劉喜斌

(湖南理工學(xué)院 物理與電子學(xué)院, 湖南 岳陽 414006)

關(guān)于拉格朗日方程應(yīng)用中的問題討論

劉喜斌

(湖南理工學(xué)院 物理與電子學(xué)院, 湖南 岳陽 414006)

拉格朗日方程是分析力學(xué)中一個(gè)極為重要的方程. 本文總結(jié)了在應(yīng)用拉格朗日方程解題時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問題,并結(jié)合實(shí)例加以分析討論.

拉格朗日方程; 動(dòng)能; 勢(shì)能; 廣義力

拉格朗日方程是分析力學(xué)中一個(gè)極為重要的方程, 它是以s為廣義坐標(biāo)q1,q2,…,qs作為獨(dú)立變量的二階微分方程組, 對(duì)于受理想、完整約束的一般力學(xué)體系, 它具有以下形式:

其中T為動(dòng)能,Qα為廣義力.

當(dāng)主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí), 它的形式為:

在應(yīng)用它解題時(shí), 必須弄清以下兩點(diǎn):

2．掌握廣義力的概念及其計(jì)算公式, 以及明確全導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用也是應(yīng)用拉氏方程的前提.

例1 質(zhì)量為M的滑塊受水平力的作用, 沿傾角為α的光滑固定斜面滑動(dòng), 滑塊上鉸接一長(zhǎng)為l, 質(zhì)量為m的勻質(zhì)直桿,鉸接處光滑. 此系統(tǒng)只能在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng). 試用拉氏方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程.

圖1

分析以滑塊與直桿構(gòu)成一系統(tǒng), 自由度為2, 取s和φ為廣義坐標(biāo)(圖1), 此系統(tǒng)受理想、完整約束.主動(dòng)力mg、Mg、因?yàn)椴皇怯袆?shì)力, 所以用方程(1).

1° 求動(dòng)能表達(dá)式

系統(tǒng)的動(dòng)能=滑塊的動(dòng)能+直桿的動(dòng)能. 滑塊只做平動(dòng), 直桿隨滑塊平動(dòng), 且有轉(zhuǎn)動(dòng), 其動(dòng)能可由柯尼希定理給出, 所以系統(tǒng)動(dòng)能為:

(6)式化簡(jiǎn)后與(5)相同.

圖2

圖3

2° 求廣義力

所以有

[另法] 由的獨(dú)立性, 也可以分別計(jì)算:

當(dāng)然, 還可以根據(jù)廣義力的定義式:

來計(jì)算, 不過這種方法不如前兩種方法靈活簡(jiǎn)便. 由上可知,廣義力的計(jì)算及概念的理解是很關(guān)鍵的.

圖4

3° 代入拉氏方程進(jìn)行運(yùn)算. 運(yùn)算時(shí), 有許多初學(xué)者往往由于不能正確進(jìn)行全導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算而得不出正確的運(yùn)動(dòng)方程.

對(duì)于廣義坐標(biāo)s:0

(注意, 這是對(duì)t求全導(dǎo)數(shù), (8)式右端所有隨時(shí)間變化的量都是對(duì)t求導(dǎo))

再考慮到(7)式, 關(guān)于廣義坐標(biāo)s的拉氏方程為

由(9)式我們可以看出, 此方程就是質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)慣性系的動(dòng)量定理在s方向上的分量式, (9)式后端的廣義力即為s方向上所有主動(dòng)力的投影. 而(10)式可以寫成

例2 質(zhì)量為M的滑塊與質(zhì)量為m的小球系于輕繩的兩端, 滑塊放在光滑的水平面上, 繩子跨過不計(jì)質(zhì)量的定滑輪, 如圖5所示. 開始時(shí), 使小球偏離一小角度, 然后自由釋放. 設(shè)繩子不可伸長(zhǎng), 試用拉格朗日方程寫出此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程.

圖5

分析滑塊與小球構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng), 自由度為2. 如果r和θ確定了, 系統(tǒng)便被完全確定, 故取r和θ為廣義坐標(biāo).系統(tǒng)受主動(dòng)力Mg和mg, 是有勢(shì)力所以用式(2)形式的方程. 由方程(2)可知, 拉格朗日函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律起決定一切的作用, 因?yàn)槔虾瘮?shù)能反映出系統(tǒng)的許多信息: 從動(dòng)能表達(dá)式可以反映系統(tǒng)是由什么樣的質(zhì)點(diǎn)和剛體構(gòu)成; 從勢(shì)能表達(dá)式可以反映系統(tǒng)內(nèi)部及其與外部相互作用的情況; 是否存在循環(huán)坐標(biāo), 從而斷定那些與循環(huán)坐標(biāo)相應(yīng)的廣義動(dòng)量守恒; 從拉氏函數(shù)不顯含時(shí)間t, 從而斷定相應(yīng)的廣義能量守恒, 當(dāng)然, 這時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒還必須看坐標(biāo)變換方程是否顯含時(shí)間t, 如此等等, 所以拉氏函數(shù)被稱為系統(tǒng)的特征函數(shù).

1° 求動(dòng)能表達(dá)式.

系統(tǒng)的動(dòng)能等于滑塊的動(dòng)能加小球的動(dòng)能, 故總動(dòng)能為

2° 求系統(tǒng)的勢(shì)能.

取0點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn), 則系統(tǒng)勢(shì)能為

3° 構(gòu)成拉氏函數(shù).

將(11)代入方程(2)即可. 這里同樣也是兩種導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問題. 化簡(jiǎn)后可得:

以上兩個(gè)例題是側(cè)重于運(yùn)動(dòng)微分方程的正確得出, 以及在解方程中須注意的問題, 所得出的都是高階微分方程組, 即使給出初始條件, 要解這些方程組仍有一定難度, 尤其是例1. 下面再給一個(gè)例題, 這是一個(gè)二階微分方程, 解這一個(gè)方程就方便得多.

圖6

例3 長(zhǎng)為l的均勻直桿AB, 其端點(diǎn)沿光滑的直線導(dǎo)槽ox及oy滑動(dòng),開始時(shí)桿與水平成0θ角, 桿由靜止開始滑動(dòng), 試用拉格朗日方程求桿著地時(shí)的角加速度和角速度.

分析因?yàn)闂U長(zhǎng)一定, 此桿只須一個(gè)量θ確定其位置, 故取θ為廣義坐標(biāo). 桿受主動(dòng)力mg, 是有勢(shì)力. 桿的動(dòng)能可由柯尼希定理寫出; 若以x軸為零勢(shì)面, 則可寫出其勢(shì)能. 故拉氏函數(shù)的構(gòu)成可寫為

著地時(shí), 0θ=, 由(14)、(15)式便可得出所求的角速度和角加速度.

[1] 周衍柏. 理論力學(xué)教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999

[2] 周培源. 理論力學(xué)[M]. 北京: 人民教育出版社, 1953

About Discussion Problems of the Application of Lagrange Equation

LIU Xi-bin
(College of Physics and Electronics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

Lagrange equation is an important equation in analytical mechanics. This paper summarizes some problems which should be paid attention to when use the Lagrange equation, and analyze and discuss based on the examples.

Lagrange equation; kinetic energy; potential energy; generalized force

O175.2; O313.3

A

1672-5298(2012)02-0037-05

2012-03-16

劉喜斌(1963- ), 男, 湖南華容人, 碩士, 湖南理工學(xué)院物理與電子學(xué)院副教授. 主要研究方向: 光電子與物理教學(xué)