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        GA-凸函數(shù)的若干不等式

        2012-09-20 03:29:18時(shí)統(tǒng)業(yè)
        關(guān)鍵詞:定義

        時(shí)統(tǒng)業(yè), 吳 涵

        (海軍指揮學(xué)院 浦口分院, 江蘇 南京211800)

        GA-凸函數(shù)的若干不等式

        時(shí)統(tǒng)業(yè), 吳 涵

        (海軍指揮學(xué)院 浦口分院, 江蘇 南京211800)

        利用GA-凸函數(shù)的定義和性質(zhì), 得到兩個(gè)不等式, 它們是已有的GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式的加細(xì).

        GA-凸函數(shù); Hadamard型不等式; 加細(xì)

        引言與引理

        定義1[1]設(shè)是定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 如果對(duì)于任意有

        許多文獻(xiàn)([如[2]、[3]、[4])給出下面關(guān)于GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式.

        定理1 設(shè)上的GA-下凸函數(shù), 則

        引理1[1]設(shè)是定義在上的函數(shù), 則上的GA-下凸函數(shù)的充要條件為上的下凸函數(shù).

        引理2[5]設(shè)上的下凸函數(shù), 則對(duì)任意有

        引理3 設(shè)是定義在上的GA-下凸函數(shù), 則

        證明令那么

        注:記

        引理5 設(shè)上的連續(xù)的GA-下凸函數(shù), 則有

        證明對(duì)任意有

        由GA-下凸函數(shù)的定義立得(7)式.

        主要結(jié)果及其證明

        定理2 設(shè)上的連續(xù)的GA-下凸函數(shù),則

        由式(9)和式(10)即可證得(8)式的左端不等式.

        由GA-下凸函數(shù)的定義得

        顯然, 定理2給出了(2)式左端部分的一個(gè)加細(xì).

        推論1 設(shè)上連續(xù)的GA-下凸函數(shù), 則

        證明在定理2中取立得.

        定理3 設(shè)是定義在上的連續(xù)的GA-下凸函數(shù),滿足(3)式, 則有

        由此證得(12)式的第一個(gè)不等式.

        由GA-下凸函數(shù)的定義得

        所以由式(14)、(15)、(5)、(6)得

        (12)式的第三個(gè)不等式得證.

        定理3給出了(1)式的一個(gè)加細(xì).

        推論2 設(shè)上連續(xù)的GA-下凸函數(shù), 那么有

        證明當(dāng)滿足(3)式, 由定理3即得推論2.

        [1] 吳善和. GA-凸函數(shù)與琴生不等式[J]. 貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2004, 22(2): 52~55

        [2] ZHANG X M,CHU Y M.ADouble Inequality for the Gamma and Psi Functions[J]. International Journal of Modern Mathematics, 2008, 3(1): 23~27

        [3] 華 云. 關(guān)于GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2008, 24(2): 147~149

        [4] 張小明, 褚玉明. 解析不等式新論[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2009: 198~203

        [5] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 第3版. 濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2004: 375~376

        Several Inequalities for GA-Convex Functions

        SHI Tong-ye, WU Han
        (Pukou College, Naval Command Institute, Nanjing 211800, China)

        Some refinements to Hadamard’s type inequality for GA-convex functions in the existing literature are obtained by using the definition and the properties of GA-convex function.

        GA-convex function; Hadamard’s type inequality; refinement

        O178

        A

        1672-5298(2012)02-0007-04

        2012-02-15

        時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963- ), 男, 河北張家口人, 碩士, 海軍指揮學(xué)院浦口分院副教授. 主要研究方向: 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)

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