劉旭輝，方蜀州，馬紅鵬，高慶豐

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

0 引言

“小衛(wèi)星”是20世紀(jì)90年代以后在航天領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的新概念。特別是近年來通過應(yīng)用MEMS技術(shù)，使小衛(wèi)星的體積和質(zhì)量進(jìn)一步縮小，向公斤級的皮衛(wèi)星和納衛(wèi)星方向發(fā)展。然而，現(xiàn)在國際上研制的微型衛(wèi)星幾乎都不配備推進(jìn)系統(tǒng)，或只有極其有限的機動能力。而微型固體推進(jìn)器陣列，由于具有體積小、成本低、功耗低、可靠性高等優(yōu)點，受到了廣泛重視［1－4］，各國展開了將其用于皮納衛(wèi)星姿軌控方面的研究，但大部分研究集中于結(jié)構(gòu)設(shè)計、微推力測試等。

現(xiàn)階段對于基于微型推力器陣列的推力器分配算法研究國內(nèi)外處于空白，而基于液體推力器的分配算法國外有較多研究［5－6］，但姿軌控推力器數(shù)量遠(yuǎn)小于微型推力器陣列。因此，其分配算法不適于基于微型推力器陣列的控制，需設(shè)計一種適用于該陣列的推力器分配算法，才能使推力器陣列應(yīng)用于姿軌控，具有實用價值。因此，本文重點研究如何設(shè)計一種基于固體微型推力器陣列的一體化算法，并進(jìn)行相關(guān)的仿真分析，驗證算法的可行性及可靠性。

1 基于微型推力器陣列布局設(shè)計

微型推力器陣列不同于現(xiàn)有星上推力器，要根據(jù)其特點，設(shè)計合理的布局，使推力器陣列既能用于姿態(tài)控制，又要用于軌道控制，才能為算法設(shè)計奠定基礎(chǔ)。

1.1 基于推力器陣列的控制特點

固體微推力器陣列中每個推力器只能使用一次，單個推力器沖量一定。當(dāng)推力器位置固定后，其沖量矩也是一定的。通過不同的推力器組合，或者選擇不同力臂的推力器來實現(xiàn)軌道和姿態(tài)的精控粗控，形成多種控制檔次。

式中 Imin為最小沖量;Immin為最小沖量矩;Isp為推進(jìn)劑的比沖;mp為推進(jìn)劑的質(zhì)量;Np為顆粒數(shù)目;R為顆粒半徑;ρ為推進(jìn)劑密度;lmin為推力器之間最小間距。

由式(1)可知，每個推力器可通過調(diào)整沖量關(guān)系式中的參數(shù)來改變沖量大小，現(xiàn)階段研究的推力器總沖最小可達(dá)幾十毫牛秒，為實現(xiàn)高精度控制提供一定基礎(chǔ);由于單個推力器體積小，集成度大，多達(dá)幾百個推力器集成于一個陣列，因此可具有較高機動能力。

基于微型推力器陣列的控制誤差由推力器的最小沖量和陣列能提供的最小沖量矩決定［7－8］。

1.2 推力器布局及陣列構(gòu)型

現(xiàn)有的推力器布局結(jié)構(gòu)多數(shù)設(shè)計以正方形為基元［9－11］，本文設(shè)計了一種推力器布局方法，如圖 1所示。該推力器陣列的基本生成元為正六邊形，以正六邊形的邊長為推力器相隔間距，按式(2)向外擴展衍生出其他推力器位置，衍生的推力器個數(shù)由所需陣列規(guī)模大小決定。每一個推力器都將分布在以基本生成元正六邊形的中心為圓心的某個圓周上，各個圓周上均分布著6個或12個推力器。

式中 rα、rβ為相鄰2個推力器的矢量。

陣列的配置與任務(wù)的維數(shù)有關(guān)，如果進(jìn)行六維控制，考慮三軸軌道控制和三軸姿態(tài)控制，本文選擇正六面體的配置方式，如圖2所示。在6個表面上布置6個推力器陣列，每個推力器陣列的中心方向通過衛(wèi)星質(zhì)心。

2 基于微型推力器陣列的算法

軌控和姿控往往是耦合進(jìn)行的，因此需研究基于微型推力器陣列的一體化控制，即使用一套控制陣列，能同時對軌道和姿態(tài)進(jìn)行控制。

2.1 問題描述

根據(jù)期望沖量和沖量矩，利用微推力器陣列來提供。

式中 A、B為根據(jù)推力器陣列求出的相應(yīng)的沖量、沖量矩矩陣;Ep為所需的沖量和沖量矩;Imc為姿態(tài)控制所需沖量矩;Ic為軌道控制所需沖量;ci為決策變量，值為0或1。

推力器分配算法需要解決的問題就是在進(jìn)行姿軌控時，根據(jù)所需的沖量或沖量矩，由算法求解出所需推力器組合，由微推力器陣列進(jìn)行組合來產(chǎn)生。

2.2 星上推力器分配算法要求

(1)推力器控制分配的基本要求是求解出的推力器組合滿足任務(wù)所需的沖量和沖量矩。

(2)能實現(xiàn)星上實時控制，要求衛(wèi)星推力器的分配算法求解時間要求控制在毫秒級，否則衛(wèi)星將很難進(jìn)行控制。

(3)當(dāng)軌控發(fā)動機失效，姿控發(fā)動機可用來進(jìn)行軌控，雖然降低了使用壽命，但衛(wèi)星仍可控。

2.3 算法選擇

現(xiàn)階段求解推力器分配問題，常用算法包括解耦法、偽逆法、線性規(guī)劃法、最優(yōu)查表法等，而本問題應(yīng)用偽逆法及線性規(guī)劃算法求解，變量數(shù)目多達(dá)百萬級，迭代計算量巨大，無法求解［12－13］。最優(yōu)查表法雖然可利用離線計算提前儲存組合表，但需利用線性規(guī)劃進(jìn)行離線計算，因此仍無法計算［14］。

固體推力器只有點與不點兩種狀態(tài)，屬于0～1規(guī)劃問題。解決0～1規(guī)劃問題常用的方法包括分支定界法、隱枚舉法以及啟發(fā)式算法、人工智能算法，這些算法能很好地充分利用推力器，但分支定界法、隱枚舉法存在枚舉，因此無法求解，而智能算法雖然能求解，但收斂速度慢，計算時間仍不能為實時控制所接受，且求解存在誤差，這是對于精密控制所不能允許的。因此，這些算法同樣無法進(jìn)行實時控制［15］。

根據(jù)星上推力器分配算法要求，為了使推力器陣列具有實用性，放棄耦合算法，采用解耦方法，按指令分量方向?qū)⑼屏ζ鬟M(jìn)行分組，通過對消的方法使得每個組合僅在一個控制量方向上產(chǎn)生作用，雖然浪費一些推力器，但能滿足控制要求，實現(xiàn)實時姿軌控，具有應(yīng)用價值，將所提出的算法命名為“陣列規(guī)劃算法”。

3 陣列規(guī)劃算法

本文提出的陣列規(guī)劃算法，能解決基于微型推力器陣列的推力器分配問題，以滿足實時控制的要求。為便于研究，以10×11的推力器陣列進(jìn)行說明，首先進(jìn)行推力器及陣列的解耦分配。

3.1 推力器解耦控制分配

如圖2所示，以3陣列和4陣列對Y方向推力的控制及對偏航軸的控制為研究對象。

3.1.1 姿軌控推力器分配

姿態(tài)控制所需力矩較小，而對軌道控制所需推力較大，陣列需要為姿態(tài)控制和軌道控制分配各自的推力器。如圖3所示，設(shè)黑色圓周上的推力器用于軌道控制，而其他推力器用于姿態(tài)控制，根據(jù)不同任務(wù)可設(shè)計軌道控制、姿態(tài)控制的所需推力器的性能及分配各自所需推力器數(shù)量。

3.1.2 各個控制向量的陣列分配

陣列的配置方式，采用正六面體形式，如圖2所示，假設(shè)進(jìn)行六維控制任務(wù)，各個控制向量的陣列分配如表1所示。

3.2 姿軌控推力器分配建模

姿態(tài)、軌道單獨控制，姿態(tài)控制通過前后2個陣列，以力偶的形式來提供沖量矩;軌道控制需要推力器組合合力通過衛(wèi)星質(zhì)心方向。用過的推力器設(shè)置其成本為一個很高的權(quán)值。

表1 控制向量陣列分配Table 1 Array allocation according to control vector

本算法優(yōu)化目標(biāo)是提高陣列使用壽命，即每次控制使用推力個數(shù)最少，且保留盡可能多的組合方式，以使推力器陣列具有較長的使用壽命。根據(jù)陣列特點，提出推力器成本的概念:每個推力器與其他推力器有多種組合，使用組合種類越少的推力器成本越高，組合種類多的成本低。優(yōu)先使用成本低的推力器組合，保證推力器的組合種類的多樣性。

3.2.1 軌道控制推力器分配建模

對于同一軌道控制任務(wù)所需的沖量，使用的推力器個數(shù)固定。因此，在保證合力通過衛(wèi)星質(zhì)心方向基礎(chǔ)上，目標(biāo)函數(shù)用于優(yōu)化推力器組合，保留更多組合方式，提高陣列的使用壽命。

式中 ri表示每組的序列號，ri=1，2，3，…，n;mi表示推力器數(shù)量;ci表示決策變量0或1;Xi表示距離中心軸Y軸的距離;umax為一常數(shù)，umax=100;I為所需沖量;Imin為單個推力器沖量。

目標(biāo)函數(shù)的目的為保證總成本最小;成本函數(shù)表示即使用距離陣列中心距離較小，且占用組數(shù)越少的推力器組合，則成本較小。約束條件用于保證滿足控制任務(wù)所需的沖量。

3.2.2 姿態(tài)控制推力器分配建模

對于姿態(tài)控制所需的推力器數(shù)量是不確定的。因此，優(yōu)化目標(biāo)用于保證使用最少的推力器數(shù)量以及保留更多的推力器組合方式。

(1)目標(biāo)函數(shù)

式中 k為所選推力器的行號;i為所選推力器陣列的列號;j為相對陣列的列號;M為相對陣列的行數(shù)，N為相對陣列的列數(shù)，L為陣列的行數(shù)，如100×110陣列，則N=M=100，L=110，若10×11陣列，則 N=M=10，L=11。

(2)成本函數(shù)

式中 const為一較大常數(shù)，該值根據(jù)陣列規(guī)模設(shè)置，需大于陣列中最大成本值。

(3)約束條件

當(dāng)選擇了位于陣列第i列，其對應(yīng)陣列第j列，第k行的推力器時，x(i，j，k)=1;否則 x(i，j，k)=0。

該模型可約束推力器單元如何進(jìn)行組合提供所需的沖量矩，以達(dá)到利用率的最大化以及使用成本最低的目的。在滿足約束條件的前提下，選擇推力器數(shù)量越少，且選擇組合方式多的推力器組合，則成本越小，從而可保證留下的推力器能提供更多的產(chǎn)生力矩的推力器組合形式。

3.3 陣列規(guī)劃算法提出

雖然進(jìn)行了解耦，但該模型求解，仍然無法使用求解0～1規(guī)劃的常規(guī)方法，考慮到規(guī)模較大，采用分步、分階段的方法，可采用動態(tài)規(guī)劃、貪心算法等求解。但陣列中的推力器是一次性的，而每個推力器又有多種組合選擇，因此具有后效性，每一階段求出所需推力器后，會對下一階段的選擇產(chǎn)生影響，因此不直接使用動態(tài)規(guī)劃和貪心算法求解，為求解該問題本文提出了一種“陣列規(guī)劃算法”。

陣列規(guī)劃算法主要思想:采用動態(tài)規(guī)劃和貪心策略的思想［15－17］，分階段計算，根據(jù)陣列的使用情況求出每行、每組的最大沖量矩和沖量，將所需值減去求解出的最大值，依次循環(huán)，直到全部實現(xiàn)，每一階段的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，即為所求解，每一個階段受成本函數(shù)約束，選擇成本最小的推力器組合。這樣能夠保證階段數(shù)最少，狀態(tài)變量數(shù)目最少，并且滿足目標(biāo)函數(shù)要求。該算法可大大降低計算復(fù)雜程度，能夠滿足實時控制需要。

3.4 建立求解模型

(1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

式中 ck為第k階段的決策變量，為某一組或一行的最大值沖量或沖量矩;sk為第k階段狀態(tài)變量。

(2)階段指標(biāo)

式中 uk(ck)表示選擇成本最小的組合。

(3)最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)模型

在求得各階段最小成本后，求出對應(yīng)的坐標(biāo)(ik，jk，kk)。因此經(jīng)過求解，可得出最優(yōu)策略，已使用過的推力器組合成本設(shè)為最高值，最優(yōu)策略為

(4)使用矩陣建立

姿態(tài)控制使用矩陣為m×n的0～1矩陣，初始值為0，當(dāng)推力器使用后改寫為1。同理，軌道控制推力器6個分為一組，n′為組數(shù)，因此形成n′×6的0～1矩陣。

(5)成本矩陣建立

軌道控制所需沖量由2、3、4、6單位的沖量組合產(chǎn)生，因此需產(chǎn)生4種成本表。姿態(tài)控制的成本表由陣列的列數(shù)決定，對于m×n陣列，每行可產(chǎn)生1～(n－1)個單位的沖量矩，因此需設(shè)置n－1種成本表。

成本矩陣根據(jù)成本函數(shù)設(shè)置，對已使用的設(shè)為一個很高的權(quán)值，該值需大于陣列中成本的最大值。

3.5 姿軌控算法信息共享

姿控推力器和軌控推力器布局的方法一致，因此必然存在一定聯(lián)系。為了更好地交互信息，保證點火可靠性，需進(jìn)行姿軌控推力器之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換。

3.5.1 姿軌控推力器互為備份

由圖3可知，根據(jù)不同的任務(wù)需要，對姿控和軌控的推力器進(jìn)行分配。該分配的實現(xiàn)是通過對使用矩陣的設(shè)置來實現(xiàn)，在姿控算法中的使用矩陣，用于姿控的推力器設(shè)置為0，而用于軌控的推力器設(shè)置為1。同樣，在軌控算法中，用于軌控推力器設(shè)置為0，而用于姿控的推力器設(shè)置為1。

通常為了增加控制可靠性，姿態(tài)控制推力器、軌道控制推力器需進(jìn)行相互備份。備份的實現(xiàn)可通過對姿控和軌控的推力器使用矩陣進(jìn)行0、1設(shè)定，來改變推力器的用途。例如，將姿態(tài)控制推力器作為軌控使用，可將姿態(tài)算法中的需要作為軌控的推力器設(shè)置為1，而將軌控算法中相應(yīng)的推力器設(shè)置為0，以此來變換推力器的用途，從而可現(xiàn)實互為備份。

3.5.2 建立姿軌控推力器坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

姿態(tài)控制和軌道控制公用一個陣列，各自算法之間需要進(jìn)行信息交換，防止重復(fù)使用已用過的推力器，有利于進(jìn)行點火控制輸出。

將推力器在陣列中實際位置命名為物理坐標(biāo)，在陣列中的以行列形式表示推力器的位置命名為陣列坐標(biāo)。

推力器坐標(biāo)最終傳輸給點火系統(tǒng)，因此需轉(zhuǎn)化成第m行第n個推力器，即(m，n)，姿態(tài)控制尋址方式按照行尋址，尋址中用到的坐標(biāo)與使用矩陣坐標(biāo)一致，因此可直接將所需推力器坐標(biāo)傳輸?shù)近c火系統(tǒng)。而軌道控制，因為以6個推力器為一組進(jìn)行分組，因此需將其轉(zhuǎn)換成(m，n)的形式，先將軌控推力器在使用矩陣中的坐標(biāo)位置轉(zhuǎn)換成物理坐標(biāo)x，y。

設(shè)推力器坐標(biāo)為x，y，則可獲得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系:

式中 Tempn、Tempm都為臨時儲存器。

尤其在進(jìn)行姿軌控推力器更換用途時，可根據(jù)該關(guān)系進(jìn)行推力器的標(biāo)記。

3.6 算法分析

該求解算法能有效地求解基于微型推力器陣列的分配問題，求解效率高，每個階段使用成本最小的組合，保證了使用推力器個數(shù)最少，并保證了推力器組合的多樣性，在一定意義上提高了陣列的使用壽命。

3.6.1 算法運算規(guī)模分析

采用陣列規(guī)劃算法，避免了枚舉，姿態(tài)控制降低為每階段尋址規(guī)模最大為m(n－1)，時間復(fù)雜程度上界為O(m(n－1))，下界為O(n);軌道控制每次尋址規(guī)模最大為6n′(n′為分組數(shù))。圖4給出了10×11陣列分別全部用于軌道控制和姿態(tài)控制時計算規(guī)模曲線圖。如果使用空間換取時間，將其各成本制作為表格，每次進(jìn)行查找表計算，則計算時間將會更短，但需要占用更多儲存空間，可進(jìn)行時間和空間的權(quán)衡，選擇合適的成本表數(shù)量。

3.6.2 推力器個數(shù)使用最少證明

在軌道控制所需沖量一定情況下，使用推力器個數(shù)是固定的。因此，對軌道控制推力器的使用情況不加證明。

證明陣列規(guī)劃算法－姿態(tài)控制算法保證使用推力器個數(shù)使用最少，采用反證法證明。

證明:因為每個階段都需2個推力器組合，設(shè)某次總共需要n個階段，共需推力器個數(shù)為2n，如果該組合不為最佳，設(shè)需要的推力器個數(shù)為2(n－1)個，則某一階段存在更大的沖量或沖量矩，與每次選擇最大的沖量或沖量矩矛盾。因此，該策略下能保證推力器個數(shù)最少。

4 算例仿真驗證

基于微型推力器陣列的皮納衛(wèi)星能進(jìn)行高精度和快速機動的姿軌控，對于空間交會對接、空間攻防、編隊飛行等，都有著重要的應(yīng)用前景。

該算法采用了解耦的方式，因此仿真只驗證一對陣列的尋址控制效果。

陣列的規(guī)?？筛鶕?jù)任務(wù)需要進(jìn)行設(shè)置，不就具體任務(wù)進(jìn)行分析，只需進(jìn)行算法仿真驗證，看是否符合設(shè)計要求。

由微型推力器陣列特點可知，基于推力器陣列的控制精度由最小沖量和沖量矩決定，不需將誤差考慮到數(shù)學(xué)模型中，每次控制根據(jù)要求進(jìn)行圓整為最小沖量矩和沖量的整數(shù)倍，再進(jìn)行算法求解。

對于某次任務(wù)，根據(jù)所需沖量和沖量矩，經(jīng)過仿真所需推力器組合如表2所示。點火后的陣列使用情況如圖5所示。

以第1次調(diào)整為例進(jìn)行說明，滾轉(zhuǎn)所需沖量矩為10Immin，Y方向所需沖量為6Imin，因為陣列沒有使用，該陣列能提供的最大沖量矩為9Immin，所以示分階段產(chǎn)生9Immin和1Immin。由3.2.2節(jié)內(nèi)容可知，選擇3陣列中坐標(biāo)為(1，1)和4陣列中坐標(biāo)為(1，10)產(chǎn)生9Immin，由3陣列中坐標(biāo)為(1，5)和4陣列中坐標(biāo)為(1，6)產(chǎn)生1Immin的成本最小，能保證推力器使用個數(shù)最少。

Y方向的沖量由3陣列中的坐標(biāo)為(5，5)、(5，6)、(6，4)、(6，6)、(7，5)、(7，6)，即為距離中心最近的第一組圓周上的推力器。由3.2.1節(jié)內(nèi)容可知，該組合距離陣列中心最小，占用組數(shù)最少，成本最小。同理，可說明其他調(diào)整次數(shù)中成本亦為最小，推力器個數(shù)最少，保留了較多的推力器組合方式。

現(xiàn)假設(shè)軌控推力器失效，或者軌控推力器已用完，仍需進(jìn)行軌控，則需使用姿態(tài)控制來代替。由于姿控發(fā)動機仍按1.2節(jié)中的方法布局，因此能保證合力方向通過衛(wèi)星質(zhì)心。設(shè)某任務(wù)需要10Imin，通過姿控推力器來進(jìn)行控制，如圖6所示。使用了10個姿控推力器來進(jìn)行軌控，其坐標(biāo)為(2，5)、(2，6)、(3，3)、(4，2)、(4，8)、(8，2)、(8，8)、(9，8)、(10，4)、(10，5)。由圖6可知，所有推力器合力通過陣列中心方向，即衛(wèi)星質(zhì)心方向，該組合成本為最小。

表2 控制仿真Table 2 Control simulation

經(jīng)過仿真驗證了算法的可行性，說明本文設(shè)計的推力器布局方法具有較高的糾錯能力。

5 結(jié)論

(1)所設(shè)計的推力器布局方式能滿足姿軌控需要，對于姿軌控可分配各自所需的推力器，能實現(xiàn)一體化控制，且該結(jié)構(gòu)利于姿軌控推力器互為備份;

(2)建立的推力器分配數(shù)學(xué)模型能保證使用最少的推力器以及保證了推力器組合的多樣性，提高推力器陣列的使用壽命;

(3)基于微型推力器陣列的姿軌控具有較高的失效糾錯能力，能實現(xiàn)信息共享，可有效地進(jìn)行互為備份;

(4)所設(shè)計的求解算法能滿足姿軌控實時控制需要，求解規(guī)模小，搜索效率較高，計算準(zhǔn)確，滿足成本目標(biāo)函數(shù)要求。

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