李鵬，高波

(1.北京城建勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司，北京 100101; 2.深圳地鐵三號(hào)線投資有限公司，廣東深圳 518000)

1 引言

城市地鐵建設(shè)工程的基坑開挖必然會(huì)對(duì)附近的建筑設(shè)施產(chǎn)生一定的影響，一般需要對(duì)附近的建筑體進(jìn)行沉降監(jiān)測(cè)，建立合適的數(shù)學(xué)模型，對(duì)這些沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。預(yù)測(cè)沉降發(fā)展趨勢(shì)，掌握其動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，及時(shí)發(fā)現(xiàn)建筑體的不安全因素，合理安排和調(diào)整施工流程，排除危險(xiǎn)因素的影響，以便能夠達(dá)到地鐵工程安全施工和減少經(jīng)濟(jì)損失的目的。

針對(duì)常規(guī)時(shí)間序列模型缺少對(duì)數(shù)據(jù)的可靠性檢驗(yàn)的缺陷，本文嘗試將小波分析與時(shí)間序列理論結(jié)合，提出了小波時(shí)間序列模型。并以廣州市地鐵沉降監(jiān)測(cè)的實(shí)際工程為應(yīng)用實(shí)例。通過對(duì)建筑體沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，預(yù)測(cè)建筑體沉降趨勢(shì)。同時(shí)對(duì)小波時(shí)間序列模型與常規(guī)時(shí)間序列模型進(jìn)行對(duì)比分析，得出了具有應(yīng)用價(jià)值的有益結(jié)論。

2 小波分析

2.1 小波分析理論

若 ψ(x)∈L2(R)，且滿足條件［1］:

則ψ(x)為一個(gè)基本小波。將其伸縮和平移后得到一組小波序列

式中，a為伸縮因子;b為平移因子。

對(duì)于任意函數(shù)f(t)∈L2(R)，其離散小波變換為:

2.2 小波分解與重構(gòu)

(1)分解:由多分辨率分析可以將被處理的信號(hào)用正交變換在不同的分辨級(jí)上進(jìn)行分解。設(shè)以Vj表示分解中的低頻部分，Wj表示分解中的高頻部分，則Wj是 Vj在 Vj－1中的正交補(bǔ)，即 VJ⊕Wj=VJ－1。

(2)重構(gòu):多分辨率分析的子空間V0可以用有限個(gè)子空間來逼近:若令fj∈VJ代表分辨率為2J的函數(shù)f∈L2(R)的逼近(即函數(shù)f的低頻部分)，而dj∈WJ代表逼近的誤差(即函數(shù)f的高頻部分)，則式(4)意味著:

這表明，任何函數(shù)f∈L2(R)都可以根據(jù)分辨率為2N時(shí)f的低頻部分和分辨率2j(1≤j≤N)時(shí)f的高頻部分完全重構(gòu)［2］。

3 小波時(shí)間序列模型

3.1 小波分析與時(shí)序分析結(jié)合的形式

小波分析具有很強(qiáng)的多分辨分析，可以對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)，故小波分析與時(shí)序分析的結(jié)合有兩種形式:

(1)用小波變換對(duì)數(shù)據(jù)可靠性進(jìn)行分析，進(jìn)而消除數(shù)據(jù)中的異常值，然后將可靠數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)。

(2)先使用小波對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，將得到的低頻數(shù)據(jù)直接使用時(shí)間序列處理;而將高頻數(shù)據(jù)經(jīng)過閾值處理之后，再用時(shí)間序列進(jìn)行處理，最后有低頻預(yù)測(cè)值與高頻預(yù)測(cè)值經(jīng)過小波重構(gòu)得到變形監(jiān)測(cè)的預(yù)測(cè)值。

3.2 小波時(shí)間序列模型

(1)高頻部分重構(gòu)信號(hào)的建模預(yù)測(cè)

由高頻部分單支重構(gòu)后的信號(hào)可以看做是平穩(wěn)序列，可以直接構(gòu)建時(shí)間序列模型，對(duì) Dj:{dj1，dj2，…，djk}，(1≤j≤J)分別構(gòu)建 AR 模型［3］:

其中 t=1，2，…，k。對(duì)每組信號(hào) dj，k+i進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到預(yù)測(cè)值 ^dj，k+i。

(2)低頻部分重構(gòu)信號(hào)的建模預(yù)測(cè)

由低頻部分單支重構(gòu)得到的信號(hào)與樣本序列具有相同的趨向，為非平穩(wěn)序列，這樣的信號(hào)不能直接建模，需要進(jìn)行差分消去趨勢(shì)項(xiàng)，才可以應(yīng)用于時(shí)間序列中進(jìn)行建模。建模及預(yù)測(cè)方法與細(xì)節(jié)系數(shù)單支重構(gòu)信號(hào)相同。本文將逼近信號(hào)CJ的預(yù)測(cè)值記為 ^CJ，k+i。

(3)原樣本序列預(yù)測(cè)結(jié)果

由式(5)可知原序列f(t)在k時(shí)刻的i步預(yù)測(cè)為:

其中J表示小波分解層數(shù)，i表示預(yù)測(cè)步長(zhǎng)，k表示期數(shù)。

單支重構(gòu)可以將經(jīng)小波分解后的各層系數(shù)恢復(fù)到原樣本序列的長(zhǎng)度，保證模型的預(yù)測(cè)效果不因分解后系數(shù)點(diǎn)數(shù)的減少而降低。將各層分解系數(shù)單支重構(gòu)的信號(hào)相加就可以得到原樣本序列，即

其中J為小波分解層數(shù)，D1(t)、D2(t)、…、DJ(t)、CJ(t)為各層分解系數(shù)的單支重構(gòu)。

4 應(yīng)用實(shí)例

以廣州市地鐵站監(jiān)測(cè)點(diǎn)的多期沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例，說明小波時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)效果及有效性，以某監(jiān)測(cè)點(diǎn)的66期沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為研究對(duì)象進(jìn)行分析，該監(jiān)測(cè)點(diǎn)的各期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表1所示。

某監(jiān)測(cè)點(diǎn)各期的沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)成果表 表1

11 27.182 9 44 27.116 7 12 27.183 2 45 27.115 3 13 27.180 8 46 27.115 1 14 27.178 4 47 27.113 4 15 27.177 5 48 27.111 3 16 27.178 9 49 27.110 2 17 27.178 7 50 27.109 0 18 27.175 4 51 27.108 1 19 27.178 9 52 27.107 1 20 27.178 5 53 27.104 7 21 27.178 4 54 27.104 6 22 27.178 9 55 27.103 9 23 27.179 2 56 27.104 3 24 27.178 5 57 27.104 4 25 27.178 4 58 27.101 6 26 27.176 5 59 27.102 6 27 27.176 1 60 27.101 3 28 27.174 4 61 27.101 8 29 27.173 3 62 27.100 8 30 27.172 9 62 27.101 8 31 27.174 5 64 27.101 8 32 27.173 7 65 27.101 9 33 27.173 7 66 27.101 3

其沉降曲線如圖1所示。

圖1 沉降監(jiān)測(cè)過程線圖

4.1 沉降預(yù)測(cè)方法

用三種方法建立時(shí)間序列模型，并將預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證模型和方法的適用性及可靠性。

(1)沉降序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)化后［4］，構(gòu)建AR模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

(2)考慮樣本序列可能存在粗差，使用小波分析對(duì)監(jiān)測(cè)序列進(jìn)行可靠性檢驗(yàn)，將得到消噪后的序列進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)，圖2為經(jīng)過小波消噪后的監(jiān)測(cè)序列。

圖2 小波消噪后的樣本序列

(3)先把沉降序列數(shù)據(jù)用bior 2.8小波2層分解，得到低頻有效數(shù)據(jù)和高頻噪聲數(shù)據(jù)，如圖3所示。

圖3 小波分解后的低頻和高頻信息

先對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行閾值消噪，然后對(duì)低頻信號(hào)及各層高頻信號(hào)分別構(gòu)建時(shí)間序列模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。將各層信號(hào)預(yù)測(cè)值進(jìn)行重構(gòu)就得到對(duì)應(yīng)于原始數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值。

4.2 預(yù)測(cè)成果比較分析

將三種方法得到的預(yù)測(cè)成果及比較結(jié)果如表2、表3所示。

三種模型預(yù)測(cè)成果 表2

三種方法比較結(jié)果 表3

由表2，表3可知:小波時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)的最大誤差為 0.4 mm，平均誤差為 0.3 mm，模型精度為0.2 mm，優(yōu)于其他兩種模型。將三種方法預(yù)測(cè)結(jié)果繪成圖4，可以更直觀的看出三種模型的預(yù)測(cè)效果。

圖4 三種預(yù)測(cè)方法比較圖

5 結(jié)語

通過對(duì)安全監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1)小波對(duì)監(jiān)測(cè)信號(hào)消噪可以得到有用信息，能夠提高模型穩(wěn)定性和可靠性。其效果比直接用帶有粗差的數(shù)據(jù)序列構(gòu)建模型效果要好得多。

(2)小波時(shí)間序列模型對(duì)建筑物安全監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，精度能夠滿足安全監(jiān)測(cè)要求，可以應(yīng)用在建筑物安全監(jiān)測(cè)方面。所得到的預(yù)測(cè)結(jié)果精度要高于直接使用原始數(shù)據(jù)構(gòu)造的時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。

［1］袁娣.基于小波突變信號(hào)檢測(cè)方法研究［J］.電子科學(xué)，2009(4):28～126

［2］文鴻雁.基于小波理論的變形分析模型研究［D］.博士學(xué)位論文，武漢大學(xué)，2004

［3］朱永全.時(shí)間序列分析在隧道施工監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，1996(15)

［4］石雙忠.時(shí)序分析在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用［J］.工程勘察，2004(3)

［5］程正興.小波分析算法與應(yīng)用［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，1998

［6］冉啟文.小波分析與分?jǐn)?shù)傅立葉變換及應(yīng)用［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2002