史經(jīng)

(增城市金站城市建設(shè)測量隊(duì)，廣東增城 511300)

1 引言

高程擬合是在GPS點(diǎn)布設(shè)的區(qū)域內(nèi)，根據(jù)已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)和高程異常ξ值，通過數(shù)值擬合的方法，擬合似大地水準(zhǔn)面，再用似大地水準(zhǔn)面數(shù)學(xué)模型內(nèi)插求待定點(diǎn)的ξ值，進(jìn)而求出待定點(diǎn)的正常高Hr［1］。

常用的擬合計(jì)算方法有:多項(xiàng)式曲面擬合、加權(quán)均值法、多面函數(shù)曲面擬合、線性移動(dòng)擬合法、多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。考慮到模型的實(shí)用性及計(jì)算實(shí)現(xiàn)的方便性，本文選用了多項(xiàng)式曲面擬合法計(jì)算。

增城市 1 600 km2范圍內(nèi)有2/3以上是山地，高程異常變化較大，通過最小二乘估計(jì)，使用二次曲面擬合的方法求得的正常高并不能精確反映真實(shí)的地形情況;如使用分區(qū)擬合，雖然能較好反映地形情況，但在數(shù)據(jù)處理時(shí)非常繁瑣，同時(shí)還涉及各個(gè)曲面的光滑連接處理，不太適用于實(shí)際生產(chǎn)［2］，因此，本文采用三次多項(xiàng)式曲面擬合法求得的似大地水準(zhǔn)面模型來逼近大地水準(zhǔn)面。

2 多項(xiàng)式函數(shù)擬合法的數(shù)學(xué)模型

多項(xiàng)式函數(shù)擬合法的基本思想是在GPS區(qū)域網(wǎng)內(nèi)，將似大地水準(zhǔn)面看成一個(gè)數(shù)學(xué)曲面，高程異常ξ表示為平面坐標(biāo)(x，y)的函數(shù)，用聯(lián)測水準(zhǔn)測量的GPS觀測點(diǎn)作為網(wǎng)中起算點(diǎn)，用已知高程異常值結(jié)合起算點(diǎn)的平面坐標(biāo)值來計(jì)算測區(qū)內(nèi)似大地水準(zhǔn)面的模型，進(jìn)而用在模型上內(nèi)插就可求出其余各點(diǎn)的高程異常值［3］，其數(shù)學(xué)模型為:

式(1)中，Z(x，y)是擬合的似大地水準(zhǔn)面;ε是擬合殘差。而:

式(2)中，a為擬合待定參數(shù)，x，y為各GPS點(diǎn)的平面坐標(biāo)，p，q為多項(xiàng)式的階數(shù)。由最小二乘法得:

式(3) 中，點(diǎn)(a00…ap－1q－1) 是多元函數(shù) ε(a00…ap－1q－1)的極小點(diǎn)，w(x，y)為權(quán)函數(shù)，從而 a00…ap－1q－1必須滿足方程組:

對ε函數(shù)求偏導(dǎo)，移項(xiàng)之后得:

其中φij=xiyj。上式(5)可簡寫成 A×Aa=B，則可求出擬合待定參數(shù)為Aa=A－1×B。

再由式(1)、(2)可得出任意平面點(diǎn)對應(yīng)的高程異常值ξ，再由公式Hr=HG－ξ推出正常高Hr。

3 擬合函數(shù)的評估

對于多項(xiàng)式擬合函數(shù)的評估采用一元回歸模型方法，所謂回歸模型方法，就是從一組地理要素(現(xiàn)象)的數(shù)據(jù)出發(fā)，確定這些要素?cái)?shù)據(jù)之間的定量表述形式，即建立回歸模型。通過回歸模型，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)地理要素?cái)?shù)據(jù)來預(yù)測另一個(gè)要素的值。模擬回歸模型時(shí)，必要條件是具有兩個(gè)相應(yīng)變量系列，其中同一系列的每個(gè)元素完全相應(yīng)于另一序列的元素，這時(shí)就可以實(shí)現(xiàn)內(nèi)插和外推兩個(gè)任務(wù)［4］。

設(shè)觀測數(shù)據(jù)L=(ξ1ξ2…ξn)T，等權(quán)。選取擬合函數(shù)BX，相應(yīng)的模型誤差為δ，L的觀測誤差為△，則其函數(shù)模型為:

用BX對L進(jìn)行擬合，要求(BX－L)T(BX－L)=min(最小)，可得該方程為:

將式(6)代入，得:

其中，BX+δ為理論模型，采用的實(shí)際模型為BX，其擬合誤差為:

回歸模型的精度，可通過ε來確定，根據(jù)最小二乘法原理，ε的平方和為最小是最好的，一般是采用回歸方程的剩余標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)，即:

式(10)中，S的大小反映回歸模型的效果。通過回歸效果的顯著性檢驗(yàn)，可以證明它是一個(gè)具有自由度(1，m－2)的 F 變量，即:

式(11)中:r為相關(guān)系數(shù)?？梢?，一元回歸時(shí)，回歸效果的好壞可以通過相關(guān)系數(shù)的大小來鑒別，因此，擬合函數(shù)的選取應(yīng)該是:

(1)精度σ2給定時(shí)，擬合函數(shù)中引入的參數(shù)要盡可能地少，即要引入在觀測數(shù)據(jù)中占主要成分的那些主參數(shù)，次要參數(shù)盡可能地排除在擬合函數(shù)之外。

(2)最后確定的擬合函數(shù)，其參數(shù)必須按最優(yōu)的準(zhǔn)則確定，即采用最小二乘估計(jì)。

4 GPS高程擬合精度分析

4.1 項(xiàng)目概況

增城市1∶2000數(shù)字航測已覆蓋全市1 600多平方千米，2/3以上地形為丘陵和山區(qū)，北部山區(qū)高程異常值偏差較為明顯，擬合區(qū)域呈面狀分布。本次測量共采用四等以上水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)105個(gè)，且均勻分布在全市各鎮(zhèn)，其中擬合點(diǎn)為102個(gè)(另外3個(gè)作為較差檢校點(diǎn))，GPS水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)分布情況如下圖1所示。

圖1 GPS水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)分布圖

4.2 精度統(tǒng)計(jì)

通過擬合函數(shù)評估方法來選取擬合函數(shù)的模型，當(dāng)擬合模型的估值精度σ2給定到一定值時(shí)，這時(shí)兩種函數(shù)的模型誤差δ會(huì)趨于接近;當(dāng)再提高精度值σ2時(shí)，則其中一種模型誤差值會(huì)明顯增大。以下用102個(gè)已知正常高和大地高的擬合點(diǎn)(不計(jì)原始數(shù)據(jù)測量誤差)對不同次數(shù)的兩種多項(xiàng)式擬合模型分別建模后求殘差值，如表1所示。

多項(xiàng)式擬合殘差統(tǒng)計(jì)表 表1

eldb01 33.188 27.520 5.668 －2.2 －2.6 dj01 13.301 7.798 5.503 4.3 2.5 ptzx01 19.849 14.123 5.726 4.7 3.1 smlsk 71.764 65.881 5.883 1.7 4.4 dfmsk01 272.185 266.613 5.572 －8.5 －5.8 zgdz01 18.671 13.486 5.185 5.5 3.4 hwxx01 18.645 13.529 5.116 5.9 3.6 hpxx 30.493 25.497 4.996 1.2 0.1……… … … …中誤差 M0/cm 3.82 2.58

求得二、三次多項(xiàng)式系數(shù) a1、a2后，再由式(1)、(2)反推其他任意待定點(diǎn)的高程異常及正常高值。本次精度分析計(jì)算采用3個(gè)較差檢校點(diǎn)，較差數(shù)據(jù)如表2所示。

多項(xiàng)式模型精度比較表 表2

由表1和表2的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)獲得兩種擬合模型求得的正常高與水準(zhǔn)高程值比較，三次多項(xiàng)式擬合殘差中誤差較小，僅為M==±2.58 cm，最大值為△Hmax=6.8 cm，最小值為△Hmin=0.1 cm，與水準(zhǔn)檢校點(diǎn)比較，其較差平均值為0.9 cm，因此，三次多項(xiàng)式擬合在地勢起伏較大的地區(qū)具有精度高，誤差分布均勻的優(yōu)點(diǎn)。

5 結(jié)語

(1)增城市地勢起伏明顯，南北高差可達(dá) 1 km以上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明用三次曲面擬合模型計(jì)算的似大地水準(zhǔn)面比二次模型精度更高。多項(xiàng)式的次數(shù)應(yīng)根據(jù)測區(qū)的實(shí)際情況來定，并不是越高越好，次數(shù)太高會(huì)出多個(gè)尖點(diǎn)，引起似大地水準(zhǔn)面的不光滑，而且次數(shù)太高也會(huì)影響計(jì)算速度。

(2)似大地水準(zhǔn)面是純幾何面，通常是光滑且起伏變化平緩的，因此，只要布點(diǎn)均勻合理，點(diǎn)數(shù)相當(dāng)，用幾何模擬方法來確定其模型是可行的［5］。

(3)在高程異常起伏較小的平坦地區(qū)，可以用GPS高程擬合的方法代替普通幾何水準(zhǔn)測量。對于面狀測區(qū)，參與計(jì)算的幾何水準(zhǔn)點(diǎn)應(yīng)盡可能包圍所有的擬合點(diǎn);在地形復(fù)雜的測區(qū)，應(yīng)適當(dāng)增加水準(zhǔn)重合點(diǎn)觀測。

［1］蔣詩洋.實(shí)時(shí)獲取GPS高程擬合關(guān)系研究［J］.測繪通報(bào)，2007(4):49 ～50，55

［2］姚興雙，于久申，滿雪峰等.局域CQG2000似大地水準(zhǔn)面模型的數(shù)字化及應(yīng)用［J］.測繪通報(bào)，2007(11):4～9

［3］于小平，楊國東，許惠平等.GPS RTK高程擬合方法精度研究［J］.測繪通報(bào)，2006(11):19～21

［4］李曉桓.GPS水準(zhǔn)擬合模型的優(yōu)選［J］.測繪通報(bào)，2003(7):11～14

［5］鄧興升.確定高程異常的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法［J］.測繪通報(bào)，2008(4):4～7