夏 晶，任 秀

(大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163712)

0 引言

首先Kilp研究了rpp半群的一個特殊例子，而且證明了S是交換幺半群，并且所有主理想是投射的當(dāng)且僅當(dāng)S是交換可消幺半群的強半格[1]。而后Fountain推廣了這一結(jié)果, 定義了C-rpp(Cliffordrpp)半群，這是Clifford半群在rpp半群范圍內(nèi)的推廣[2]。同Clifford半群一樣，C-rpp半群在半群構(gòu)造理論中起著十分重要的作用。人們對以C-rpp半群為核心構(gòu)建起來的半群類作了大量的研究工作。例如，在文獻(xiàn)[3]中，作為Clifford半群在正則半群范圍內(nèi)的推廣，討論了左C-半群(左Clifford半群)；作為C-rpp半群在rpp半群范圍內(nèi)的再推廣，文獻(xiàn)[4]引進(jìn)并研究了左C-rpp半群，給出了這類半群的若干等價刻劃和半織積結(jié)構(gòu)；在文獻(xiàn)[5]中，定義了完全rpp半群，得到了完全rpp半群的一些特征，特別是完全rpp半群的織積結(jié)構(gòu)的建立；在文獻(xiàn)[6]中，自然地建立起可置換性與rpp半群的聯(lián)系，引入了PI-強rpp半群(滿足置換恒等式的強rpp半群)。

半群上的Green關(guān)系有多種推廣。Fountain定義了半群上的*-Green關(guān)系Λ*，P*，H*，△*和?*。Green關(guān)系的不斷拓展所帶來的問題越來越難解決，這些問題也正是目前半群代數(shù)理論的研究熱點。在文獻(xiàn)[7]中，唐向東引入了廣義格林關(guān)系——Λ**-關(guān)系，利用這一新格林關(guān)系給出了一類更廣義的C-rpp半群的刻劃，即C-wrpp半群類，C-wrpp半群是對Clifford半群和C-rpp半群的更深入的推廣[7]。作為C-rpp半群在wrpp半群范圍內(nèi)的推廣，在文獻(xiàn)[8]中引入了左C-wrpp半群的定義，給出了這類半群的一些性質(zhì)和特征。任秀等將可置換性與wrpp半群二者聯(lián)系起來，引入了滿足置換恒等式的強wrpp半群，得到了滿足置換恒等式的強wrpp半群的一些重要性質(zhì)和特征，滿足置換恒等式的強wrpp半群的子半群仍滿足置換恒等式，以及其冪等元是正規(guī)帶[9]；并且通過引入正規(guī)帶上的最小半格同余ε，證明了當(dāng)E(S)是矩形帶時，滿足置換恒等式的強wrpp半群是交換P-左可消幺半群與矩形帶的直積[10]。本文旨在將C-rpp半群在wrpp半群范圍內(nèi)的推廣。引入了完全wrpp半群的定義，并研究了它們的一些性質(zhì)。

1 基礎(chǔ)準(zhǔn)備

定義 1[7]：設(shè)S是一個半群，S上的廣義格林關(guān)系Λ**可以定義如下

Λ**={(a，b)∈S×S| ?x，y∈S1) (ax，ay)∈P?(bx，by)∈P}，這里P表示通常的格林關(guān)系。

定義2[8]：半群S稱為wrpp半群,如果半群滿足下列條件

(1) 半群S的每個Λ**-類至少含有S的一個冪等元；

定義3[9]：wrpp半群稱為強wrpp半群，如果對于任意的a∈S存在唯一與a有Λ**關(guān)系的冪等元e，使得ea=a。

如果S是強wrpp半群，Ma總是含有唯一的冪等元e，使得a=ea，我們標(biāo)記包含在Ma中的這個唯一的冪等元e為a+。因此，有a=a+a=aa+。

定義4 ：半群S稱為完全wrpp半群，如果滿足下列條件

(1)S是強wrpp半群；

(2) 在半群S的乘法運算下E(S)構(gòu)成一個正規(guī)帶；

(3)Λ**是半群S上的同余。

引理1[11]：設(shè)B是一個帶,則下列條件是等價的

(1)B是正規(guī)帶；

(2)B是矩形帶的強半格；

(3) 對任意的e，f，g，h∈B，有efgh=egfh。

為了簡便起見，我們標(biāo)記引理1中的矩形帶Bα為E(f)，f∈Bα，α∈Y，如果α≥β，α，β∈Y，那么Bα≥Bβ，其中正規(guī)帶B的結(jié)構(gòu)分解為[Y；Bα(α∈Y)；φα,β]。

2 主要結(jié)果

引理2 ：設(shè)S為完全wrpp半群，半群S上的關(guān)系η為aηb當(dāng)且僅當(dāng)a=fb，f∈E(b+)，a，b∈S，則η是S上的同余。

證明：首先證明η是S上的等價關(guān)系。由η的定義,η顯然是對稱的，如果aηb，a，b∈S，由η的定義，有a=fb，f∈E(b+)，因此fa=a。由于a+Λ**a，且Λ**是S上的同余，則有fa+Λ**fa，因此fa+Λ**a，從而fa+a=fa=a。另一方面，由S是完全wrpp半群知，E(S)是正規(guī)帶，則E(S)的結(jié)構(gòu)分解為E(S)=[Y；Eα(α∈Y)；φα,β]，令a+∈Eα，f∈Eβ，則有

由強wrpp半群的定義，有fa+=a+，因而，E(a+)≤E(f)=E(b+)。再由a=fb，E(S)是正規(guī)帶，有b+a=b+fb+b=b+b=b。同理可得E(b+)≤E(a+)。因此E(a+)=E(b+)，并且η是反射的。假設(shè)aηb，bηc，由上述的證明立即得到E(a+)=E(b+)=E(c+)，令b=gc，g∈E(c+)，進(jìn)而a=fgc，fg∈E(c+)，因此aηc，所以η是傳遞的。

其次證明η是右相容的。假設(shè)aηb，對于任意的a，b∈S，由η的定義，有a=fb，f∈E(b+)。事實上，b+b=b=bb+，對于任意的c∈S，有c+c=c=cc+，E(S)是正規(guī)帶，則有b+fb+=b+。我們可以得到

又因為(ac)+Λ**ac，Λ**是同余，所以(ac)+(bc)+Λ**(ac)(bc)+，從而(ac)+(bc)+Λ**(ac)。由引理1，E(S)可表示為矩形帶Eα的強半格[Y；Eα(α∈Y)；φα，β]，令(ac)+∈Eα，(bc)+∈Eβ，則有

因而 (ac)+(bc)+ac=ac

由強wrpp半群的定義知 (ac)+(bc)+=(ac)+

從而E((ac)+)≤E((bc)+)

相似地可得E((bc)+)≤E((ac)+)

所以E((ac)+)=E((bc)+)，從而acηbc。

再次證明η是左相容的。事實上，假設(shè)aηb，對于任意的a，b∈S，由η的定義，有a=fb，f∈E(b+)，再由E(S)是正規(guī)帶，對于任意的c∈S，則有

ca=cfb

=cc+fb+b+b

=cc+b+fb+b

=cc+b+b

=cb

顯然，E((ca)+)=E((cb)+)，ca=(ca)+(cb)。

由η的定義可知caηcb。

綜上證得η是S上的同余。

定理1：設(shè)S是完全wrpp半群，η是上述引理2.1中定義的同余關(guān)系，如果aΛ**b，a，b∈S，那么aηΛ**S/ηbη。

證明：假設(shè)aΛ**b，a，b∈S，如果x，y∈S1使得((ax)η,(ay)η)∈P (S/η)，那么存在u，v∈S1，使得

(ax)η(uη)=(ay)η

(ay)η(vη)=(ax)η

因此可以找到e∈E((ay)+)，f∈E((ax)+)使得

axu=e(ay)，ayv=f(ax)

由E(S)是正規(guī)帶，有

ayv=f(ax)

=(ay)+f(ax)+(ax)+(ax)

=(ay)+(ax)+f(ax)+(ax)

=(ay)+(ax)+(ax)

=(ay)+(ax)

因為(ayv)η(ax)，所以(ay)+∈E((ax)+)，因而E((ay)+)≤E((ax)+)。

同理可得E((ax)+)≤E((ay)+)，因此，E((ax)+)=E((ay)+)。

所以efaxu=efe(ay)=efe(ay)+(ay)=eef(ay)+(ay)=efay

即efaxu=efay

同理可得efayv=efax，因而(efax，efay)∈P。由于aΛ**b，Λ**是S上的同余，則efaΛ**efb，所以(efbx，efby)∈P，因此由P的定義，存在r，s∈S1，使得

efbxr=efby，efbys=efbx。

由于(a，b)∈Λ**，則有(ax，bx)∈Λ**，因而E((ax)+)=E((bx)+)

同理可得

E((ay)+)=E((by)+)

由E((ax)+)=E((ay)+)得

E((bx)+)=E((by)+)

因此

(bx)+(ef)∈E((by)+)

又因為

bxr=(bx)+(ef)(bx)+bxr=(bx)+efbxr=(bx)+efby

因而有

(bx)η(rη)=(by)η

類似地可得

(by)η(sη)=(bx)η

因此((bx)η，(by)η)∈P(S/η)，所以(aη,bη)∈Λ**(S/η)。

3 結(jié)語

通過對強wrpp半群引入Λ**同余關(guān)系，定義了完全wrpp半群。在完全wrpp半群S中定義了一類關(guān)系η，而半群S上的關(guān)系η是S上的同余，并且Λ**在由同余關(guān)系η而來的商半群是遺傳的。

[參考文獻(xiàn)]

[1] M.Kilp. Commutative monoids all of whose principal ideals are projectiv[J].Semigroup Froum，1973(6)： 334-339.

[2] J.B. Fountain.Right pp monoids with central idempotents[J].Semigroup Forum,1977,13:229-237.

[3] P.Y. Zhu, Y.Q. Guo,K.P. Shum.The characterization and structure of left Clifford semigroups[J].Science Bull,1991(6):582-590.

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[5] X.J. Guo, K.P. Shum,Y.Q. Guo.Perfect rpp semigroups[J].Comm. Algebra, 2001,29:2447-2459.

[6] X.J. Guo.Structures of PI-strong rpp semigroups[J].Kexue Tongbao,1996,41:1647-1650.

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[9] 任秀, 姜秀燕.滿足置換恒等式的強wrpp半群的性質(zhì)[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報,2006 (2)：25-27.

[10] 任秀，姜秀燕，孫鳳芝. 滿足置換恒等式的強wrpp半群的性質(zhì)和特征[J].長春師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007(3)：7-9.

[11] J.M. Howie.Fundamentals of Semigroup Theory[M].London:Academic Press,1995.