趙小玲

（上海電機(jī)學(xué)院文理學(xué)院，上海 201306）

拉普拉斯變換是一種具有廣泛應(yīng)用的積分變換。由于拉氏變換及其逆變換有一些簡(jiǎn)潔明了易于計(jì)算的性質(zhì)，在各領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。而運(yùn)用拉氏變換的性質(zhì)去解決較復(fù)雜的常系數(shù)非齊次線性微分方程的初值問(wèn)題也成為解這一類(lèi)特殊微分方程的好方法。

1 拉普拉斯變換的定義和性質(zhì)

拉氏變換的幾個(gè)主要性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中都很重要。這些性質(zhì)都可由拉氏變換的定義及相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)加以證明。

性質(zhì)1表明，函數(shù)的線形組合的拉氏變換等于各函數(shù)的拉氏變換的線形組合。此性質(zhì)也可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的線形組合的情形。

性質(zhì)2表明，像原函數(shù)乘以后所做拉氏變換的像函數(shù)，等于其原先像函數(shù)作平移，因此性質(zhì)2稱為平移性質(zhì)。

性質(zhì)4表明，一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后取拉氏變換，等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)s再減去這個(gè)函數(shù)的初值。這使得我們有可能將的微分方程的初值問(wèn)題化作的代數(shù)方程。此性質(zhì)還可以推廣到函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)的情形。因此性質(zhì)4在解微分方程中有重要作用。

與性質(zhì)4相對(duì)應(yīng)，性質(zhì)5表明一個(gè)函數(shù)積分后取拉氏變換，等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換除以參數(shù)。性質(zhì)5也可以推廣到有限次積分的情形

2 拉氏變換的逆變換

在求像原函數(shù)時(shí)，常從拉氏變換表中查找，同時(shí)要結(jié)合拉氏變換的性質(zhì)。因此把常用的拉氏變換的性質(zhì)用逆變換的形式列出如下。

在用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常遇到的像函數(shù)是有理分式。一般可將其分解為部分分式之和，然后再利用拉氏變換表求出像原函數(shù)。

3 微分方程的拉氏變換解法

在解決常系數(shù)非齊次線性微分方程的初值問(wèn)題時(shí)，若運(yùn)用微分方程的一般解法，首先要求出常系數(shù)非齊次線性微分方程所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解和非齊次線性微分方程本身的一個(gè)特解，得到非齊次線性微分方程的通解。然后代入初始條件，求出通解中的常數(shù)，從而得到常系數(shù)非齊次線性微分方程滿足某種初始條件的特解。整個(gè)解題過(guò)程略顯繁雜。

而利用拉氏變換解常系數(shù)非齊次線性微分方程時(shí)，則在對(duì)微分方程作拉氏變換的過(guò)程中就考慮了初始條件，得到的就是滿足這個(gè)初始條件的特解，相對(duì)比較簡(jiǎn)潔。其具體步驟如下：常系數(shù)線性微分方程作拉普拉斯變換（考慮到初始條件），得到像函數(shù)的代數(shù)方程；解代數(shù)方程，得到像函數(shù)并分解成部分分式之和；利用拉氏變換表求出像函數(shù)的拉普拉氏逆變換，得到像函數(shù)的原函數(shù)，即微分方程的特解。

用一般的微分方程的解法：

即為原方程滿足初始條件的特解。

用拉氏變換解線性微分方程，在求解過(guò)程中就考慮了初始條件，得出的就是滿足題設(shè)初始條件的特解，很簡(jiǎn)潔。可見(jiàn)，在解決常系數(shù)線性微分方程的初值問(wèn)題時(shí)，用拉普拉斯變換法是一種非常簡(jiǎn)便有用的方法。