黃 晨 陳 龍 袁朝春 江浩斌 陳月霞

(江蘇大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013)

模型參數(shù)攝動(dòng)下的車輛側(cè)向動(dòng)力學(xué)混沌研究

黃 晨 陳 龍 袁朝春 江浩斌 陳月霞

(江蘇大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013)

以車輛多自由度模型為研究對(duì)象，耦合輪胎神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，依據(jù)某車型參數(shù)及某子午線輪胎在汽車輪胎道路旋轉(zhuǎn)測(cè)試臺(tái)上進(jìn)行瞬態(tài)試驗(yàn)所測(cè)得的輪胎接地力數(shù)據(jù)，構(gòu)建非線性側(cè)向動(dòng)力學(xué)系統(tǒng).該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不易得到解析解，因此借用數(shù)值計(jì)算方法來(lái)研究隨著前輪轉(zhuǎn)角和車速變化下的橫擺角速度和側(cè)偏角的時(shí)間序列內(nèi)在特性.仿真結(jié)果表明，在固定參數(shù)下系統(tǒng)具有趨于不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行不同頻率的周期性攝動(dòng)時(shí)，由計(jì)算功率譜、分岔圖和最大李雅普諾夫指數(shù)圖給出了系統(tǒng)穩(wěn)定和發(fā)生分岔的條件和過(guò)程及混沌吸引子的特點(diǎn)，為進(jìn)一步進(jìn)行混沌控制提供理論參考.

混沌;側(cè)向動(dòng)力學(xué);非線性;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

在高速公路上常常發(fā)生車輛的轉(zhuǎn)向失控致使側(cè)翻的車毀人亡安全事故.車輛的失穩(wěn)主要與輪胎的側(cè)向力有關(guān)，影響側(cè)向力的主要因素是側(cè)偏角［1］.當(dāng)車輛高速轉(zhuǎn)彎行駛時(shí)，側(cè)偏角變化較小，輪胎的側(cè)向力呈線性變化，而在較高的側(cè)向加速度范圍內(nèi)，輪胎特性為非線性，側(cè)向力非線性變化，轉(zhuǎn)向效果減弱［2］.顯然，車輛在復(fù)雜工況和不確定因素的影響下，行駛過(guò)程中的輪胎工況、垂直載荷、側(cè)向力和切向力等都是變化的，需要建立更加精確的多因素的強(qiáng)非線性模型(如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等)才能滿足控制的要求［3］.

目前研究轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性的主要方法為非線性動(dòng)力學(xué).如Shoji等［4］建立的側(cè)偏角與側(cè)偏角變化率相平面，對(duì)于定量確定側(cè)向穩(wěn)定區(qū)域提供了較好的方法，但不足在于忽略了轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角、車速以及車身側(cè)偏角對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的重要影響，并且受輪胎簡(jiǎn)化模型的限制，未從理論上分析在該穩(wěn)定區(qū)域之外車輛的狀態(tài)及變化趨勢(shì).郭孔輝［5］建立的轉(zhuǎn)彎動(dòng)能與前進(jìn)動(dòng)能之比相平面對(duì)于解釋試驗(yàn)現(xiàn)象、進(jìn)行定量分析都顯示了很好的效果，但有一定的應(yīng)用局限.

施樹(shù)明等［6］構(gòu)建了車輛系統(tǒng)關(guān)于車身側(cè)偏角、轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角以及車輛速度等主要參量的勢(shì)能函數(shù)，并對(duì)勢(shì)能函數(shù)進(jìn)行定性和定量分析得到了車輛轉(zhuǎn)向穩(wěn)定區(qū)域.楊秀建［7］則借助于非線性動(dòng)力學(xué)中心流形理論將高維系統(tǒng)降為一維中心流形系統(tǒng)，通過(guò)理論推導(dǎo)和實(shí)例分析，得出分岔極限環(huán)現(xiàn)象，并且指出隨著車速和前輪轉(zhuǎn)角的增加將發(fā)生鞍結(jié)分岔.

Liu等［8］研究了基于司機(jī)調(diào)節(jié)行為的前輪非線性轉(zhuǎn)向模型，并分析了系統(tǒng)Hopf分岔，然后驗(yàn)證了前輪受周期擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).Chang［9］則計(jì)算了線控轉(zhuǎn)向汽車在一定參數(shù)變化范圍內(nèi)的分岔圖，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)的周期和混沌運(yùn)動(dòng)，并提出了汽車轉(zhuǎn)向狀態(tài)時(shí)的混沌反饋控制器.

從以上分析可看出大多數(shù)方法是建立在混沌系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上的，即需要精確知道驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的模型和參數(shù).然而由于環(huán)境的變化、元器件的老化及建模誤差等因素，系統(tǒng)參數(shù)的攝動(dòng)是不可避免的.因此，研究系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)的問(wèn)題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.然而耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的微分方程系統(tǒng)，含有多個(gè)模型參數(shù)，如果這些參數(shù)攝動(dòng)會(huì)使系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性、非平穩(wěn)特征［10］.

在非線性系統(tǒng)中，周期信號(hào)通過(guò)具有非線性特性的傳輸通道后，常常會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂性肼曁匦缘幕煦缧盘?hào)，換言之，這些非線性系統(tǒng)會(huì)將原來(lái)的周期輸入掩蔽，從而產(chǎn)生混沌噪聲［11］.因此，為了能更好地研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，本文首先建立耦合RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的整車模型系統(tǒng)，研究固定參數(shù)下初值擾動(dòng)的系統(tǒng)時(shí)間序列內(nèi)在特性，然后對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行不同頻率的周期性激勵(lì)，通過(guò)多種途徑分析系統(tǒng)穩(wěn)定和發(fā)生分岔的條件和過(guò)程.

1 理論模型

假定汽車前進(jìn)方向速度不變，不考慮地面切向力對(duì)輪胎側(cè)偏特性的影響和空氣動(dòng)力的作用等，建立基于轉(zhuǎn)向工況的整車動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示.

1.1 整車模型

汽車轉(zhuǎn)向過(guò)程中，車身側(cè)傾角的變化對(duì)汽車側(cè)偏角和橫擺角速度的影響不可忽略.因此，考慮車身側(cè)傾影響，建立整車轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)方程.

圖1 整車動(dòng)力學(xué)模型

整車側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程

整車橫擺運(yùn)動(dòng)方程

車身垂直運(yùn)動(dòng)方程

車身俯仰運(yùn)動(dòng)方程

車身側(cè)傾運(yùn)動(dòng)方程

非懸掛質(zhì)量垂直運(yùn)動(dòng)方程

式中，m，ms為整車質(zhì)量和懸掛質(zhì)量;v為車速;β，˙β為質(zhì)心側(cè)偏角和質(zhì)心側(cè)偏角速度;hs為側(cè)傾中心高度;φ，¨φ為車身側(cè)傾角和車身側(cè)傾角加速度;Si(i=1，2，3，4)為輪胎側(cè)偏力;Iγ為整車橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;γ，˙γ為橫擺角速度和橫擺角加速度;lf，lr為前、后輪到質(zhì)心距離;zs，¨zs為車身垂直位移和車身垂直加速度;F2i為懸架對(duì)車身的合力;Iθ，Iφ為車身俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和車身側(cè)傾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;θ，˙θ為車身俯仰角和車身俯仰角速度;d為1/2輪距;m1i為非懸掛質(zhì)量;k1i為輪胎剛度;z0i為路面位移;z1i，˙z1i，¨z1i為非懸掛質(zhì)量垂直位移、垂直速度和垂直加速度;z2i，˙z2i，¨z2i為懸掛質(zhì)量垂直位移、垂直速度和垂直加速度;考慮橫向穩(wěn)定桿對(duì)車身側(cè)傾角的影響，懸架作用合力為

式中，k2i為懸架剛度;c2i為懸架阻尼系數(shù);kaf，kar分別為前、后懸架穩(wěn)定桿角剛度.

當(dāng)俯仰角θ、側(cè)傾角φ在小范圍內(nèi)，近似有

1.2 輪胎模型

實(shí)際車輛在非平坦路面上行駛，對(duì)輪胎施加的影響是時(shí)變的，因此需要建立動(dòng)態(tài)模型適應(yīng)環(huán)境的變化.采用下式所建的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)較為合適.

ANN包括輸入層、隱含層和輸出層.輸入層包含5個(gè)變量，分別為側(cè)偏角α、胎壓P、垂直載荷Fz、車速u和前一步側(cè)向力Fy(n－1).隱含層由若干層非線性傳遞函數(shù)組成.輸出層由單個(gè)變量輪胎側(cè)向力Fy構(gòu)成.

本文將韓泰165/65R13子午線輪胎在江蘇大學(xué)汽車輪胎道路旋轉(zhuǎn)測(cè)試臺(tái)上進(jìn)行了瞬態(tài)試驗(yàn)，測(cè)得輪胎接地力數(shù)據(jù)，采用5-8-1的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合.從圖2中可看出ANN模型較好地?cái)M合了試驗(yàn)數(shù)據(jù)，而Magic Formula由于自身三角函數(shù)作為基函數(shù)的特點(diǎn)，擬合曲線只能接近試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)側(cè)向力的逼近有部分失真.

該網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元的輸入為

式中，θj(k)為隱含層中第j個(gè)神經(jīng)元的輸入值;pi(k)為輸入層輸出;wij為輸入層至隱含層的連接權(quán)重值.隱含層的輸入和輸出之間的聯(lián)系采用Sigmoid函數(shù)關(guān)系，即隱含層神經(jīng)元的輸出表達(dá)為

圖2 ANN與Magic Formula模型比較

式中，ξj為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元的輸出;f［ψ］=1/［1+exp(－ψ)］.輸出層包含 1 個(gè)神經(jīng)元，輸出層神經(jīng)元的輸入函數(shù)為

式中，vjl為隱含層至輸出層的連接權(quán)重值.輸出層的輸出與輸入的聯(lián)系為Sigmoid函數(shù)關(guān)系，表示為

式中，Il為輸出層神經(jīng)元的輸出.

假設(shè)左右側(cè)車輪的側(cè)偏角相等，則前后車輪側(cè)偏角可表示為

式中，α1，α2為前軸左右側(cè)車輪的側(cè)偏角;α3，α4為后軸左右側(cè)車輪的側(cè)偏角.

2 車輛側(cè)向動(dòng)力學(xué)混沌研究

2.1 仿真計(jì)算

對(duì)于耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，解析解推導(dǎo)過(guò)程極其繁瑣，實(shí)際應(yīng)用較為困難.因此，需要借助數(shù)值方法來(lái)得到其近似解，即將微分方程轉(zhuǎn)換為差分方程求解.本文基于Matlab/Simulink搭建仿真模型，計(jì)算流程如圖3所示，模型參數(shù)參照某微型車設(shè)計(jì)參數(shù)，如表1所示.

判別混沌系統(tǒng)的方法主要有功率譜法、主分量分析法、龐加萊截面法、最大Lyapunov指數(shù)法和相平面法［12］.本文采用最大Lyapunov指數(shù)法和相平面法.

在計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)過(guò)程中，采用時(shí)間序列重構(gòu)，對(duì)每個(gè)點(diǎn)Vj尋找其最近鄰點(diǎn)Vj'.

圖3 計(jì)算流程圖

表1 模型參數(shù)

定義分離間隔

假定dj(0)為Vj到其最近鄰點(diǎn)Vj'的距離，即

對(duì)相空間中的每個(gè)點(diǎn)Vj，計(jì)算出其最近鄰點(diǎn)在第i步向前演化后的距離，即

式中，i=J0，J0+1，…，N.

假定Vj的最近鄰點(diǎn)以最大Lyapunov指數(shù)的速率發(fā)散，即dj(i)=dj(0)eλ(iΔt)，兩邊取對(duì)數(shù)，得lndj(i)=lndj(0)+ λ(iΔt).針對(duì) lndj(i)相對(duì)iΔt的曲線，利用最小二乘法擬合得到最大Lyapunov指數(shù)λ1為

式中為非零的dj(i)個(gè)數(shù).

2.2 結(jié)果分析

橫擺角速度和側(cè)偏角是車輛轉(zhuǎn)向過(guò)程中駕駛者的乘坐和視覺(jué)感受評(píng)價(jià)指標(biāo).因此研究β和γ的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)車輛轉(zhuǎn)向中的各種現(xiàn)象的解釋、操穩(wěn)性的評(píng)價(jià)以及控制等問(wèn)題都有重要意義.

本文首先在固定參數(shù)的情況下，以初值β0=0，γ0=0進(jìn)行仿真計(jì)算，觀察β和γ的時(shí)間歷程(見(jiàn)圖4).從圖中可看出，從初值開(kāi)始經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的振蕩，最終穩(wěn)定在不動(dòng)點(diǎn)γ=0.875 rad/s，β=0.435 8 rad.

圖4 固定參數(shù)下β和γ時(shí)序圖

由于車輛在道路行駛過(guò)程中，外界環(huán)境的各種變化會(huì)對(duì)車輛狀態(tài)產(chǎn)生影響，因此研究變參數(shù)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為更有實(shí)際運(yùn)用價(jià)值，并且參數(shù)攝動(dòng)系統(tǒng)往往表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性、非平穩(wěn)特征.非平穩(wěn)意味著控制系統(tǒng)的某些參數(shù)或條件是隨時(shí)間變化的，這類系統(tǒng)隨時(shí)間的延長(zhǎng)會(huì)表現(xiàn)出豐富多變的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性，所以具有較高的研究意義.

本文選取具有實(shí)際意義并且在現(xiàn)實(shí)中常常遇到的前輪轉(zhuǎn)角和車速發(fā)生變化的情況進(jìn)行討論.分別對(duì)系統(tǒng)中的參數(shù)前輪轉(zhuǎn)角和速度給予一個(gè)周期性的激勵(lì)，觀察β和γ映射的動(dòng)力學(xué)行為.在相平面圖中可以對(duì)以上結(jié)論加以佐證，在圖5(a)中β和γ出現(xiàn)了環(huán)狀混沌吸引子，并且在環(huán)狀軌道中呈現(xiàn)無(wú)序狀態(tài).說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)前輪轉(zhuǎn)角的參數(shù)攝動(dòng)較為敏感，需要加以控制.而在圖5(b)中β和γ變化軌跡為橢圓軌道，并且軌道呈規(guī)律性變化.

圖5 參數(shù)攝動(dòng)下β和γ相平面圖

為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)穩(wěn)定和發(fā)生分岔的條件和過(guò)程及混沌吸引子的特點(diǎn)，對(duì)出現(xiàn)混沌的前輪轉(zhuǎn)角攝動(dòng)進(jìn)行深入分析.不同頻率攝動(dòng)下的γ功率譜分析可以將其頻率成分展現(xiàn)出來(lái)，從而可以方便地區(qū)分單周期信號(hào)、多周期信號(hào)和非周期信號(hào).從圖6(a)、(b)中可看出，ω =1 rad/s時(shí)，在f=0.159 2 Hz處附近出現(xiàn)了逐漸降低的基頻和諧頻成分的離散譜特征，說(shuō)明γ呈現(xiàn)簡(jiǎn)單的1周期性.而在ω=10 rad/s時(shí)，呈現(xiàn)孤立的f=1.592 Hz的共振特征，也符合1周期性的特點(diǎn).

從功率譜圖6(c)中可看出，頻譜已不再是一個(gè)分立的離散譜，而是具有連續(xù)的線狀譜特征.圖中除了出現(xiàn)諧波和分諧波成分外，還出現(xiàn)了很多突變的頻率成分，它們連在一起構(gòu)成連續(xù)譜.從頻譜分析的角度來(lái)看，在ω=100 rad/s時(shí)，γ振蕩為非周期性運(yùn)動(dòng)特征，顯示系統(tǒng)已出現(xiàn)混沌特性.

在分岔圖7(a)中，當(dāng)初始條件(圓頻率ω)連續(xù)增加時(shí)，γ運(yùn)動(dòng)狀態(tài)始終保持穩(wěn)定的1周期.在ω達(dá)到15 rad/s時(shí)，γ運(yùn)動(dòng)狀態(tài)突變成混沌狀態(tài).隨著ω的進(jìn)一步增加，ω在45 rad/s時(shí)γ運(yùn)動(dòng)狀態(tài)又突變成4周期運(yùn)動(dòng).在短暫的穩(wěn)定后又進(jìn)入混沌狀態(tài)，最終隨著ω的不斷增加，收斂于1周期運(yùn)動(dòng).

圖6 不同圓頻率的功率譜分析

圖7 混沌分析結(jié)果

從圖7(b)中可看出，當(dāng)ω從零開(kāi)始時(shí)，λ從負(fù)值開(kāi)始并且隨著ω增大不斷增大.當(dāng)ω=15 rad/s時(shí)，λ=0.隨后λ為正，表明系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌狀態(tài).對(duì)應(yīng)分岔圖7(a)上γ運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從1周期進(jìn)入混沌.在ω從15 rad/s到50 rad/s過(guò)程中，λ的變化是從零開(kāi)始的增大減小交替進(jìn)行的波動(dòng)過(guò)程.在25 rad/s和40 rad/s處出現(xiàn)了λ局部最小值，對(duì)應(yīng)分岔圖7(a)上為吸引子的密集分布.在ω趨向50 rad/s的過(guò)程中λ急劇變化，出現(xiàn)全局最小值，分岔圖上呈現(xiàn)吸引子由混沌變?yōu)?周期，維持短暫穩(wěn)定過(guò)后又出現(xiàn)混沌狀態(tài)，并在ω=65 rad/s處λ再次達(dá)到最大值并且是全局最大，對(duì)應(yīng)分岔圖上表現(xiàn)為一條密集狹長(zhǎng)的帶狀混沌吸引子.隨后λ逐漸下降，混沌吸引子的密集程度相應(yīng)變稀、范圍變窄，于ω=80 rad/s處達(dá)到最窄，λ趨近于零后再度增加.當(dāng)ω達(dá)到95 rad/s時(shí)再次出現(xiàn)局部最大值，后呈下降趨勢(shì)，期間有一個(gè)小的峰值才下降過(guò)零，趨向較大負(fù)值，對(duì)應(yīng)分岔圖上的混沌吸引子不斷稀薄，收斂為穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn).

3 結(jié)語(yǔ)

本文將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輪胎和整車模型相結(jié)合，建立了一類耦合的微分方程組.通過(guò)對(duì)時(shí)間序列的研究，發(fā)現(xiàn)在固定參數(shù)下該系統(tǒng)對(duì)初值的擾動(dòng)表現(xiàn)出很強(qiáng)的穩(wěn)定性.而當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行不同角頻率的周期性攝動(dòng)時(shí)，通過(guò)計(jì)算功率譜、分岔圖和最大李雅普諾夫指數(shù)圖給出了系統(tǒng)穩(wěn)定和發(fā)生分岔的條件和過(guò)程及混沌吸引子的特點(diǎn).以上研究對(duì)輪胎模型參數(shù)周期性攝動(dòng)下的車輛側(cè)向非線性動(dòng)力學(xué)行為研究及其混沌控制具有參考價(jià)值.

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Yu Yang，Mi Zengqiang，Liu Xingjie.Analysis of chaos in doubly fed induction generator and sliding mode control of chaos synchronization［J］.Acta Physica Sinica，2011，65(7):158-167.(in Chinese)

Chaos study of vehicle lateral dynamics based on perturbation parameter

Huang Chen Chen Long Yuan Chaochun Jiang Haobin Chen Yuexia

(School of Automobile and Traffic Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China)

A vehicle model with multiple degrees of freedom is regarded as object of study，which is coupled with tire neural network model.The nonlinear lateral dynamics system is established based on vehicle parameters and the tire data obtained from the transient test on the road rotation test bench.This system has a complicated structure，so it is difficult to obtain the analytical solution.The numerical method can be used to study the intrinsic properties of time sequence of yaw angular velocity and lateral declination with the changes in front wheel angle and the vehicle speed.The simulation results show that this system has a steady-state response tending to the fixed point when the parameters are fixed.Moreover，when system parameters make periodic perturbation with different frequencies，the calculation of power spectrum，bifurcation diagram and largest Lyapunov exponent diagram may provide the conditions and process to keep the system's stability and bifurcation.Meantime，the characteristics of chaotic attractor are analyzed，in order to provide a theoretical reference for the chaos control.

chaos;lateral dynamics;nonlinear;neural network

U463.341

A

1001－0505(2012)06-1111-06

10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.06.017

2012-05-30.

黃晨(1984—)，男，博士生;陳龍(聯(lián)系人)，男，教授，博士生導(dǎo)師，chenlong@163.com.

黃晨，陳龍，袁朝春，等.模型參數(shù)攝動(dòng)下的車輛側(cè)向動(dòng)力學(xué)混沌研究［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，42(6):1111-1116.［doi:10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.06.017］