馬 堃，褚 園，焦 錚

（黃山學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 黃山 245041）

基于拉普拉斯變換下阻尼振動的研究

馬 堃，褚 園，焦 錚

（黃山學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 黃山 245041）

本文采用拉普拉斯變換法求解阻尼振動問題，分別給出了過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼阻尼振動的運動學(xué)方程。此外，還利用Matlab軟件，分初速度為零和不為零兩種情況，就阻尼系數(shù)對這三種阻尼振動的影響作了可視化處理。

阻尼振動；拉普拉斯變換；Matlab

在實際問題中，阻尼振動比簡諧振動更加普遍，在物理、機械、電子、自動化等各個方向，都對其進(jìn)行了大量的研究工作［1－5］。然而，作為基礎(chǔ)理論教學(xué)，一般物理教材對阻尼振動方程的處理，或者是直接給出結(jié)果［6］，或者是采用高等數(shù)學(xué)中二階線性常微分方程的處理辦法［7］。本文將采用拉普拉斯變換法求解阻尼振動問題，這樣求解的優(yōu)點將微分方程轉(zhuǎn)化為p空間的二次代數(shù)方程求解，再根據(jù)二次方程的判別式很自然的就可以將阻尼振動分成過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼振動三種情況。為了形象化，本文分初速度為零和不為零兩種情況，分別就不同阻尼系數(shù)，對過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼振動三種阻尼振動的影響作了可視化處理。

1 阻尼振動的拉普拉斯解法

如圖1，設(shè)一放在水平地面上的彈簧振子，彈簧彈性系數(shù)為k，所系物體的質(zhì)量為m，對于振動系統(tǒng)，振動速度比較小時，阻力正比于運動的速度v，即

式中γ為阻力系數(shù)。

圖1 阻尼振動計算用圖

設(shè)在t＝0時，將振子拉至距平衡位置O距離為x0處，并以初速度v0開始釋放，則在距平衡位置x處時，有如下的定解問題

上式即為待求解的阻尼振動動力學(xué)方程的定解問題，方程右邊第一項是彈簧的回復(fù)力，第二項是物體在x處所受的阻力。

為方便求解這個定解問題，本文將采用拉普拉斯變換法，根據(jù)定解問題的初始條件有

從而，定解問題（1）通過拉普拉斯變換可以轉(zhuǎn)換為p空間的代數(shù)方程

兩邊同除m，整理可得

（4）式即定解問題（1）在p空間的解。下面的問題就是將p空間的解反演到t空間中。為此，我們設(shè)p1、p2為方程p2＋2βp＋＝0的兩個根，則其判別式為

根據(jù)阻尼系數(shù)β的大小不同，其解可以分為如下三種情形，分別對應(yīng)三種阻尼振動。

2 三種阻尼振動

2.1 過阻尼振動

將上式進(jìn)行拉普拉斯反演，可得

（9）式即為過阻尼振動的運動學(xué)方程。為方便作圖，我們對上式經(jīng)行如下處理：設(shè)x0＝1，ω0＝1，圖2表示初始速度為0，阻尼系數(shù)分別為2，3，4，5的過阻尼振動位移與時間的關(guān)系圖；圖3表示表示初始速度為2，阻尼系數(shù)分別為2，3，4，5的過阻尼振動位移與時間的關(guān)系圖。

圖2 初速度為零的過阻尼振動

圖3 初速度不為零的過阻尼振動

由上圖我們可知：當(dāng)阻力很大時，質(zhì)點的坐標(biāo)單調(diào)地趨于0，質(zhì)點的運動不僅不是周期的而且甚至不是往復(fù)的，即將質(zhì)點移開平衡位置后釋放，質(zhì)點便慢慢回到平衡位置停下來，通常稱這種狀態(tài)為過阻尼狀態(tài)。可以看到阻尼系數(shù)β越大，恢復(fù)到平衡位置所需的時間越長。

2.2 臨界阻尼振動

當(dāng)β2＝

將上式進(jìn)行拉普拉斯反演，可得

（11）式即為過阻尼振動的運動學(xué)方程。為方便作圖，我們對上式經(jīng)行如下處理：設(shè)x0＝1，圖4表示初始速度為0，阻尼系數(shù)分別為2，3，4，5的過阻尼振動位移與時間的關(guān)系圖；圖5表示表示初始速度為2，阻尼系數(shù)分別為2，3，4，5的過阻尼振動位移與時間的關(guān)系圖。

圖4 初速度為零的臨界阻尼振動

圖5 初速度不為零的臨界阻尼振動

由上圖我們分析可得：質(zhì)點的運動仍不是往復(fù)運動，由于阻力較前者為小，將質(zhì)點移開平衡位置后釋放，質(zhì)點會很快回到平衡位置并停下來，稱為臨界阻尼狀態(tài)。從圖中可以看出，阻尼系數(shù)越大，恢復(fù)到平衡位置所需的時間越短，這一點與過阻尼運動恰好相反。

1.3 欠阻尼振動

（14）式即為過阻尼振動的運動學(xué)方程。為方便作圖，我們對上式經(jīng)行如下處理：設(shè)x0＝1，ω0＝1，圖6表示初始速度為0，阻尼系數(shù)分別為1／2，1／3，1／4，1／5的過阻尼振動位移與時間的關(guān)系圖；圖7表示表示初始速度為2，阻尼系數(shù)分別為1／2，1／3，1／4，1／5的過阻尼振動位移與時間的關(guān)系圖。

圖6 初速度為零的欠阻尼振動

圖7 初速度不為零的欠阻尼振動

由上圖我們可以看出：質(zhì)點作振幅衰減的往復(fù)運動，衰減按照指數(shù)規(guī)律，衰減的速度取決于阻尼系數(shù)β，由于質(zhì)點的運動狀態(tài)不可能每經(jīng)過一定時間便完全重復(fù)出現(xiàn)，因此該阻尼振動不是周期運動。但質(zhì)點每連續(xù)兩次通過平衡位置并沿相同方向運動所需的時間間隔相同，又具有一定周期性，通常稱這種振動為欠阻尼振動。從圖中可以看出，阻尼系數(shù)越小，質(zhì)點在平衡位置的振蕩越明顯。

3 結(jié)束語

本文采用拉普拉斯變換法求解阻尼振動問題，分別給出了過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼阻尼振動的運動學(xué)方程。此外，分初速度為零和不為零兩種情況，分別就不同阻尼系數(shù)，對這三種阻尼振動的影響作了可視化處理。本文求解過程解析，物理圖像明了，便于本科生掌握。同時，MATLAB軟件作為一款簡單易學(xué)的符號計算軟件，便于在本科生中推廣使用。

［1］何松林，黃 焱.基于 MATLAB的非線性振動系統(tǒng)臨界阻尼的研究［J］.大學(xué)物理，2010，29（8）：22－24.

［2］何熙起.A2B模型的阻尼振動［J］.大學(xué)物理，2007，26（12）：22－25.

［3］陳東生，陳發(fā)堂，熊慧萍，等.數(shù)碼相機在研究阻尼振動中的應(yīng)用［J］.大學(xué)物理，2006，25（9）：43－45.

［4］王 憶，楊玉屏，趙健生.受迫阻尼振動系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的研究［J］.大學(xué)物理，2001，20（7）：22－25.

［5］劉喜斌，于 洋.阻尼振動的回復(fù)時間最短時所滿足的條件［J］.物理與工程，2001，11（3）：29－20.

［6］黃時中.大學(xué)物理學(xué)（上冊）［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版，2008：158－161.

［7］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1997：279－282.

A Study on Damped Vibration with Laplace Transform

Ma Kun，Chu Yuan，Jiao Zheng

Motion equations for over damped，critical damped and under damped have been derived with Laplace transform.In addition，the influence of damping coefficient on damped vibration in two situations，which are rate equal to zero and rate not equal to zero，has been visualized with Matlab.

damped vibration；Laplace transform；Matlab

O321

A

1673-1794（2012）05-0028-03

馬 堃（1983－），男，安徽六安人，碩士，講師，研究方向：大學(xué)物理和原子與分子物理。

安徽省教育廳自然科學(xué)項目（KJ2011Z363）；黃山學(xué)院科研項目（2010xkj013）；黃山學(xué)院校級質(zhì)量工程項目（2009JXTD19）

2012-05-12