擾動(dòng)的情形，通過(guò)不等式約束處理將魯棒雙層規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為下層含有二階錐約束的非線性確定性問(wèn)題進(jìn)行求解，以此獲得魯棒解。對(duì)于含有二階錐約束(決策變量線性函數(shù)的二范數(shù)小于等于決策變量的線性函數(shù))的規(guī)劃稱為二階錐規(guī)劃，它是對(duì)稱錐的特例，屬于非光滑凸規(guī)劃[3]。關(guān)于二階錐規(guī)劃的求解，具有代表性的算法主要有內(nèi)點(diǎn)法、光滑牛頓算法、非內(nèi)部連續(xù)化算法等。而雙層規(guī)劃的求解，即使是線性的，也是NP-hard的[4]。目前，雙層規(guī)劃的求解方法主要分為兩類：精確算法和智能算法。精確算法大多依賴于解空間的特性，無(wú)法解決一般的非線性規(guī)劃問(wèn)題；智能算法具有較優(yōu)的全局搜索能力，對(duì)目標(biāo)函數(shù)要求較低，逐漸被用來(lái)解決雙層規(guī)劃問(wèn)題。因此，本文擬提出一種混合遺傳算法求解魯棒雙層規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化后的這類下層含有二階錐約束的確定性雙層規(guī)劃。

1 魯棒雙層規(guī)劃模型

1.1 問(wèn)題描述

基于不確定雙層規(guī)劃中上下兩層的決策者均需獲得魯棒解的前提假設(shè)，考慮向量形式所表示的雙層規(guī)劃：

其中y解自于下面規(guī)劃問(wèn)題：

其中，x∈Rm×1,y∈Rn×1,ci∈Rm×1,di∈Rn×1(i=1,2),A ∈ Rk×m,B ∈ Rk×n,h∈Rk×1。

假設(shè)式(1)的目標(biāo)函數(shù)及約束條件的系數(shù)(c1,d1,c2,d2,A,B,h)均在橢球集合μ內(nèi)擾動(dòng)，記

其中，c?1,d1?,c2?,d2?,A?,B?,h?為給定的數(shù)據(jù)，A和A?的第i個(gè)行向量為aTi和(ai?)T，B和B?的第i個(gè)行向量為bTi和(bi?)T， 設(shè) P01， P02∈ R(m+n)×(m+n), Pi∈R(m+n+1)×(m+n)為給定的尺度變換。

1.2 模型的轉(zhuǎn)化

系數(shù)在橢球集合μ內(nèi)擾動(dòng)的魯棒雙層規(guī)劃可以通過(guò)如下推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成為系數(shù)確定的雙層規(guī)劃。

1.2.1 上層規(guī)劃問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

首先討論式(1)中上層規(guī)劃問(wèn)題，其系數(shù)在橢球集合μ內(nèi)擾動(dòng)時(shí)，如何轉(zhuǎn)化為確定性問(wèn)題。根據(jù)雙層規(guī)劃的庫(kù)恩—塔克條件法以及式(2)所表示的等價(jià)形式[5]

可得：

其中，Θ(d)={( x ,y,u,v)|Ax+by≥h,d2=BTu+v

當(dāng)式(3)中的系數(shù)c1,d1∈μ時(shí)，利用文獻(xiàn)[5]中轉(zhuǎn)化形式：

其中c?是給定數(shù)據(jù)，P0是相應(yīng)的尺度變換。

可以將不確定約束條件c1Tx+d1Ty≤t轉(zhuǎn)化為確定的約束條件

那么再次利用式(2)，得到

顯然，式(5)是式(6)用K-T條件法表示的等價(jià)形式:

其中y解自于下面規(guī)劃問(wèn)題：

從而就把系數(shù)不確定的上層規(guī)劃轉(zhuǎn)化為確定性規(guī)劃。

1.2.2 下層規(guī)劃問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

根據(jù)雙層規(guī)劃的決策框架以及上下兩層決策者均需獲得魯棒解的前提假設(shè)，一旦上層規(guī)劃給定決策變量x，那么下層規(guī)劃就是一個(gè)單層的魯棒規(guī)劃問(wèn)題。同理，利用式(2)所表示的等價(jià)形式將下層目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成約束條件，再通過(guò)式(4)的轉(zhuǎn)化形式對(duì)約束條件進(jìn)行推導(dǎo)，則系數(shù)不確定的下層問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定性問(wèn)題。綜上，魯棒雙層規(guī)劃模型得以轉(zhuǎn)化為式(7)所表示的具有確定系數(shù)的雙層規(guī)劃問(wèn)題：

式(7)是下層含有二階錐約束的雙層規(guī)劃。

2 混合遺傳算法

上述魯棒雙層規(guī)劃模型，經(jīng)過(guò)模型轉(zhuǎn)化得到了下層含有二階錐約束的確定性雙層規(guī)劃。本文提出一種混合遺傳算法求解這類轉(zhuǎn)化后的非線性雙層規(guī)劃問(wèn)題?；旌线z傳算法求解該問(wèn)題的核心思想是：首先給出上層種群中個(gè)體x，通過(guò)改進(jìn)的非內(nèi)部連續(xù)化算法[6，7]求解下層的二階錐規(guī)劃,得到上層種群中每個(gè)個(gè)體x所對(duì)應(yīng)的下層最優(yōu)解y，進(jìn)而由上層目標(biāo)函數(shù)計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度；然后對(duì)該群體進(jìn)行選擇、交叉、變異等遺傳運(yùn)算,通過(guò)上下層的反復(fù)迭代，逐漸逼近最優(yōu)解。

2.1 非內(nèi)部連續(xù)化算法

對(duì)下層二階錐規(guī)劃的求解，本文采用基于單個(gè)牛頓方程的非內(nèi)部連續(xù)化算法[6]。非內(nèi)部連續(xù)化方法的主要思想是：利用一個(gè)光滑函數(shù)把問(wèn)題重新表述成一個(gè)參數(shù)化的光滑方程組，每步迭代利用牛頓法進(jìn)行求解，通過(guò)令參數(shù)趨于零，期望得到原問(wèn)題的一個(gè)解。該算法可以起始于任一點(diǎn)且不要求光滑路徑和迭代點(diǎn)位于正區(qū)域。文獻(xiàn)[6]提出了一個(gè)改進(jìn)的求解對(duì)稱錐互補(bǔ)問(wèn)題的非內(nèi)部連續(xù)化算法。改進(jìn)后算法的突出特點(diǎn)是在每步迭代中至多需要解一個(gè)線性方程組，并且在弱的條件下具有全局線性收斂性和局部二次收斂性，該算法被用來(lái)求解二階錐規(guī)劃。其中采用的二階錐光滑函數(shù)?μ為φμ(x,s):=φ(μ,x,s)=x+s-，其中μ∈R給定。

2.2 編碼和適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)

本文在遺傳算法中采用格雷碼對(duì)個(gè)體進(jìn)行編碼，每個(gè)個(gè)體被遺傳到下一代種群中的概率是由該個(gè)體的適應(yīng)度來(lái)確定的。在這里使用指數(shù)尺度變換的適應(yīng)度分配方法。指數(shù)尺度變換時(shí)，新的適應(yīng)度是原適應(yīng)度的某個(gè)指數(shù)。指數(shù)尺度變換的公式為：

其中，系數(shù)β決定了選擇的強(qiáng)制性，β越小，原有適應(yīng)度較高的個(gè)體的新適應(yīng)度就與其他個(gè)體的新適應(yīng)度相差較大，即增加了選擇個(gè)體的強(qiáng)制性。

2.3 操作算子策略

2.3.1 選擇算子

選擇算子采用兩種策略：一種是精華直接復(fù)制策略；還有一種是隨機(jī)遍歷抽樣策略。精華直接復(fù)制策略按適應(yīng)度排列群體中的個(gè)體，采取最優(yōu)保存策略復(fù)制適應(yīng)度值最大的個(gè)體并使它直接進(jìn)入下一代；而隨機(jī)遍歷抽樣策略將下一代個(gè)體中其余個(gè)體采用隨機(jī)遍歷抽樣方法產(chǎn)生，即：使用N個(gè)相等距離的指針，N是要求選擇的個(gè)數(shù)。種群被隨機(jī)排列在[ ]0,Sum/N范圍內(nèi)產(chǎn)生一隨機(jī)數(shù)作為指針p tr，N個(gè)個(gè)體由相隔一個(gè)距離的N個(gè)指針[p tr,p tr+1,p tr+2,…,p tr+N-1]選擇，選取適應(yīng)度范圍在指針位置的個(gè)體。另外，個(gè)體完全按它們?cè)诜N群中的地位選擇，因此獲得最小的個(gè)體擴(kuò)展和零偏差[8]。

2.3.2 交叉和變異算子

采用多點(diǎn)交叉策略。多點(diǎn)交叉有m個(gè)交叉位(當(dāng)m=1時(shí)為單點(diǎn)交叉),ki∈{ }1,2,…,l-1是交叉點(diǎn)，l是染色體的長(zhǎng)度，m個(gè)交叉位是通過(guò)隨機(jī)數(shù)選擇的，沒(méi)有重復(fù)、按升序排列。父母染色體中在兩個(gè)相連的交叉位間的基因進(jìn)行交換，產(chǎn)生兩個(gè)新的子代。

設(shè)Pm為變異概率，產(chǎn)生一個(gè)[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)r，如果r≤Pm，則對(duì)個(gè)體編碼串中以變異概率隨機(jī)指定某一位或某幾位基因位上的值做反轉(zhuǎn)變異運(yùn)算(即0→1或1→0)或用其他等位基因值來(lái)代替，從而產(chǎn)生出新一代的個(gè)體。

2.4 算法過(guò)程

根據(jù)轉(zhuǎn)化后模型特點(diǎn)，結(jié)合上述討論，給出一種混合遺傳算法，整個(gè)算法的流程如圖1所示，具體步驟如下：

圖1 算法的流程圖

(1)隨機(jī)產(chǎn)生初始種群X,確定種群規(guī)模N以及交叉率Pc和變異率Pm,同時(shí)設(shè)定最大迭代數(shù)MAXGEN(終止條件)。

(2)對(duì)于上層初始種群X中的每個(gè)個(gè)體xi(i∈[1,N])代入下層二階錐規(guī)劃，利用改進(jìn)的非內(nèi)部連續(xù)化算法[6]求得上層種群X的每個(gè)個(gè)體xi所對(duì)應(yīng)的下層規(guī)劃的最優(yōu)解yi，上層目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)，再把X和Y代入到適應(yīng)度函數(shù)，得到相應(yīng)的適應(yīng)度值。

(3)選擇算子操作，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)值的大小對(duì)種群X的個(gè)體進(jìn)行選擇,重復(fù)進(jìn)行該過(guò)程,完成個(gè)體選擇過(guò)程。

(4)應(yīng)用遺傳操作算子對(duì)選入下一代的個(gè)體進(jìn)行交叉和變異算子操作，產(chǎn)生新的個(gè)體進(jìn)入下一代。

(5)終止條件判斷(迭代次數(shù)大于最大迭代數(shù))。如果條件滿足,則進(jìn)化終止；否則,轉(zhuǎn)步驟(2)。

(6)輸出模型的最優(yōu)解，算法運(yùn)行結(jié)束。

3 數(shù)值算例

考慮如下魯棒雙層規(guī)劃問(wèn)題：

其中y解自于下面規(guī)劃問(wèn)題:

其中cl,dl(l=1,2);ai,bi,hi(i=1,2,3)

均屬于橢球擾動(dòng)集μ，表示如下：

給定數(shù)據(jù)如下：

在區(qū)間[0,0.3]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的尺度變換值如下：

利用2.2節(jié)中模型的轉(zhuǎn)化方法，并令z=(x y)T,得

其中y解自于下面規(guī)劃問(wèn)題：

由上述算法步驟，通過(guò)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)得到上層決策變量的魯棒解為:x=6;上層目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為:Fmin=12.7294;下層決策變量的魯棒解為：y=1.6139;下層目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為：fmin=0.4918.

當(dāng)假設(shè)所有尺度變化均為零，即參數(shù)處于名義值時(shí)，問(wèn)題本身為確定的線性雙層問(wèn)題，即文獻(xiàn)[2]的算例。利用該算法得到上層決策變量的最優(yōu)解為:x=6;上層目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為:Fmin=12;下層決策變量的最優(yōu)解為:x=2;下層目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為:fmin=-2。與算例同解。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于上下兩層決策者均需獲得魯棒解的前提假設(shè)提出了系數(shù)不確定雙層規(guī)劃的魯棒問(wèn)題，采用不等式約束處理將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為下層是二階錐規(guī)劃的確定性雙層規(guī)劃問(wèn)題。根據(jù)轉(zhuǎn)化后模型特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的混合遺傳算法，并且由于常值函數(shù)、線性函數(shù)、歐氏范數(shù)、P范數(shù)函數(shù)及偶冪函數(shù)都具有二階錐集性質(zhì)，可以將含有這些函數(shù)的規(guī)劃轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃進(jìn)行求解[5]。因此，該算法不僅能獲得高質(zhì)量的全局最優(yōu)解，而且本身具有通用性，可以求解更一般的雙層規(guī)劃問(wèn)題。本文通過(guò)算例驗(yàn)證了算法的有效性及可行性。

[1]Soyster A L.Convex Programming with Set-inclusive Constraints and Applications to Inexact Linear Programming[J].Operations Research,1973,(21).

[2]Dempe S.Foundations of Bilevel Programming[M].Boston:Kluwer Academic Publisher,2002.

[3]Alizadeh F,Goldfarb D.Second-order Cone Programming[J].Mathe?matical Programming,2003,95(1).

[4]Jeroslow R.The Polynomial Hierarchy and a Simple Model for Com?petitive Analysis[J].Mathematical Programming,1985,32.

[5]Lobo M S,Vandenberghe L,Boyd S,etc.Applications of Second-order Cone Programming[J].Linear Algebraand its Applications,1998,284(1).

[6]Lu N,Huang Z H.Convergence of a Non-interior Continuation Algo?rithmfor the Monotone SCCP[J].Acta Math.Appl.Sinica(English Se?ries),2010,(4).

[7]Huang Z H.The Global Linear and Local Quadratic Convergence of a Non-interior Continuation Algorithm for the LCP[J].IMA Journal of Numerical Analysis,2005,(25).

[8]雷英杰,張善文,李續(xù)武等.MATLAB遺傳算法工具箱及應(yīng)用[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2005.