楊慧卿

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 滁州 239000）

數(shù)學(xué)理解水平評(píng)定方法及其數(shù)學(xué)模型構(gòu)建研究

楊慧卿

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 滁州 239000）

數(shù)學(xué)理解的水平可以用量來刻畫，而且是一個(gè)連續(xù)量，是一個(gè)模糊量。數(shù)學(xué)理解的因素一般由事實(shí)、計(jì)算、聯(lián)系、分辨、表達(dá)、轉(zhuǎn)化、推理、應(yīng)用構(gòu)成。結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)理解的特點(diǎn)提出了評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)理解水平的定性和定量相結(jié)合的方法——加權(quán)求和法。

數(shù)學(xué)理解；數(shù)學(xué)理解水平；加權(quán)求和法；古林法；概念圖

1 課題的提出

一直以來，不少數(shù)學(xué)教師認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績高，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解就好；學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績低，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解就差。實(shí)際上，學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績并不能完全反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平，數(shù)學(xué)考試成績的高低與數(shù)學(xué)理解水平的高低并不能劃等號(hào)。特別是經(jīng)過強(qiáng)化訓(xùn)練形成的條件反射式的固化的解題操作，更不能完全反映學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平。

數(shù)學(xué)理解水平是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)特別關(guān)注的。奧蘇伯爾就曾指出，影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。［1］學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么實(shí)際上就是學(xué)習(xí)者所處于的某種理解水平，而學(xué)生的這種理解水平正是后續(xù)內(nèi)容教學(xué)的起點(diǎn)。探明學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平是教學(xué)工作的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，如何探明則顯得更為重要。

就目前數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)教師主要通過學(xué)生的作業(yè)、考試、課堂問答等方面的表現(xiàn)和教師個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平進(jìn)行判斷，由于評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)模糊，可以說，教師難以對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平作出準(zhǔn)確的判斷，對(duì)于學(xué)生在理解中所存在的問題也不易確定，這種狀況對(duì)于及時(shí)糾正學(xué)生不正確的理解、對(duì)后繼知識(shí)的教與學(xué)都有很大影響。究其原因，就是缺少較為科學(xué)的評(píng)定數(shù)學(xué)理解水平的量化指標(biāo)和評(píng)定方法。

本課題正是基于上述情況而提出，目的在于建立評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)理解水平的量化指標(biāo)，構(gòu)建評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)理解水平的數(shù)學(xué)模型，形成評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的方法，便于數(shù)學(xué)教師較為準(zhǔn)確地把握學(xué)生數(shù)學(xué)理解的水平，以提高數(shù)學(xué)教學(xué)的針對(duì)性和有效性，并采取有效措施，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

2 關(guān)于“數(shù)學(xué)理解”

本課題的核心概念是“數(shù)學(xué)理解”，只有在對(duì)“數(shù)學(xué)理解”深刻認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，切實(shí)把握“數(shù)學(xué)理解”的本質(zhì)特征，才能科學(xué)制定評(píng)定數(shù)學(xué)理解水平的量化指標(biāo)，選擇合理有效的數(shù)學(xué)模型，形成切實(shí)可行的評(píng)定方法。

數(shù)學(xué)理解自上世紀(jì)七十年代以來已成為數(shù)學(xué)教育研究的中心話題，國內(nèi)外很多學(xué)者從不同的視角對(duì)數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)、數(shù)學(xué)理解的分類進(jìn)行了深入的研究，形成了多種觀點(diǎn)。

2.1 數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)

2.1.1 “數(shù)學(xué)理解”的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系說

希伯特和卡彭特在認(rèn)知理論的基礎(chǔ)上，提出了數(shù)學(xué)理解的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系說。他們認(rèn)為，一個(gè)數(shù)學(xué)的概念或方法或事實(shí)是理解了，如果它成了內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)部分。理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的。說一個(gè)數(shù)學(xué)的概念、方法或事實(shí)是徹底地理解了，是指它和現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)是由更強(qiáng)的或更多的聯(lián)系聯(lián)結(jié)著。［2］

喻平提出的CPFS結(jié)構(gòu)（即概念域、概念系、命題域、命題系）就是建立在網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系說基礎(chǔ)上的，CPFS結(jié)構(gòu)是個(gè)體知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的核心成分，構(gòu)成數(shù)學(xué)理解的必要前提，直接影響數(shù)學(xué)理解的深度、廣度和精度。［3］喻平認(rèn)為，對(duì)數(shù)學(xué)的理解意味著不僅要知道在什么條件下使用這條規(guī)則，會(huì)使用這條規(guī)則，而且還要知道規(guī)則產(chǎn)生的緣由和根據(jù)、規(guī)則適用的范圍。

2.1.2 “數(shù)學(xué)理解”的表征轉(zhuǎn)化說

萊斯在布魯納智慧生長與表征系統(tǒng)理論基礎(chǔ)上，提出了理解的表征轉(zhuǎn)化說。他們認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念可以通過操作物表征、圖像表征、書面符號(hào)表征、口頭語言表征和現(xiàn)實(shí)情境表征五中不同的表征方式進(jìn)行表征。當(dāng)學(xué)生能夠?qū)⑿畔囊环N表征方式轉(zhuǎn)化為另一種表征方式時(shí)，理解就產(chǎn)生了。［4］

2.1.3 “數(shù)學(xué)理解”的實(shí)作說

哈佛大學(xué)柏金斯教授認(rèn)為，對(duì)于促進(jìn)理解的學(xué)習(xí)而言，擁有心智模型和心智表征并非表明了理解，理解意味著主動(dòng)的做、活動(dòng)、實(shí)踐，意味在各種動(dòng)態(tài)情境中的主體能動(dòng)性的發(fā)揮。理解一個(gè)主題就意味著能夠利用這個(gè)主題進(jìn)行彈性實(shí)作——解釋、證實(shí)、推斷、聯(lián)系和以一種超越知識(shí)與常規(guī)技能的方式進(jìn)行應(yīng)用。理解一個(gè)主題就是指能夠利用所知道的有關(guān)這一主題的知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)造性的、有效的思維和行動(dòng)。［5］

《理解性教學(xué)》（Wiske，1997）中也指出，理解是一種運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)靈活地思考與行動(dòng)的能力，……，也是一種與機(jī)械背誦與固守答案相反的實(shí)踐能力。［6］

上述三種觀點(diǎn)從不同的視角闡釋了數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)，相對(duì)而言，網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系說和表征轉(zhuǎn)化說反映了數(shù)學(xué)理解的“靜態(tài)”本質(zhì)，而實(shí)作說反映了數(shù)學(xué)理解的“動(dòng)態(tài)”本質(zhì)，而這也正說明對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解不僅包括靜態(tài)的結(jié)果的陳述性知識(shí)的理解，而且還包括動(dòng)態(tài)的程序性知識(shí)的理解和過程性知識(shí)的理解。所以，要全面反映“數(shù)學(xué)理解”，不能僅以一種觀點(diǎn)作為理論基礎(chǔ)，而應(yīng)以包含不同觀點(diǎn)的融合的理解觀作為理論指導(dǎo)。

2.2 數(shù)學(xué)理解的不同水平（層次）

到目前為止，對(duì)數(shù)學(xué)理解的不同水平（層次）的劃分并無定論，但我們可以了解一下數(shù)學(xué)理解理論研究的發(fā)展。

代表人物 時(shí)間 理解水平（層次）的劃分Skemp 1976年 工具性理解、關(guān)聯(lián)性理解Byers ＆Herscovics 1977年 工具性理解、關(guān)聯(lián)性理解、直覺理解和形式理解Herscovics ＆Bergeron 1983年 直觀理解、程序理解、抽象理解、形式理解Perkins ＆Simmons 1988年 內(nèi)容水平、問題解決水平、認(rèn)識(shí)水平和探究水平田萬海 1993年 初步理解、確切理解、深刻理解Pirie ＆Kieren 1994年 初步了解、產(chǎn)生表象、形成表象、關(guān)注性質(zhì)、形式化、觀察評(píng)述、組織結(jié)構(gòu)、發(fā)明創(chuàng)造Kinch 2002年 內(nèi)容水平、概念水平、問題解決水平、認(rèn)識(shí)水平和探究水平呂林海 2003年 經(jīng)驗(yàn)性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解、文化感悟與理解于新華 2005年 零層次、常識(shí)性層次、邏輯層次、觀念性層次、無盡的層次于秀慧 2006年 經(jīng)驗(yàn)型認(rèn)識(shí)階段、形式化認(rèn)識(shí)階段、關(guān)系型認(rèn)識(shí)階段、觀念型認(rèn)識(shí)階段鐘志華 2007年 識(shí)記性理解、操作性理解、直覺性理解、分析性理解賀真真 2007年 操作性記憶、概念性記憶、解釋性理解、探究性理解

在《理解力培養(yǎng)與課程設(shè)計(jì)》中一則評(píng)價(jià)指導(dǎo)的說明，將數(shù)學(xué)理解的程度區(qū)分為：最低水平的理解、沒有明顯的理解、有限而膚淺的理解、適當(dāng)?shù)睦斫?、較好的理解、成熟的理解、最為精當(dāng)?shù)睦斫狻?/p>

以上關(guān)于數(shù)學(xué)理解水平（層次）的劃分，雖然不盡相同，均表現(xiàn)出一定的主觀性和模糊性，但都說明數(shù)學(xué)理解是有不同程度、層次和水平的，是具有一定的量的特征的，同時(shí)具有模糊性。理解不是全對(duì)、全錯(cuò)的結(jié)果，也不存在全有、全無的兩個(gè)極端。任何學(xué)習(xí)都將帶有一定程度的理解。［7］理解是一個(gè)整體的、動(dòng)態(tài)的、分水平的非線性的發(fā)展，是一個(gè)進(jìn)行中的過程，它是來回往返地逐步發(fā)展的，其發(fā)展是持續(xù)的，而且不會(huì)存在終點(diǎn)。［8］因此，數(shù)學(xué)理解的程度即數(shù)學(xué)理解的水平可以用量來刻畫，而且是一個(gè)連續(xù)量，是一個(gè)模糊量。

3 關(guān)于數(shù)學(xué)理解的因素分析及其評(píng)價(jià)

《理解力培養(yǎng)與課程設(shè)計(jì)》采用多視角觀點(diǎn)將理解用六個(gè)維度來表現(xiàn)，即解釋、釋譯、運(yùn)用、洞察、移情、自我認(rèn)識(shí)，每個(gè)維度又分成了各種不同的水平。實(shí)際上，這六個(gè)維度也就是理解的六個(gè)主要因素。但這種六維度觀缺乏數(shù)學(xué)的特征，不能全面反映數(shù)學(xué)理解。為此，筆者對(duì)六維度觀的評(píng)價(jià)內(nèi)容進(jìn)行了認(rèn)真的分析，結(jié)合數(shù)學(xué)的特征以及數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)，得出數(shù)學(xué)理解一般主要由以下因素構(gòu)成：事實(shí)、計(jì)算、聯(lián)系、分辨、表達(dá)、轉(zhuǎn)化、推理、應(yīng)用。

由于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解不僅包括靜態(tài)的結(jié)果的陳述性知識(shí)的理解，而且還包括動(dòng)態(tài)的程序性知識(shí)的理解?！笆聦?shí)”主要反映的是對(duì)陳述性知識(shí)的理解，“計(jì)算、分辨、表達(dá)、轉(zhuǎn)化、推理、應(yīng)用”主要反映的是對(duì)程序性知識(shí)的理解，而“聯(lián)系”既反映陳述性知識(shí)間或程序性知識(shí)間的聯(lián)系，也反映陳述性知識(shí)與程序性知識(shí)之間的聯(lián)系。

以下給出各個(gè)因素的含義及評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容：

事實(shí)，指知識(shí)單元內(nèi)的名稱、定義、符號(hào)、性質(zhì)、公理、公式、法則等，評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容是對(duì)于這些陳述性知識(shí)在學(xué)生記憶中的多少、清晰程度。

計(jì)算，指標(biāo)準(zhǔn)情境下解決問題的方法和步驟。評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容是對(duì)這些方法和步驟的運(yùn)用的熟練程度和精確程度。

聯(lián)系，指知識(shí)間的關(guān)系，事實(shí)、方法的來龍去脈。評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容是學(xué)生記憶中所反映的知識(shí)間的聯(lián)結(jié)的多少、密切程度。

分辨，指對(duì)問題的辨別、把握問題關(guān)鍵并提出有效方法以及辨別錯(cuò)誤的能力。評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容是對(duì)問題、錯(cuò)誤分辨的清晰程度和方法的有效程度。

表達(dá)，運(yùn)用文字、語言、符號(hào)、圖形等對(duì)問題呈現(xiàn)的能力。評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容是表達(dá)的準(zhǔn)確程度、簡明程度、流暢程度。

轉(zhuǎn)化，指將非標(biāo)準(zhǔn)問題化為標(biāo)準(zhǔn)問題、將問題表達(dá)在文字、符號(hào)、圖形間互化的能力。評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容是轉(zhuǎn)化的靈活程度。

推理，指利用問題中的條件和相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用邏輯證明或數(shù)學(xué)運(yùn)算推導(dǎo)出結(jié)論的能力。評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容是推理的嚴(yán)謹(jǐn)程度和合理程度。

應(yīng)用，指能將所學(xué)知識(shí)有效地應(yīng)用于新環(huán)境的能力。評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容是問題的熟悉程度、開放程度、復(fù)雜程度和答題的有效程度。

對(duì)于數(shù)學(xué)理解這些因素的評(píng)價(jià)，不同于一般知識(shí)的考查，不能光靠傳統(tǒng)的考試，還需要通過包括觀察、談話、實(shí)踐活動(dòng)等方式的綜合運(yùn)用，這也是由數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)所決定。

4 數(shù)學(xué)理解水平的評(píng)定方法及其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型

結(jié)合對(duì)數(shù)學(xué)理解的因素分析、數(shù)學(xué)理解水平的量的特征和數(shù)學(xué)理解水平的模糊性的考慮，同時(shí)考慮到評(píng)定方法的簡易性，對(duì)數(shù)學(xué)理解的評(píng)價(jià)宜采取定性和定量相結(jié)合的方法——加權(quán)求和法。

4.1 利用古林法確定權(quán)重

根據(jù)筆者對(duì)數(shù)學(xué)理解各因素重要性的認(rèn)識(shí)，得出數(shù)學(xué)理解水平各指標(biāo)的重要程度值Ri，根據(jù)古林法，求出Ki、Wi.

這里我們就得到了一個(gè)關(guān)于評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)理解水平的權(quán)重向量：

當(dāng)然，有些數(shù)學(xué)內(nèi)容不一定包含所有上述八個(gè)因素，所以數(shù)學(xué)理解水平的權(quán)重的確定還應(yīng)結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容、不同知識(shí)領(lǐng)域的特點(diǎn)來進(jìn)行。

4.2 確定評(píng)價(jià)對(duì)象數(shù)學(xué)理解各因素的分值Vi

對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象數(shù)學(xué)理解各因素的分值的確定，應(yīng)注意兩點(diǎn)，第一，明確評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)內(nèi)容的范圍，是一節(jié)、一章，還是一學(xué)期或是整個(gè)學(xué)段的學(xué)習(xí)內(nèi)容。第二，這些因素分值的獲得可以通過多種途徑和手段，如前面提到的觀察、談話、實(shí)踐活動(dòng)、傳統(tǒng)考試、作業(yè)等方式。對(duì)于數(shù)學(xué)理解因素中的事實(shí)、聯(lián)系，還可以采用概念圖（Concept Map）來評(píng)價(jià)并確定分值。

下面簡要介紹一下概念圖及其評(píng)價(jià)方法：

概念圖是一種能形象表達(dá)命題網(wǎng)絡(luò)中一系列概念含義及其關(guān)系的圖解，由美國Cornell大學(xué)的Novak和Gowin基于Ausubel的學(xué)習(xí)理論在上世紀(jì)六十年代所開發(fā)。概念圖由概念節(jié)點(diǎn)和帶有標(biāo)簽的連線組成。節(jié)點(diǎn)表示某命題或知識(shí)領(lǐng)域的各概念，節(jié)點(diǎn)之間的連線表示概念之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系。概念、交叉連線和層次結(jié)構(gòu)是概念圖的重要特征，劉秀峰（1994）認(rèn)為，通過概念的數(shù)量、層級(jí)的數(shù)量、交叉連線的數(shù)量和所舉的例子的數(shù)量可以詳細(xì)說明學(xué)生的概念圖的質(zhì)量。［9］實(shí)際上，概念圖的質(zhì)量充分反映了學(xué)生在事實(shí)和聯(lián)系方面的掌握的程度。概念圖不僅有助于教師評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，而且有助于學(xué)生深化數(shù)學(xué)理解。

Novak和Gowin曾在1984年提出過概念圖分析記分的標(biāo)準(zhǔn)，后來在1991年又進(jìn)行了一些調(diào)整。這里我們參考Novak在1991年的記分標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，給出如下的記分標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)概念在學(xué)習(xí)內(nèi)容中的地位不同將概念分核心概念、重要概念、一般概念，核心概念每個(gè)記10分，重要概念每個(gè)記5分，一般概念每個(gè)記2分；連線分關(guān)系連線（概念間的連線）和鏈接連線（概念下的定義、公式、公理、法則等），對(duì)于有效連線，每條關(guān)系連線記10分，每條鏈接連線記5分。關(guān)系連線反映的是聯(lián)系，而概念、鏈接連線反映的則是事實(shí)。下面以四邊形這一章為例進(jìn)行說明，其中用實(shí)線表示關(guān)系連線，用虛線表示鏈接連線。

對(duì)于其他的因素計(jì)算、分辨、表達(dá)、轉(zhuǎn)化、推理、應(yīng)用的分值則可以在常規(guī)的考試、作業(yè)、觀察、實(shí)踐活動(dòng)中得出。對(duì)于在不同的教學(xué)活動(dòng)中所得的分值不應(yīng)簡單相加，可以利用古林法確定不同活動(dòng)的權(quán)重，乘以不同活動(dòng)中所得分值，再求和。

至此，我們就可以得出了關(guān)于“四邊形”的數(shù)學(xué)理解因素的分值向量

4.3 計(jì)算數(shù)學(xué)理解水平值A(chǔ)

40分以下，很差；40－59，差；60－69，及格；70－79，中等；80－89，良；90－100，優(yōu)

若某學(xué)生關(guān)于“四邊形”的數(shù)學(xué)理解因素的分值向量V＝（75，90，75，85，80，75，75，70），則該學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平值

A＝75×.01＋90×.01＋75×.02＋85×.01＋80×.01＋75×.01＋75×.01＋70×.02＝77

根據(jù)這一數(shù)值，就可以判斷某學(xué)生關(guān)于“四邊形”的數(shù)學(xué)理解水平在中等水平。

上述計(jì)算看起來還比較麻煩，實(shí)際中只要利用EXCELL軟件就可以很輕松地完成。

5 對(duì)加權(quán)求和法評(píng)定學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的評(píng)價(jià)

該方法采用多因素分析的方法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解進(jìn)行解剖，是一個(gè)很好的教學(xué)反饋信息，可以使教師和學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到在數(shù)學(xué)理解的哪個(gè)方面存在問題，從而可以為教學(xué)中的調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)指明方向。該方法計(jì)算相對(duì)比較簡單，能夠?yàn)榇蠖鄶?shù)教師所接受。同時(shí)，該方法還能夠?qū)?shù)學(xué)理解的因素、權(quán)重根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和評(píng)價(jià)對(duì)象的實(shí)際進(jìn)行靈活的調(diào)整。

［1］奧蘇伯爾等著，佘星南，宋 鈞譯.教育心理學(xué)：認(rèn)知觀點(diǎn)［M］.北京：人民教育出版社，1994.07.

［2］D.A.格勞斯.數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)［M］.上海：上海教育出版社，1999.04.

［3］喻 平.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.04.

［4］鞏子坤.數(shù)學(xué)理解說及其理論與課程意義［J］.比較教育研究，2009（7）：40－43.

［5］呂林海.促進(jìn)學(xué)生理解的學(xué)習(xí)：價(jià)值、內(nèi)涵及教學(xué)啟示［J］.教育理論與實(shí)踐，2007.27（4）：61－64.

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［7］李士錡.PME：數(shù)學(xué)教育心理［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.06.

［8］徐彥輝.數(shù)學(xué)理解的理論探討與實(shí)證研究［D］.華東師范大學(xué)博士論文，2009.

［9］嚴(yán)文法，胡衛(wèi)平.國外概念圖的研究進(jìn)展［J］.雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，21（3）：23－26.

On the Evaluation Method for Mathematical Understanding and Mathematical Model Construction

Yang Huiqing

Mathematics understanding level can be depicted with quantity，and it is a continuous and fuzzy quantity.The factors of mathematical understanding include fact，calculation，contact，distinguish，expression，transformation，reasoning and application.Combined with the characteristics of mathematical subject and mathematical understanding，the qualitative and quantitative method，which is also called the weighted summation method，is proposed for evaluating the level of mathematical understanding.

Mathematical understanding；Mathematical understanding level；The weighted summation method；KLEE method；Concept map

O119

A

1673-1794（2012）05-0010-04

楊慧卿（1969－），女，安徽天長人，碩士，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

安徽省高校自然科學(xué)項(xiàng)目（KJ2011Z286）；滁州學(xué)院自然科學(xué)項(xiàng)目（2010kj010B）；安徽省教學(xué)研究項(xiàng)目（20101046）；滁州學(xué)院教學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（2009jyz008）；滁州學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目

2012-06-14