曾志剛，葉 敏

(浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州 310027)

許多同時(shí)具有彈性和粘彈性兩種不同機(jī)理變形的材料，如高分子聚合物、纖維復(fù)合材料、生物材料等等，廣闊應(yīng)用于航空航天、車輛工程、土木工程、生物工程及材料工程等領(lǐng)域。復(fù)合材料在受載情況下常常表現(xiàn)出明顯的非線性粘彈性性質(zhì)［1－2]。隨著新型材料的不斷涌現(xiàn)，粘彈性結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)問題越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。Surie等［3]研究了簡諧激勵(lì)作用下粘彈性桿的周期和混沌運(yùn)動(dòng)。Li等［4]研究了粘彈性Timoshenk梁，由假設(shè)的本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，利用數(shù)值計(jì)算分析系統(tǒng)的非線性行為。劉偉等［5]研究了粘彈性傳動(dòng)帶橫向振動(dòng)的分岔特性和混沌動(dòng)力學(xué)行為。Mahmoodi等［6－7]研究了碳納米增強(qiáng)復(fù)合材料夾層懸臂梁的非線性振動(dòng)問題，根據(jù)Kelvin-Voigt模型建立了粘彈性懸臂梁的動(dòng)力學(xué)控制方程，利用多尺度分析法和實(shí)驗(yàn)研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Hu等［8]研究了在非線性彈性和線性粘性條件下，樁的橫向振動(dòng)。Pratiher等［9]研究了末端帶集中質(zhì)量的簡支粘彈性材料梁的非線性振動(dòng)問題。姚志剛等［10]研究了簡支壓電復(fù)合材料層合梁在軸向、橫向載荷共同作用下的非線性動(dòng)力學(xué)、分岔和混沌動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Ding等［11]對(duì)在軸向載荷激勵(lì)作用下粘彈性梁的橫向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，通過粘彈性本構(gòu)關(guān)系求出控制方程，然后分析系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。Firooz等［12]研究了各向同性的粘彈性層和懸臂梁的非線性振動(dòng)。Younesian等［13]研究了變速旋轉(zhuǎn)粘彈性梁的非線性振動(dòng)。劉彥琦，張偉［14]基于幾何非線性和線性粘彈性，分析了參數(shù)激勵(lì)粘彈性傳動(dòng)帶的分岔和混沌特性。

在粘彈性結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)研究中，非線性本構(gòu)關(guān)系往往會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)控制方程，為進(jìn)一步分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔和混沌運(yùn)動(dòng)增加了難度。實(shí)驗(yàn)建模方法不僅為粘彈性材料，而且為越來越多的新型材料提供了一條建立便于進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)分析的數(shù)學(xué)模型的途徑。我們以ABS樹脂為基材，填充1% －10%的金紅石納米二氧化鈦制成復(fù)合材料系列樣本。并建立了參數(shù)激勵(lì)非線性振動(dòng)梁的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)裝置為承受軸向激振力和施加可控干摩擦阻尼的粘彈性簡支梁的橫向振動(dòng)。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和增量諧波平衡非線性識(shí)別，采用實(shí)驗(yàn)建模的方法，得到了粘彈性參激梁的非線性動(dòng)力學(xué)控制方程。

進(jìn)一步研究了方程(1)在1/2亞諧共振時(shí)解的穩(wěn)定性和分岔特性，利用多尺度方法對(duì)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)、解的穩(wěn)定性和分岔特性進(jìn)行了分析，并用數(shù)值模擬驗(yàn)證理論分析結(jié)果。

1 實(shí)驗(yàn)建模

為了通過實(shí)驗(yàn)建模的方法建立粘彈性復(fù)合材料梁的動(dòng)力學(xué)控制方程，首先進(jìn)行材料的制備，按ABS與金紅石納米二氧化鈦的組成比例，見表1，制備六種不同的復(fù)合材料梁系列樣本，如圖1所示。

表1 ABS與金紅石納米二氧化鈦的組成比例Tab.1 The composition of ABS and rutile nano TiO2

圖1 金屬梁和六種不同配比的納米復(fù)合材料梁Fig.1 Metal beam and 6 kinds of the nanocomposite beams

以ABS材料為基材，填充入其它納米尺度的成分，以便對(duì)ABS材料進(jìn)行改性，獲得相應(yīng)功能的復(fù)合材料。金紅石納米二氧化鈦應(yīng)用于塑料、橡膠和功能纖維產(chǎn)品，它能提高產(chǎn)品的抗老化能力、抗粉化能力、耐候性和產(chǎn)品的強(qiáng)度，同時(shí)保持產(chǎn)品的顏色光澤，延長產(chǎn)品的使用期。

本文采用3號(hào)材料的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，再利用其他材料的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型驗(yàn)證。以便獲得適用于一類納米復(fù)合材料非線性參數(shù)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)控制方程。為了采用實(shí)驗(yàn)建模方法，首先建立與模型相對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，文本研究粘彈性復(fù)合材料梁在參數(shù)激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)特性，因此，實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)置為一端固定，一端滑動(dòng)，且承受軸向激振力和施加可控干摩擦阻尼的納米復(fù)合材料屈曲梁。實(shí)驗(yàn)中，考慮到消除重力影響因素(包括材料本身自重，以及布置在材料上的傳感器的重量)，將屈曲梁作縱向布置，如圖2所示。系統(tǒng)激勵(lì)頻率的調(diào)頻范圍在0 Hz－200 Hz之間;激勵(lì)幅值f通過調(diào)節(jié)電壓來控制。系統(tǒng)的非線性阻尼由設(shè)置在滑動(dòng)端的干摩擦結(jié)構(gòu)產(chǎn)生，通過加力裝置和力傳感器等來控制系統(tǒng)的非線性阻尼。梁的橫向振動(dòng)響應(yīng)由粘貼在梁中間的加速度傳感器測得。選擇3號(hào)材料作為實(shí)驗(yàn)建模時(shí)的基本材料，其尺寸為200 mm×20 mm×1.5 mm，質(zhì)量為 7.3 g，第一階固有頻率為 6.5 Hz。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.2 The schematic diagram of the experimental device

圖3 模型中不含的識(shí)別結(jié)果與實(shí)測信號(hào)響應(yīng)和相圖的比較Fig.3 The comparation of the identification result withoutand the measured signal in response and phase diagram

根據(jù)以往的研究結(jié)果［14，15]，金屬材料梁在單模態(tài)近似下，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型是含有參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)的非線性常微分方程。

因此，在考慮ABS-TiO2納米復(fù)合材料——粘彈性材料梁的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，由于材料的粘彈性特性，假設(shè)系統(tǒng)非線性項(xiàng)為3次多項(xiàng)式，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型設(shè)為如下形式:

其中，αi(i=0，…，9)是需要通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與非線性參數(shù)識(shí)別理論進(jìn)行識(shí)別的參數(shù)［16]。

由實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)測量梁的振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)，應(yīng)用增量諧波平衡非線性識(shí)別法［17]，識(shí)別方程(3)中參數(shù)αi(i=0，…，9)，再代入方程(3)解出響應(yīng)x(t)，并與實(shí)驗(yàn)測得響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行比較。通過比較方程(3)中各非線性項(xiàng)對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，表明，當(dāng)方程(3)中不含x·x 時(shí)，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，如圖3所示，否則方程的解將顯示衰減為零或趨于無窮大。而x2項(xiàng)是否存在于方程中對(duì)識(shí)別結(jié)果沒有影響，都可以得到好的效果。但對(duì)于其他型號(hào)的材料保留x2項(xiàng)將獲得更好的結(jié)果。于是，粘彈性梁在參數(shù)激勵(lì)下的最優(yōu)動(dòng)力學(xué)控制方程為:

其中α0與固有頻率和初始條件有關(guān);α1為線性阻尼;α2和 α5為非線性剛度;α4，α6，α7和 α8與干摩擦、內(nèi)阻尼等非線性因數(shù)有關(guān);α9為參數(shù)激勵(lì)幅值。

為了驗(yàn)證模型(4)的適用性，利用1、2、4、5 號(hào)材料梁測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，經(jīng)過數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，如圖4所示。從圖中可以看出，模型的仿真結(jié)果與實(shí)測結(jié)果定性定量吻合較好，模型(4)得到很好的驗(yàn)證。

圖4 不同配比成分材料實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證Fig.4 The verification of the experimental results and simulation results with different compositions

2 解的穩(wěn)定性

以三號(hào)納米復(fù)合材料梁為例，研究梁在參數(shù)激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)特性，故將控制方程(4)寫成如下形式:

其中，μ為線性阻尼系數(shù)，ω0為系統(tǒng)的固有頻率，f0和f與參數(shù)激勵(lì)有關(guān)，αi(i=0，…，5)是系統(tǒng)非線性參數(shù)。

考慮1/2亞諧共振情況下系統(tǒng)的響應(yīng)和分岔特性。設(shè)Ω2/4=+εσ0，這里 σ0為調(diào)諧參數(shù)，將Ω2/4－εσ0代入式(5)。利用多尺度方法式(5)可寫成:

其中 σ =σ0+f0。

設(shè)方程(6)的一階漸近解形式為:

將式(7)代入方程(6)，令等式兩邊ε同次冪的系數(shù)相等，得到下列微分方程組:

方程(8)的解為:

這里A(t2)為A(t2)的共軛復(fù)數(shù)，聯(lián)立式(8)、式(9)和式(10)，要使解中不出現(xiàn)長期項(xiàng)，必須有:

設(shè):

將式(12)代入式(11)，并分離實(shí)部和虛部，化簡得到一次近似情形下極坐標(biāo)形式的平均方程為

討論方程(13)的穩(wěn)態(tài)解及系統(tǒng)響應(yīng)隨參數(shù)σ0，μ的變化情況。令，并消去θ，得到分岔響應(yīng)方程為:

方程(14)可以簡寫為:

由此，可以得到以下幾種不同解，顯然有A1≥0，這里假設(shè):

(1)當(dāng)C＜0時(shí)，有:

(2)當(dāng) B ＜0，C≥0，Δ =B2－4A1C≥0時(shí)，有:

(3)其他情況，有:

為了判斷1/2亞諧共振下解的穩(wěn)定性，把平均方程(13)從極坐標(biāo)形式變換成為直角坐標(biāo)形式，令:

這里x和y是t2的實(shí)函數(shù)，把式(21)代入式(11)，并分離實(shí)部和虛部得到直角坐標(biāo)形式的平均方程:

由方程(22)的Jacobi矩陣可以得到對(duì)應(yīng)零解的本征方程為:

對(duì)應(yīng)非零解的本征方程為:

根據(jù)分岔響應(yīng)方程(14)不同解和本征方程(23)，(24)，可以得到解的穩(wěn)定區(qū)域如圖5所示。平均方程(13)的奇點(diǎn)和控制方程(6)的周期解在參數(shù)平面(σ0，μ)上有相同的穩(wěn)定區(qū)域。

圖5 定常解穩(wěn)定區(qū)域Fig.5 The stability region of steady solutions

2.1 零解穩(wěn)定性分析

根據(jù)零解本征方程(23)，分析不同區(qū)域的零解穩(wěn)定性，得如下結(jié)果:

(1)當(dāng)μ＞0時(shí);如圖5，零解在區(qū)域Ⅰ是穩(wěn)定的。在區(qū)域Ⅱ是不穩(wěn)定的。

(2)當(dāng)μ＜0時(shí);零解的特征根至少有一個(gè)實(shí)部為大于零的特征根，因此，零解總是不穩(wěn)定的。

2.2 非零解穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(24)的非零解特征根結(jié)構(gòu)，可知非零解的穩(wěn)定性條件為:

通過穩(wěn)定性分析，可得非零解穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域如下:

(1)當(dāng)μ＞0時(shí):如圖15所示，非零解式(16)在區(qū)域Ⅱ穩(wěn)定，非零解(18)式在區(qū)域Ⅷ穩(wěn)定，非零解式(19)式在區(qū)域Ⅷ不穩(wěn)定。

(2)當(dāng)μ＜0時(shí):非零解式(16)在區(qū)域Ⅳ不穩(wěn)定，而在區(qū)域Ⅴ穩(wěn)定;非零解式(18)在區(qū)域Ⅵ是穩(wěn)定的，而在區(qū)域Ⅶ內(nèi)不穩(wěn)定;非零解式(19)在Ⅵ和Ⅶ不穩(wěn)定。

3 分岔分析

從以上分析可知，隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，系統(tǒng)穩(wěn)定性會(huì)發(fā)生變化，從而表現(xiàn)出不同的運(yùn)動(dòng)形式。下面利用數(shù)值仿真分析參數(shù)激勵(lì)幅值f對(duì)系統(tǒng)分叉行為的影響，系統(tǒng)(5)主要參數(shù)為 ω0=1，Ω =2，f0=0.1，μ =0.05，αi=0.1(i=1，2，3，4，5)。圖 6 為關(guān)于參數(shù)激勵(lì)幅值f的最大Lyapunov指數(shù)圖，圖7為Runge-kutta數(shù)值積分法得到的關(guān)于參數(shù)激勵(lì)幅值f的分岔圖。結(jié)果表明，隨著參數(shù)f的變化，系統(tǒng)呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

圖6 系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.6 The Maximum Lyapunov exponent map

圖7 系統(tǒng)的分岔圖Fig.7 The bifurcation diagram

① 當(dāng)激勵(lì)幅值f∈(0，0.286)，系統(tǒng)開始由于阻尼作用，運(yùn)動(dòng)形式為衰減運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)最后處于靜止?fàn)顟B(tài)。② 當(dāng)激勵(lì)作用進(jìn)一步加強(qiáng)，即取f∈(0.286，12)，系統(tǒng)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)，先后經(jīng)歷周期1→周期2→周期3，如圖8(a)所示。③ 從圖6和圖7可知，隨著激勵(lì)幅值f的增加，系統(tǒng)由周期3→周期4。取f=13，通過計(jì)算獲得的相空間軌線和Poincare截面如圖8(b)所示。④ 隨后系統(tǒng)發(fā)生倍周期分叉進(jìn)入混沌狀態(tài)，當(dāng) f∈(13.044 5，15.365 5)，圖6 中最大Lyapunov指數(shù)為正，表明系統(tǒng)此時(shí)處于混沌狀態(tài)。在該區(qū)間內(nèi)取f=13.5，模擬計(jì)算結(jié)果如圖8(c)，⑤ 在混沌區(qū)間還存在多個(gè)周期窗口，在(13.135 5，13.152 5)、(15.227，15.249 5)等區(qū)間如圖7所示，系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。取f=15.24，模擬計(jì)算結(jié)果如圖8(d)所示，此時(shí)圖6中最大Lyapunov指數(shù)為負(fù)數(shù)，Poincare截面上為六個(gè)點(diǎn)，表明系統(tǒng)處于周期6。⑥ 另外，我們還發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可以進(jìn)入陣發(fā)性混沌，如當(dāng)系統(tǒng)從混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)退出，在(15.227，15.249 5)區(qū)間發(fā)生倒周期分岔，隨后激勵(lì)幅值f繼續(xù)增大，系統(tǒng)從周期6運(yùn)動(dòng)狀態(tài)突然轉(zhuǎn)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即發(fā)生陣發(fā)性混沌。當(dāng)激勵(lì)幅值f超過15.37，系統(tǒng)發(fā)生倒倍周期分岔，即從混沌狀態(tài)進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)，取f=16，此時(shí)系統(tǒng)為周期1運(yùn)動(dòng)如圖8(e)所示。

4 結(jié)論

本文利用實(shí)驗(yàn)建模方法建立的粘彈性納米復(fù)合材料屈曲梁參數(shù)激勵(lì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制方程，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析。討論了系統(tǒng)在1/2亞諧共振情況下線性阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，得到了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)以及在(μ，σ0)平面內(nèi)的穩(wěn)定區(qū)域。利用數(shù)值模擬分析了參數(shù)激勵(lì)對(duì)分叉行為的影響，并對(duì)系統(tǒng)通往混沌的道路進(jìn)行了討論，發(fā)現(xiàn)通過倍周期分岔進(jìn)入混沌，同時(shí)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在陣發(fā)性混沌。通過實(shí)驗(yàn)建模和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析，揭示了納米復(fù)合材料參數(shù)激勵(lì)梁豐富的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，為更好的利用納米復(fù)合材料提供了理論基礎(chǔ)。

圖8 隨激勵(lì)幅值f變化時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.8 The response with excitation amplitude f varied

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