劉云龍， 高存臣， 任啟峰， 郭真真

(1.中國海洋大學數學科學學院，山東青島 266100;2.中國海洋大學信息科學與工程學院，山東青島 266100)

0 引言

隨著海洋經濟的迅速發(fā)展，能夠進行海洋資源開發(fā)和探測的水下機器人研究受到了國內外眾多科研機構和學者的廣泛關注［1-3］。具有良好動態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能的控制系統(tǒng)是他們進行高質量水下探測的前提。由于水下機器人系統(tǒng)各個自由度之間相互耦合、運動的時變性以及環(huán)境的復雜性，水下機器人系統(tǒng)設計需要采用調節(jié)精確度高、響應速度快的控制策略，以提高水下機器人的適應性和自主性。

變結構控制是一種先進的非線性控制策略，其非線性主要表現為控制的不連續(xù)性?；？刂剖亲兘Y構控制策略中一種簡單有效的控制模式，其滑動模態(tài)對系統(tǒng)內部參數攝動和外部干擾具有完全魯棒性［4］。近年來，滑模變結構控制理論在滯后系統(tǒng)、隨機系統(tǒng)、廣義系統(tǒng)、混沌系統(tǒng)等領域取得了很大進展。最優(yōu)控制［5］、自適應控制［6］、模糊控制［7］等智能控制策略也被應用于滑模變結構控制設計。文獻［8］給出了輪式移動機器人的滑模跟蹤控制設計。然而，滑?？刂茣鹨欢ǖ南到y(tǒng)抖振，影響系統(tǒng)性能。Sigmoid函數具有光滑性、嚴格單調性、飽和性特點。所謂飽和性是指函數值有上、下界，飽和值可為0/1，±1等［9］。文獻［10］給出了基于 sigmoid函數的滑?？刂?，削弱了系統(tǒng)抖振，系統(tǒng)最終趨近于平衡態(tài)，但趨近過程時間較長。文獻［11］融合了PID控制、模糊控制和神經網絡控制等，給出了一種實用的S面控制策略，改進了水下機器人控制器的收斂速度。

軟變結構控制來源于非連續(xù)的無滑模變結構控制策略，具有調節(jié)精確度高，響應速度快，幾乎不產生系統(tǒng)抖振等優(yōu)點。文獻［12］給出了基于分段線性二次型最優(yōu)控制的輸入受限系統(tǒng)的軟變結構控制設計。文獻［13］基于飽和函數等理論討論了線性時不變系統(tǒng)的軟變結構控制策略。軟變結構控制基于無滑模變結構控制模式產生和發(fā)展，不同于滑模變結構控制。

水下機器人系統(tǒng)設計需要采用能夠高速調節(jié)和快速響應的控制策略，滑模變結構控制策略雖然具有上述優(yōu)點，但易使系統(tǒng)產生抖振，影響系統(tǒng)的動態(tài)性能。本文重點研究控制受限情形下的水下機器人縱向自由度方向的深度控制問題。借助具有光滑性和飽和性的sigmoid函數，給出水下機器人軟變結構控制策略。首先，討論水下機器人軟變結構控制的穩(wěn)定性。其次，構造水下機器人軟變結構控制器，給出水下機器人軟變結構控制具體算法。最后，通過仿真實驗分析基于sigmoid函數的水下機器人軟變結構控制系統(tǒng)總體性能優(yōu)于線性控制、飽和線性控制和基于變飽和函數的軟變結構控制，具有良好的控制效果。

1 基于sigmoid函數的軟變結構控制系統(tǒng)

為了更好地分析軟變結構控制的結構特征，首先介紹具有有限k個子控制器的非連續(xù)變結構控制。

考慮n維線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)，即

式中:x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài);u(t)∈R為系統(tǒng)控制輸入;A∈Rn×n為常值矩陣;b∈Rn為常值向量，且(A，b)為可控矩陣對。

水下機器人控制輸入通常是受限的，假定滿足

式中，u0為正常數。

為了簡化數學公式書寫，在無歧義的前提下，本文以下數學公式中的時間變量t，一律省略。

引入水下機器人控制器，即

式中:F為控制器，p為選擇策略參量，他由不連續(xù)函數S(x)決定，即

這種非連續(xù)變結構控制器由有限k個子控制器構成，其控制系統(tǒng)結構如圖1所示。

圖1 具有k個子控制器的變結構控制系統(tǒng)結構Fig．1 Block schematic of VSC withksub-controllers

具有k個子控制器的非連續(xù)變結構控制，無論是無滑模的變結構控制模式，還是滑模變結構控制模式，其主要目的都是用來高速調節(jié)趨近速度、快速縮短到達時間和削弱變結構控制系統(tǒng)在控制過程中時間滯后、空間滯后、未建模特性等因素引起的抖振。這類變結構控制的子控制器數目越多，系統(tǒng)運動軌線趨近平衡態(tài)的時間通常就越短，但過多的子控制器不符合經濟利益，同時也會降低控制器的使用壽命和安全性。為了消除或削弱上述抖振問題，考慮若S(x)為連續(xù)函數，選擇策略參量p可取無窮多的值，也是連續(xù)函數，一般表示為

這種具有連續(xù)選擇策略參量p的變結構控制稱為軟變結構控制［13］，其控制系統(tǒng)結構如圖2所示。

圖2 軟變結構控制系統(tǒng)結構Fig．2 Block schematic of SVSC

Sigmoid函數是神經網絡中一類重要激活函數，具有光滑性、嚴格單調性、飽和性，一般表達式為

式中:參數α為增益，決定變化速率;θ為偏移量。該函數光滑，嚴格單調遞增，變化范圍為(0，1)。不失一般性，取偏移量θ=0，作簡單線性變換，使其變化范圍為(-1，1)，有

實際問題中，α可根據趨近速度和原點精確度適當調節(jié)，這里取α=1，有

基于sigmoid函數的軟變結構控制設計類似于基于變飽和函數的軟變結構控制，具有高調節(jié)精確度、快速響應的優(yōu)點。變飽和函數在變量臨界值外為常數，在變量臨界值處不具有高階連續(xù)導數，也就是說，變飽和函數僅具有單調性和飽和性，所設計軟變結構控制系統(tǒng)在臨界值處不具有平滑性。Sigmoid函數既具有飽和性，又具有飽和函數所不具備的嚴格單調性和光滑性?；趕igmoid函數設計的軟變結構控制系統(tǒng)結構如圖3所示。

圖3 基于sigmoid函數的軟變結構控制系統(tǒng)結構Fig．3 Block schematic of SVSC based on sigmoid functions

2 基于sigmoid函數的軟變結構控制器設計

考慮具有控制受限(2)的線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)(1)，設計軟變結構控制器，即

式中:u1為線性控制;u2為基于sigmoid函數的軟變結構控制?？蓸嬙煜蛄縦1∈Rn，k2∈Rn，使得

式中，β＞0為給定參數。選擇策略參量p取為如下形式，即

式中，γ＞0為給定參數，影響選擇策略參量p的取值。p和u2在自變量為標量時的曲線變化如圖4所示。

圖4 自變量為標量時的p和u2的曲線Fig．4 The curves of p and u2when the variable is a scalar

由系統(tǒng)(1)和式(5)，得閉環(huán)軟變結構控制系統(tǒng)為

此軟變結構控制系統(tǒng)應當滿足以下兩個條件:

1)控制輸入滿足|u|≤u0;

2)在條件1)的前提下，系統(tǒng)平衡態(tài)具有全局漸近穩(wěn)定性，考慮控制受限時，所有的系統(tǒng)運動軌線應出發(fā)于一個能保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的區(qū)域，即

式中:vG＞0為區(qū)域G的最大邊界;R∈Rn×n為待定矩陣。

2．1 軟變結構控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

分析基于sigmoid函數的閉環(huán)軟變結構控制系統(tǒng)(7)的穩(wěn)定性。在控制受限(2)的前提下，系統(tǒng)(7)的穩(wěn)定性取決于參量p和矩陣R的合理選取。

在區(qū)域G內，構造Lyapunov函數為

對V(x)取時間變量的導數為

根據Lyapunov穩(wěn)定性理論，若V(x)＜0，則系統(tǒng)(7)是漸近穩(wěn)定的。即對任意給定的正定矩陣Q(p)，對于Lyapunov方程

總存在解矩陣R。

下面分析參量p的取值范圍。當系統(tǒng)運動軌線趨近原點時，即‖x‖→0，由洛必達法則可知，

對于參量p，此時有

2．2 軟變結構控制器的參量設計

此時系統(tǒng)運動軌線發(fā)生在區(qū)域G的邊界上，有

式中，R為對稱正定矩陣。解上式得

代入式(12)，得

由于滿足條件2)的軟變結構控制必須在條件1)的前提下設計，將式(4)代入式(2)，得

若要使上式成立，只要滿足

由式(5)和式(12)可知，

在區(qū)域G內，以Lyapunov函數(14)為最大邊界，構造一個小區(qū)域H，使得其內的系統(tǒng)運動軌線最終趨近平衡態(tài)。為了不至于引起誤解，小區(qū)域H內的系統(tǒng)運動軌線曲線記為，表示為

為了充分利用控制器，u1)的最大值|^u1)|對應的系統(tǒng)運動軌線應在穩(wěn)定區(qū)域H的邊界上，即

解上式得

因此，可以得到

將式(17)、式(20)代入式(16)，得

這樣選擇策略參量p就完全確定了。取一個滿足條件的特殊形式，即

由式(6)、式(7)和式(22)可知，基于sigmoid函數的軟變結構控制設計完成。

將式(22)代入式(15)得

對于水下機器人系統(tǒng)，在區(qū)域G內，v(x)的最大值就是vG，則式(23)可化簡為

2．3 軟變結構控制的算法

基于sigmoid函數的軟變結構控制設計主要是構造合適的選擇策略參量p，使得系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定。選擇策略參量p取決于以下3個方面:1)式(6)中的γ和k2;2)式(22)中的β和k1;3)式(9)中的矩陣R。為了設計這個控制器，總共需要構造這5個參量。整個算法設計流程為:

1)利用極點配置法，選擇合適的向量k1，保證矩陣A-的特征值均具有負實部，使得系統(tǒng)具有良好的動態(tài)品質。

2)考慮pmin=0的特殊情形，對任意給定正定矩陣Q(0)，根據 Lyapunov方程(11)，有

解出矩陣R。

3)給定 β，γ，將pmin=0 代入式(24)，得可得區(qū)域G的邊界vG，使得從給定初態(tài)區(qū)域X0出發(fā)的系統(tǒng)運動軌線最終趨近于平衡態(tài)。如果上述情形無法滿足，應重復第一步，利用極點配置法，選一個較小的控制向量k1。

4)選擇合適的向量k2。考慮p=1時，對任意給定正定矩陣Q(1)，根據Lyapunov方程(11)，有

如果滿足上述條件的矩陣R不存在，則對于式(24)，改變pmin的取值，重復以上步驟，直至得到所有的參量都合乎設計要求。

3 仿真實驗與分析

水下機器人是一個具有六自由度運動的剛體。為了便于對水下機器人運動規(guī)律進行研究，將其運動分解為在深度控制通道、航向控制通道和橫滾控制通道。文中略去相互間耦合作用，重點研究了基于sigmoid函數的軟變結構控制在水下機器人深度控制通道的應用，其他兩個通道可用類似的方法得到。

考慮水下機器人系統(tǒng)(1)，參數為

式中:x1為水下機器人垂直深度，單位為m;x2為水下機器人垂直升降速度，單位為m/s;x3為水下機器人垂直升降加速度，單位為m/s2?？刂戚斎雞滿足

初態(tài)向量要求在區(qū)域X0={1，x2，x3}內，其中各分量滿足|x1|≤10 m，|x2|≤0.05 m/s，|x3|≤0.005 m/s2。

文獻［15］給出了水下機器人垂直深度的線性控制和飽和線性控制器設計，文獻［13］給出了水下機器人垂直深度基于變飽和函數的軟變結構控制器設計。下面設計基于sigmoid函數的水下機器人軟變結構控制器。

1)選取合適的特征值 λ1=-0.003 7，λ2，3=-0.002 5±j0.005，由極點配置法可得向量k1=[1.12×10-74.84×10-58.61×10-3]，使得系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能。

2)由式(25)得，矩陣

3)給定 β=0.3，γ=2，將pmin=0代入式(24)，得到區(qū)域G的邊界vG，滿足X0?G，使得從X0出發(fā)的系統(tǒng)運動軌線最終趨近平衡態(tài)。

4)由式(26)得，向量 k2=［4.46×10-71.45×10-41.50 ×10-2］。

仿真實驗完成了水下機器人初始位置靜止在水面，以方向向下，大小為4×10-3m/s2的初始加速度潛水深度控制研究。圖5為采用4種控制方法的水下機器人垂直深度x1的仿真對比結果，圖6為采用4種控制方法的控制輸入u的仿真對比結果。

圖5 水下機器人垂直深度曲線對比Fig．5 Comparison of the vertical depth curves for AUV

圖6 水下機器人控制輸入曲線對比Fig．6 Comparison of the control input curves for AUV

圖5和圖6中，曲線1表示線性控制，曲線2表示飽和線性控制，曲線3表示基于變飽和函數的軟變結構控制，曲線4表示基于sigmoid函數的軟變結構控制。由仿真結果可知，在水下機器人深度控制中，基于sigmoid函數的軟變結構控制系統(tǒng)，在響應速度、調節(jié)精確度方面，與基于變飽和函數的軟變結構控制相差無幾，而優(yōu)于線性控制和飽和線性控制。在實現穩(wěn)態(tài)運動過程中，控制輸入更為平滑，幾乎無抖動，優(yōu)于其他控制情形。

4 結語

本文提出了基于sigmoid函數的水下機器人軟變結構控制策略。構造了基于sigmoid函數的軟變結構控制器，并給出了水下機器人軟變結構控制的具體算法，并通過仿真實驗對其可行性進行了檢驗。該軟變結構控制調節(jié)精確度高，響應速度快，具有良好的動態(tài)品質，可進一步推廣到其他形式的機器人模型和復雜系統(tǒng)。需要指出的是水下機器人具有自由度耦合和外界環(huán)境干擾情形的軟變結構控制，有待于進一步研究和完善。

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