何朕， 王廣雄， 楊文哲

(哈爾濱工業(yè)大學控制科學與工程系，黑龍江哈爾濱 150001)

0 引言

欠驅動系統(tǒng)是指系統(tǒng)的控制輸入的個數(shù)m少于自由度數(shù)目n，即m＜n。在生產和科研活動中有不少的機械系統(tǒng)和運動系統(tǒng)都是欠驅動系統(tǒng)。對于用運動學模型來描述的欠驅動系統(tǒng)，例如輪式機器人，系統(tǒng)的主要問題是具有不可積分的運動學(或速率)約束，稱為非完整控制［1］，非完整系統(tǒng)的鎮(zhèn)定需要用不連續(xù)或不光滑的反饋控制律。對于具有動能T的動力學系統(tǒng)，其運動問題可通過Lagrange方程來進行描述，欠驅動動力學系統(tǒng)也可能存在類似的約束，即不可積分的動力學(或加速度)約束［2-3］，也是不能用光滑的控制律來進行鎮(zhèn)定的。不過有相當一部分的欠驅動動力學系統(tǒng)并不存在不可積分的約束，這些系統(tǒng)就可以用光滑的控制器。即使是具有不可積分約束的欠驅動系統(tǒng)，如果只研究其跟蹤控制問題，也可以采用連續(xù)控制律［4-7］。對于這些可以采用連續(xù)控制律的系統(tǒng)來說，常規(guī)的控制設計方法原則上都是可以用的，較為系統(tǒng)性的有Ortega的對互聯(lián)結構與阻尼進行配置的無源性控制(interconnection and damping assignment-passivity based control，IDA-PBC)［8-9］。不過這種無源性IDA-PBC的偏微分方程一般是很難處理的，而且IDA-PBC法一般只談穩(wěn)定性，并不包含控制系統(tǒng)設計中的性能(performance)內容。與IDA-PBC法平行的各種非線性(狀態(tài)空間)方法原則上也都可以用來對欠驅動系統(tǒng)進行設計，例如輸入輸出精確線性化方法［10］，Kokotovi c＇的反步法 (backstepping)［11-12］和 H∞擾動抑制控制［13-15］等方法，其中反步法設計也是一種系統(tǒng)性的設計方法，并且得到廣泛的認同。

對于欠驅動動力學系統(tǒng)來說，根據(jù)其廣義坐標之間的相互關系還可分為有動態(tài)聯(lián)系和無動態(tài)聯(lián)系的系統(tǒng)。有動態(tài)聯(lián)系的系統(tǒng)又稱為有耦合的系統(tǒng)，例如對垂直起降飛機來說，滾動力矩和橫向加速度之間是有耦合的［5］。對于有耦合的系統(tǒng)來說，如果采用反步法來設計，就需要通過坐標變換和輸入變換，先將其解耦并變換成嚴格反饋系統(tǒng)，再采用反步法［3-5］。不過這種有耦合的系統(tǒng)的設計一般還是比較容易處理的。因為在這種系統(tǒng)中，即使是被動的自由度，也還可以通過耦合項與控制輸入建立聯(lián)系。相比之下，無動態(tài)聯(lián)系的欠驅動系統(tǒng)的控制設計就有一定的難度。因為無動態(tài)聯(lián)系的欠驅動系統(tǒng)只能通過廣義坐標建立起聯(lián)系，如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，廣義坐標等于零，這時系統(tǒng)中的被動自由度與控制輸入的聯(lián)系就中斷了。所以從控制的角度來說，無動態(tài)聯(lián)系的欠驅動系統(tǒng)的控制設計的難度就會更大一些。本文以無動態(tài)聯(lián)系的欠驅動動力學系統(tǒng)作為欠驅動系統(tǒng)的代表來進行研究，這樣更能反映出本文所提出的設計方法的特點。

從反步法來說，標準的反步法是一種狀態(tài)空間方法［12］，是先從一個可鎮(zhèn)定的子系統(tǒng)(一般是一個一階的子系統(tǒng))開始，設計一反饋控制律。由于該子系統(tǒng)的實際輸入量并不是設計時用的這個虛擬輸入，二者是有誤差的，所以要再在該子系統(tǒng)前加一積分環(huán)節(jié)來消除誤差，這樣逐級遞推設計直到所要加的虛擬輸入是真正的控制輸入 u［4，11，16］。這樣逐級遞推可得到Lyapunov函數(shù)的一個遞推公式，根據(jù)該Lyapunov函數(shù)的導數(shù)要小于零的條件，算得所要求的控制律u。不過這種狀態(tài)空間反步法也存在著一些問題。第一個問題是控制律中的求導運算。因為反步法處理的系統(tǒng)一般都包含不確定性，有的是非線性與未知參數(shù)相乘而形成的參數(shù)不確定性，有些非線性項則僅知其攝動的界，而設計要求系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)的導數(shù)要小于零，即V·＜0。根據(jù)這個不等式來求解的控制律中就會出現(xiàn)導數(shù)項，包括對一些非線性函數(shù)的求導。反步法中一步接一步的遞推運算，會使求導運算的項目迅速增加，大量的求導運算成為反步法應用時的一個累贅［3，17-18］。常規(guī)反步法的第二個問題是設計實現(xiàn)時往往是一個單回路系統(tǒng)［11，18］。由于是單回路系統(tǒng)，魯棒性差，容易受到參數(shù)攝動和各種擾動的影響，所以反步法設計常還要另外附加一些魯棒性和自適應的設計考慮［11-12］。另外，反步法中還要求這些攝動能用有界算子來描述，如果有相乘的非線性項，例如x1x24，就滿足不了這一要求［11-12］。針對上述反步法中的問題，本文提出一種新的反步法設計思路，可以避免或至少可以改善上述的這些問題，這就是頻域反步法。

1 頻域反步法設計

本文的反步法設計不是一個積分環(huán)節(jié)一個積分環(huán)節(jié)的往前推進，而是根據(jù)可測到的物理變量，一個回路一個回路的往前推進。具體來說是，先從一個可鎮(zhèn)定的子系統(tǒng)開始，設計一輸出反饋(虛擬的)。再根據(jù)對象本身的構成往前推，設計第二個反饋回路來消除實際變量與這個虛擬輸入變量之間的誤差。這樣逐級遞推直到所要求的控制量是真正的控制輸入u。由于是一個回路一個回路的遞推進行，一般系統(tǒng)也就只有2、3個回路，所以系統(tǒng)的實現(xiàn)比較簡單。這里設所討論的系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程中的各函數(shù)向量都是光滑的，即系統(tǒng)在平衡點是可線性化的，所以可以先按線性化系統(tǒng)來設計，再分析其吸引域或穩(wěn)定區(qū)域。這種反步法從第二步開始，系統(tǒng)的復雜度就增加了。因此作為一種系統(tǒng)性的方法來說，宜采用H∞控制來進行設計，即設計每一步的輸出反饋下的H∞控制律。這個H∞優(yōu)化求解與常規(guī)的反步法中遞推求解Lyapunov函數(shù)所起到的作用是相同的，是為了求得保證穩(wěn)定的最終的控制律。H∞控制理論是一種頻域設計(指設計指標和設計考慮都是從頻域上來提出的)和狀態(tài)空間計算相結合的控制系統(tǒng)的設計理論［19］。因此，相對于狀態(tài)空間反步法來說，本文的反步法可稱為頻域反步法。由于H∞設計中可包含魯棒性要求，而且所設計的系統(tǒng)是由多重反饋回路所構成的，所以頻域反步法比單回路的狀態(tài)空間反步法具有更強的魯棒性。不必要像狀態(tài)空間反步法那樣，每一步都要另外附加自適應或魯棒性的考慮。

現(xiàn)結合一球-桿系統(tǒng)來進行說明。圖1為球-桿系統(tǒng)的示意圖［8，11，20］。圖中 τ為施加在桿上的力矩，α為桿的轉角，x為球在桿上的位置。這個球的位置x不是直接可控的，x是通過桿的轉動來控制的。之所以舉球-桿系統(tǒng)為例，是因為球-桿系統(tǒng)是這類無動態(tài)聯(lián)系的欠驅動動力學系統(tǒng)的典型系統(tǒng)。其非線性微分方程中就含有前面所說的變量相乘的非線性項+。這里+號表示正反饋，x1為小球的位置，x4為桿轉動的速率。從物理概念上來說，就是當偏差較大時，轉動中所產生的離心力會將桿上的小球甩出去。這種非線性項不能用有界算子來描述，所以球-桿系統(tǒng)包含了這類系統(tǒng)的設計難點，也經常是一些新的系統(tǒng)設計方法在提出時的研究對象［8，10，11］。

圖1 球－桿系統(tǒng)Fig．1 The ball and beam system

本例的背景是德國Amira公司生產的BW500球-桿系統(tǒng)，球的轉動慣量Ib=4.32×10-5kg·m2，球的質量m=0.27 kg，球的半徑r=0.02 m，桿的轉動慣量Iq=0.140 2 kg·m2。

這個系統(tǒng)的動能為

理論上桿的轉動 α對小球移動的動能是有影響的，但現(xiàn)已忽略，所以式(1)中并未出現(xiàn)xα項，即忽略了這兩個坐標之間的動態(tài)聯(lián)系。

該系統(tǒng)的勢能為

式中，g為重力加速度。

根據(jù)Lagrange方程式從式(1)和式(2)可得此球-桿系統(tǒng)的運動方程［20］為

現(xiàn)在用頻域反步法來進行設計。對球-桿系統(tǒng)的平衡點x=0來說，可以忽略式(3)和式(4)中的離心力項和哥氏加速度項，并令α→0°，得平衡點x=0處的線性化方程為

代入具體參數(shù)后為

式中:x的量綱為m;α的量綱為rad;u的量綱為V。

頻域反步法設計是先從低維的子系統(tǒng)開始的，對該子系統(tǒng)設計一個虛擬的控制輸入。結合式(7)來說，這第一步的子系統(tǒng)為

式中，uα為代替α的虛擬控制。式(9)的系統(tǒng)比較簡單，可采用一般的PD控制，即

取此系統(tǒng)的一對極點為-2、-2，可得比例項和微分項的系數(shù)分別為

但是實際上α才是式(7)系統(tǒng)的真正輸入，設α與uα的誤差為Z1=α-uα，所以反步法的第二步是設計式(8)中的控制律u(即輸入力矩)來減少這個Z1，即使α收斂于這個虛擬的控制量uα。

圖2為用上述思路進行反步法設計的框圖，圖中虛線右側就是與式(7)和式(8)對應的球-桿系統(tǒng)。圖中的Kα(s)為這第2步要設計的控制器。圖中從u到誤差信號-Z1之間整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)關系是第2步設計中的對象特性，設用G(s)來表示。由于現(xiàn)在的傳遞函數(shù)關系比較復雜，故第2步宜采用H∞設計，而這個G(s)就是H∞設計中的廣義對象。這一步設計中系統(tǒng)的高頻段和低頻段要求是比較容易確定的，而對象的正反饋回路中又存在虛軸上的特征值，故這一步宜采用H∞回路成形設計［21］。H∞回路成形設計中控制器由兩部分構成，即

式中:K∞(s)為要通過回路成形來設計的H∞控制器;W(s)為權函數(shù)，是用來反映所要求的系統(tǒng)的高低頻特性。設W(s)中的增益為K1，則由圖2可知，這個α回路的低頻特性可近似看成是3.495K1/s2，這個低頻段特性以-40 dB/dec的斜率在ωc1=處穿越0 dB線，這個ωc1反映了角度α回路的帶寬大小。故設計中取K1=50，使α回路的帶寬約為20 rad/s。另外，Kα(s)的高頻段應該有較快的衰減以削弱高頻噪聲的影響，保證系統(tǒng)的魯棒性以及降低對u值的瞬間要求，故最終取W(s)為

圖2 控制系統(tǒng)的構成Fig．2 Formation of the control system

H∞成形設計時這個W(s)與對象G(s)構成成形對象Gs(s)=G(s)W(s)。將Gs(s)組成如圖3所示的標準H∞成形設計框圖，其中w= [w2]T和z= [z1z2]T分別為回路成形法中的輸入和輸出。利用MATLAB的hinfsyn函數(shù)，求解從w到z系統(tǒng)Tzw的H∞優(yōu)化問題，得系統(tǒng)的H∞范數(shù)為

滿足回路成形法γ＜5的魯棒性設計要求［21］。所得的H∞控制器為

圖3 回路成形的設計框圖Fig．3 Block diagram for the loop shaping design

根據(jù)式(12)得最終的球-桿系統(tǒng)的α回路的控制器為

圖4為控制器的Bode圖，由圖4可知，Kα(s)的幅頻特性在高頻段有較大的衰減，滿足設計要求。圖5以及圖6中的曲線a為所設計系統(tǒng)在α回路和x回路分別斷開時的Nyquist圖線，即在Kα前斷開和在PD前斷開得到的圖線。由圖5和圖6可見，無論從哪個回路看，系統(tǒng)都具有相當大的穩(wěn)定裕度，因而也具有足夠的魯棒性。圖5中曲線的開裂點對應于圖2中正反饋回路虛軸上諧振模態(tài)的∞半徑。

圖4 控制器Kα(s)的Bode圖Fig．4 Bode plot of the controller Kα(s)

圖5 角度α回路的Nyquist圖Fig．5 Nyquist plot of the angle loop

圖6中也繪出了反步法第一步對x采用虛擬控制uα時的Nyquist圖線b。虛擬控制下的對象是雙積分環(huán)節(jié)，而現(xiàn)在的對象則是開環(huán)不穩(wěn)定的，雖然是完全不同的對象特性，但是在反步法設計后，在-1點附近的區(qū)域，仍然逼近虛擬控制時所指定的特性，即具有非常相似的穩(wěn)定裕度。這也就是本文的反步法設計的特點和優(yōu)越性，即系統(tǒng)的主回路(外回路)特性可以采用簡單的PD設計來給定，再用反步法設計來給于保證。

圖6 球位置x回路的Nyquist圖Fig．6 Nyquist plot of the position loop

這里要說明的是，上面的設計只是工作點附近的線性化系統(tǒng)的設計。當偏差增大時，非線性系統(tǒng)的特性就顯現(xiàn)出來了。圖7為所設計的控制器在不同初始條件下的調節(jié)過程，仿真中用的對象模型為式(3)和式(4)的非線性方程組。由圖7可知，當偏差增大時，x(t)的初始的反向超調和α(t)曲線上的反向峰值急劇增大，所要求的功放級的控制電壓u(t)出現(xiàn)很高的尖峰。

圖7 不同初始條件下的調節(jié)過程Fig．7 Transient responses under various initial conditions

圖7中的尖峰現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)所特有的非線性現(xiàn)象，是由線性化時所忽略的未建模非線性引起的。具體來說，是由式(3)中的離心力xα2項所引起的，這一項隨 α的平方而增長，很快會超過式(3)中對系統(tǒng)起鎮(zhèn)定作用的sinα項，而形成一個很強的正反饋作用，又助長 α的增長，最終可導致不穩(wěn)定。這里雖然是結合球-桿系統(tǒng)來說的，但尖峰(peaking)現(xiàn)象卻是一種典型的非線性現(xiàn)象［11］。Kokotovic在文獻［11］中將這個現(xiàn)象稱為 BB綜合癥(ball beam-syndrome)。對于這種非線性尖峰現(xiàn)象，一般可以用飽和特性來抑制尖峰項的增長［11，22］。結合本例來說，Amira公司的球 -桿系統(tǒng)功放級的限幅值為±10 V。圖8為利用此限幅特性來抑制尖峰現(xiàn)象的仿真結果，由圖8可見，各變量均已進入正常范圍，不再有尖峰出現(xiàn)。圖8在仿真時還考慮了小球的行程限制。該球-桿系統(tǒng)的行程為±0.4 m，兩端有止檔。如圖8所示的仿真情況對應于桿的初始角為-0.5 rad時，球停靠在一端的初始狀態(tài)，代表了該球-桿系統(tǒng)正常工作時的最大工作范圍(桿的轉動也有止檔限制，約±30°)。由上面的分析可知，雖然線性化設計忽略了系統(tǒng)的非線性特性，而且后者還可能引起嚴重的尖峰現(xiàn)象，但是只要適當運用反饋回路中的飽和特性，所設計的球-桿系統(tǒng)在實際的工作范圍內都是能夠穩(wěn)定工作的。利用飽和特性來抑制非線性項的增長以保證穩(wěn)定性，也是當前非線性系統(tǒng)設計的一個新的動向［23］。

圖8 功放級帶飽和時的調節(jié)過程Fig．8 Transient responses under saturation

2 結語

本文結合欠驅動系統(tǒng)所提出的頻域反步法，不同于狀態(tài)空間反步法，是逐個回路遞推進行的H∞設計。這種反步法的設計思路清楚，設計后的系統(tǒng)特性基本上可復現(xiàn)第一步虛擬控制回路的特性。而且由于是逐個回路的遞推進行，一個回路設計一個控制器，所以系統(tǒng)實現(xiàn)是比較簡單的。又因為采用了多重回路的結構，系統(tǒng)的魯棒性也較好。雖然這是一種基于線性化的H∞設計，將系統(tǒng)的非線性歸入未建模非線性，而且有可能出現(xiàn)尖峰，但是只要在反饋回路中適當引入飽和特性，就可避免尖峰現(xiàn)象，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定。除欠驅動系統(tǒng)外，頻域反步法也可應用于其他各類系統(tǒng)的設計。

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