趙洪金，劉 超，2，董寧娟，吳敏哲

(1.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055;2.西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，西安 710055;3.中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所，西安 710065)

圓拱是一種被廣泛應(yīng)用于土木工程實(shí)際中的建筑結(jié)構(gòu).在外部壓力作用下，圓拱的受力分析和穩(wěn)定計(jì)算是工程設(shè)計(jì)所關(guān)心的主要問題，現(xiàn)有文獻(xiàn)多針對(duì)淺拱動(dòng)力穩(wěn)定性分析［1－5]。這些研究成果代表了拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定問題的研究現(xiàn)狀，但是這些研究工作都沒有考慮剪切變形的影響。目前高速公路中的小跨徑拱橋有相當(dāng)一部分是大曲率深拱橋。當(dāng)拱的圓心角較小、弧長(zhǎng)較短時(shí)，截面尺寸相對(duì)于跨徑來說較大，剪切變形［6]的影響不能忽略，此時(shí)是深拱［7]問題。

在土木、機(jī)械等實(shí)際工程中兩端鉸支邊界條件是很少采用的，采用較多的固支邊界條件。但是鉸支邊界條件的研究可以為固支邊界的研究提供理論上的借鑒。本文根據(jù)能量法，建立以位移為基本未知量的圓拱總勢(shì)能，從Hamilton原理出發(fā)，建立了考慮剪切變形的圓弧深拱的動(dòng)力穩(wěn)定微分方程，利用Galerkin方法將其轉(zhuǎn)化為二階常微分Mathieu型參數(shù)振動(dòng)方程，求得周期解所包圍的動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域。探討了圓弧深拱發(fā)生參數(shù)振動(dòng)的動(dòng)力穩(wěn)定性問題，分析了剪切變形、圓弧半徑、圓心角等參數(shù)對(duì)圓弧深拱動(dòng)力穩(wěn)定性的影響，為結(jié)構(gòu)工程動(dòng)力分析與設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 圓弧深拱微分方程

如圖1所示，深拱截面形心沿切向方向的位移為u、沿徑向方向的位移為v、橫截面繞軸的轉(zhuǎn)角為ψ。

圖1 兩鉸圓弧深拱反對(duì)稱失穩(wěn)Fig.1 Asymmetrical buckling of hinged circular deep arch

拱軸的軸向應(yīng)變?chǔ)庞蓛刹糠纸M成:由于截面形心位移u引起的軸向應(yīng)變?yōu)橛捎趶较蛭灰苬引起的應(yīng)變?yōu)閯t:

假設(shè)拱軸不可壓縮，即ε=0，得到:

因截面轉(zhuǎn)角ψ引起的曲率增量為:

截面剪應(yīng)變?yōu)?

因此圓弧深拱應(yīng)變能為:

外力勢(shì)能為:

系統(tǒng)的動(dòng)能為:

根據(jù)Hamilton原理，有:

分別對(duì)u，ν，ψ進(jìn)行變分，得到徑向周期荷載作用下圓弧深拱的動(dòng)力穩(wěn)定微分方程:

式中:m為單位長(zhǎng)度拱的質(zhì)量;E為拱的彈性模量;G為拱的剪切模量;A為截面面積;I為截面慣性矩;μ為截面的剪切變形系數(shù)。

考慮兩鉸圓弧拱在徑向均布荷載作用下的彈性失穩(wěn)為反對(duì)稱失穩(wěn)［8]，位移取如下級(jí)數(shù)形式:

其中λk=/α，α為拱的圓心角，滿足拱的邊界條件，消去變量ψ方程轉(zhuǎn)化為:

根據(jù)正交性條件［1]:

將式(13)代入式(12)后，利用Galerkin方法進(jìn)行離散，可得到以下常微分方程

式中qcrk表示第k個(gè)臨界荷載值:

考慮一階彈性失穩(wěn)為反對(duì)稱失穩(wěn)，臨界系數(shù)λ1=π/α，對(duì)應(yīng)的一階臨界荷載為:

結(jié)果與文獻(xiàn)［7] 計(jì)算的相同。將式(14)寫成矩陣形式:

為了確定由周期解所包圍的不穩(wěn)定區(qū)域，設(shè)式(15)有周期4π/θ的周期解為:

代入式(15)整理合并同類項(xiàng)，根據(jù)周期解存在的條件得到臨界頻率方程為:

式中:

在求主動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，可取方程式(17)第一階主子式:

第一近似得到臨界頻率公式為:

由此即可確定出位于θ=2Ω附近的動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域，便有足夠的精確度。

對(duì)于周期2π/θ的周期解為:

偶數(shù)決定的動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域，也可得到相似的方程，求解過程從略。

3 算例分析

模型拱參數(shù):兩鉸圓弧拱，橫截面為矩形截面，結(jié)構(gòu)尺寸b×h=1 m×1 m，面積A=1 m2，材料的彈性模量 E=2.1 ×105MPa、剪切模量 G=8.4 ×104MPa，截面的剪切修正系數(shù) μ =5/6［12]，截面面積二階矩I=bh3/12=1/12 m4。

圖2 兩鉸圓弧模型深拱Fig.2 Hinged circular model deep arch

由圖3可知，當(dāng)圓心角為固定值時(shí)，隨著圓弧深拱半徑增加，結(jié)構(gòu)發(fā)生參數(shù)共振時(shí)的頻率降低，動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域迅速擴(kuò)大，說明半徑越大，發(fā)生參數(shù)共振的可能性也越大，因此圓弧半徑是決定拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的重要因素。

由圖4可知，當(dāng)半徑一定時(shí)，隨著圓心角的增加，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)發(fā)生參數(shù)共振時(shí)的頻率也降低，動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域擴(kuò)大，說明圓心角越大，發(fā)生參數(shù)共振的可能性也越大，可見圓心角也是決定拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的重要因素。但對(duì)動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的影響相比半徑要小一些。

由圖5和圖6可知，圓弧拱發(fā)生參數(shù)共振時(shí)，考慮剪切變形的動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域要小于不考慮剪切變形時(shí)的動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域。

在矢跨比較小時(shí)，剪切變形對(duì)深拱的臨界荷載值以及結(jié)構(gòu)發(fā)生參數(shù)共振時(shí)的頻率影響較大，因此對(duì)動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的影響比較明顯，但隨著失跨比增加，對(duì)動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的影響逐漸減小。

圖3 半徑對(duì)圓弧深拱動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.3 Effect of radius on principal regions of dynamic instability for circular deep arch

圖4 圓心角對(duì)圓弧深拱動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.4 Effect of central angle on principal regions of dynamic instability for circular deep arch

圖5 隨著矢跨比改變剪切變形對(duì)圓弧深拱動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.5 Effect of shear deformation with the change of rise－span ratio on principal regions of dynamic instability for circular deep arch

在長(zhǎng)細(xì)比較小時(shí)，剪切變形對(duì)深拱的臨界荷載值以及結(jié)構(gòu)發(fā)生參數(shù)共振時(shí)的頻率影響較大，因此對(duì)動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的影響比較明顯，但隨著長(zhǎng)細(xì)比的增加，對(duì)動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的影響逐漸減小。

圖6 隨著長(zhǎng)細(xì)比改變剪切變形對(duì)圓弧深拱動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.6 Effect of shear deformation with the change of slenderness ratio on principal regions of dynamic instability for circular deep arch

4 結(jié)論

根據(jù)能量法計(jì)算的靜力臨界荷載與平衡法計(jì)算的結(jié)果相同，表明本文方法是正確的。考慮剪切變形時(shí)圓弧拱彈性屈曲時(shí)的臨界荷載小于不考慮剪切變形時(shí)的臨界荷載。

隨著圓弧半徑和圓心角的增加，結(jié)構(gòu)發(fā)生參數(shù)共振時(shí)的頻率降低，動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域迅速擴(kuò)大，因此圓弧半徑是決定拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域的重要因素。

剪切變形不僅能減小拱彈性屈曲時(shí)的臨界荷載，降低靜力穩(wěn)定性，同樣能夠增大拱發(fā)生參數(shù)共振時(shí)的動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域，降低動(dòng)力穩(wěn)定性。因此對(duì)于圓弧深拱來說，無論是靜力穩(wěn)定問題還是動(dòng)力穩(wěn)定問題，剪切變形的影響都不可忽略。

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