佟志忠， 段廣仁，何景峰，姜洪洲

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 1500010;2哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 1500010)

隨著空間光學(xué)技術(shù)的發(fā)展，裝載于航天器上的光學(xué)儀器對(duì)各種振動(dòng)源的隔振和減振要求不斷提高，其與航天器剛性直聯(lián)的方式已不能滿(mǎn)足高精度、高分辨率的要求。為保證高精度空間光學(xué)儀器的儀器精度，必須對(duì)其進(jìn)行多維振動(dòng)控制。

Stewart平臺(tái)具有較高的結(jié)構(gòu)剛度和精度，承載能力大，而且能夠?qū)崿F(xiàn)多自由度隔振，已被應(yīng)用于空間光學(xué)儀器［1]、整星［2]等主動(dòng)隔振。但 Stewart平臺(tái)自由度之間存在運(yùn)動(dòng)耦合、動(dòng)力學(xué)耦合，這種復(fù)雜的非線(xiàn)性、強(qiáng)耦合特性使得實(shí)現(xiàn)Stewart平臺(tái)的高精度控制仍然較為困難。很多學(xué)者采用了解耦的立方 Stewart平臺(tái)［1，3]，并深入研究了非線(xiàn)性、解耦控制問(wèn)題［4]，但滿(mǎn)足特定隔振應(yīng)用的Stewart平臺(tái)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究較少。

局部各向同性的Stewart平臺(tái)，在工作空間的某一點(diǎn)各向同性、局部鄰域內(nèi)耦合小，更為重要的是易于解耦，便于實(shí)現(xiàn)基于解耦控制、集中和分散控制或模態(tài)控制的主動(dòng)隔振?？臻g光學(xué)儀器主動(dòng)隔振平臺(tái)的工作空間很小，因而局部各向同性可作為Stewart平臺(tái)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要的優(yōu)化指標(biāo)［5]。

正交Stewart平臺(tái)是解耦的，McInroy等［6]學(xué)者對(duì)用于主動(dòng)振動(dòng)控制的正交Stewart平臺(tái)設(shè)計(jì)及控制進(jìn)行了深入的研究，基于數(shù)值的方法給出了三種具有共同正交幾何特性的機(jī)構(gòu)。Jafari等［7]給出了小范圍工作空間內(nèi)、滿(mǎn)足正交特性的解析描述。但他們的工作本質(zhì)上是一種數(shù)值方法，研究方法沒(méi)有考慮負(fù)載的質(zhì)量幾何特性，所提出的沒(méi)有給出柔順中心的解析描述，因而設(shè)計(jì)滿(mǎn)足給定物理幾何特性的負(fù)載以及特定應(yīng)用的Stewart平臺(tái)較為困難?？臻g光學(xué)儀器主動(dòng)隔振平臺(tái)為黑箱振動(dòng)隔離系統(tǒng)，控制系統(tǒng)一般具有獨(dú)立的位置環(huán)和加速度環(huán)，要求隔振平臺(tái)隔離外部擾動(dòng)(加速度)并保持精密的位置。局部加速度各向同性的Stewart平臺(tái)在空間傳遞加速度特性等同，且運(yùn)動(dòng)正交，易于實(shí)現(xiàn)解耦控制，從而隔離振動(dòng)、保證位置要求。

為此，本文提出以運(yùn)動(dòng)正交、加速度各向同性為指標(biāo)的主動(dòng)隔振Stewart平臺(tái)設(shè)計(jì)，考慮負(fù)載的質(zhì)量幾何特性，推導(dǎo)描述加速度各向同性的解析數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立描述封閉、完全解析、面向特定應(yīng)用的設(shè)計(jì)方法。

1 問(wèn)題描述

1.1 結(jié)構(gòu)描述

Stewart平臺(tái)由上下平臺(tái)、六個(gè)線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)的作動(dòng)器組成，結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足鏡像對(duì)稱(chēng)(關(guān)于XOY平面的某一軸對(duì)稱(chēng))和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)(沿Z軸旋轉(zhuǎn)120°對(duì)稱(chēng))，如圖1所示，其結(jié)構(gòu)由在中位位置的五個(gè)參數(shù)確定:上鉸圓半徑ra，下鉸圓半徑rb，平臺(tái)中位高度H，相鄰上、下鉸點(diǎn)間夾角α與 β。

圖1 Stewart平臺(tái)坐標(biāo)定義Fig.1 Definition of the coordinate of Stewart platform

上鉸點(diǎn)在體坐標(biāo)系{P}的坐標(biāo)用PA表示，下鉸點(diǎn)在慣性系{B}下的坐標(biāo)用BB表示。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，PA和BB可寫(xiě)為:

式中:

θAi和θBi表示第i號(hào)上、下鉸點(diǎn)與 X軸間的夾角，則θA和θB為:

工作空間中Stewart平臺(tái)剛體動(dòng)力學(xué)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為［8]:

式中:R為方向余弦陣;e為上下鉸點(diǎn)間連線(xiàn)的單位矢量，e=(RPA+，其中Cp為運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)，Cp=［0 0 H]T，L為平臺(tái)中位時(shí)上下鉸點(diǎn)間距離。

如若負(fù)載的質(zhì)心與運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)不一致，則負(fù)載的慣性矩陣不是對(duì)角陣，

式中:m 為負(fù)載質(zhì)量;ρc為負(fù)載質(zhì)心為負(fù)載慣量矩陣，ID=diag(IxxIyyIzz)。

負(fù)載慣性矩陣Mt的逆為:

式中:Ic為體坐標(biāo)系下的負(fù)載慣量矩陣。

1.2 加速度各向同性定義及評(píng)價(jià)指標(biāo)

一般而言，Coriolis和離心力項(xiàng)可通過(guò)逆動(dòng)力學(xué)反饋控制進(jìn)行補(bǔ)償，而重力項(xiàng)可利用前饋補(bǔ)償或施加重力平衡裝置，這不影響系統(tǒng)的耦合特性，故而式(5)簡(jiǎn)化為:

平臺(tái)的廣義加速度可描述為:

式(10)描述了關(guān)節(jié)空間作動(dòng)器出力與工作空間上平臺(tái)廣義加速度間的關(guān)系，并且這種傳遞關(guān)系不僅與負(fù)載的物理特性(慣性)有關(guān)，還與負(fù)載的幾何特性(質(zhì)心)有關(guān)。為分析和評(píng)價(jià)這種特性，引入加速度Jacobian陣定義，以G表示:

加速度各向同性以GGT的奇異值評(píng)價(jià)［9]，即:

加速度各向同性的最優(yōu)化可用最大奇異值與最小奇異值的比表示，即GGT的條件數(shù):

1.3 加速度各向同性與運(yùn)動(dòng)各向同性的聯(lián)系

2 加速度各向同性的解析描述

空間光學(xué)儀器主動(dòng)隔振平臺(tái)的工作空間很小，且多工作于中位位置，因而本文采用局部各向同性作為隔振Stewart平臺(tái)優(yōu)化設(shè)計(jì)的一個(gè)重要指標(biāo)。中位時(shí)R=I6×6。

2.1 GG T的符號(hào)表達(dá)形式

對(duì)于Stewart平臺(tái)而言，通過(guò)調(diào)整位置或配重在XOY平面使負(fù)載質(zhì)心與運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)重合易于實(shí)現(xiàn)，即pρc=［0 0 p2]T。將式(11)代入式(14)，有:

式中:

2.3 正交條件

命題1:任一個(gè)Stewart平臺(tái)必存在柔順中心，且在柔順中心處滿(mǎn)足正交特性。

證明:根據(jù)式(15)，GGT是對(duì)稱(chēng)陣。在線(xiàn)性代數(shù)中，任一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣都有實(shí)特征值，存在一個(gè)正交陣P，使得P－1(GGT)P。而且，若一個(gè)矩陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，當(dāng)且僅當(dāng)其存在唯一的、由規(guī)范正交基構(gòu)成的特征向量陣。故而P為規(guī)范正交基構(gòu)成的特征向量陣時(shí)，GGT的特征值為式(15)的主對(duì)角線(xiàn)元素，Stewart平臺(tái)各自由度正交，稱(chēng)為正交Stewart平臺(tái)。

Stewart平臺(tái)滿(mǎn)足正交的條件為:

即:

式(17)表明:任一個(gè)Stewart平臺(tái)必然存在一點(diǎn)，在這點(diǎn)滿(mǎn)足正交特性。若對(duì)這一點(diǎn)施加作用力，則只產(chǎn)生平動(dòng);若施加力矩，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，因此將這一點(diǎn)定義為柔順中心。柔順中心要求負(fù)載的質(zhì)心與平臺(tái)中位高度之間必須滿(mǎn)足式(17)，這是Stewart平臺(tái)正交的首要條件。

2.4 GG T奇異值的解析形式

Stewart平臺(tái)滿(mǎn)足正交特性時(shí)，GGT的特征值，即為GGT的主對(duì)角線(xiàn)元素，則用于評(píng)價(jià)加速度各向同性的指標(biāo)(GGT的奇異值)為:

3 基于加速度各向同性的優(yōu)化設(shè)計(jì)

基于加速度各向同性的評(píng)價(jià)指標(biāo)及其解析的數(shù)學(xué)描述，本節(jié)將推求加速度部分各向同性、完全各向同性的條件，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)加速度各向同性的隔振Stewart平臺(tái)設(shè)計(jì)。

3.1 加速度各向同性條件

3.1.1 轉(zhuǎn)動(dòng)各向同性

轉(zhuǎn)動(dòng)加速度各向同性的性能指標(biāo):

式中n為上下鉸圓半徑之比，n=ra。rb

將式(24)代入式(19)、式(20)，平動(dòng)加速度各向同性的性能指標(biāo)為:

3.1.2 平動(dòng)各向同性

類(lèi)似地，平動(dòng)各向同性的中位高度Hv為:

對(duì)比式(24)和式(27)可知，相較于轉(zhuǎn)動(dòng)各向同性，平動(dòng)各向同性的條件相對(duì)寬松，只與平臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。將式 (27)代入式(18)～式(23)，得:

3.1.3 完全各向同性

理論上講，由于平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)量綱的不一致，為分析和達(dá)到完全各向同性，必須引入一個(gè)特征尺度。然而特征尺度不存在本質(zhì)的物理描述，Angeles等［10]提出了一種用于工程的特征尺度選取方法。但特征尺度的選取并不唯一，為解決這一問(wèn)題，本文基于完全各向同性定義特征尺度，以L(fǎng)scale表示。

根據(jù)σISO_v=LscaleσISO_ω，完全各向同性的條件為:

一般而言，n＞2在工程上并不常用且與1/n為對(duì)偶機(jī)構(gòu)，故限定0＜n≤2，則下列條件必須滿(mǎn)足:

加速度各向同性時(shí)，其性能指標(biāo)為:

定理1:正交Stewart平臺(tái)達(dá)到平動(dòng)或完全各向同性時(shí)，必然存在一個(gè)特征不變量■2，其只與負(fù)載物理屬性有m關(guān)。對(duì)于具有(k≥6)個(gè)支腿、滿(mǎn)足旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的廣義Stewart平臺(tái)各向同性時(shí)，這一特征不變量為

完全各向同性Stewart平臺(tái)的中位高度為:

將上式代入式(17)，柔順中心表達(dá)式為:

聯(lián)立式(32.b)、式(36)和式(37)，得到如下關(guān)系:

式(32)～式(38)嚴(yán)格描述了加速度完全各向同性Stewart平臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與負(fù)載質(zhì)量幾何特性之間的關(guān)系，但這些工作是基于特征尺度Lscale引入完成的。實(shí)際上，這一特征尺度定義是具有廣義性性質(zhì)的，可視為傳感器的靈敏度，或運(yùn)動(dòng)傳動(dòng)比，抑或是控制系統(tǒng)的反饋比例系數(shù)，其是聯(lián)結(jié)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的切入點(diǎn)，具有實(shí)際意義。盡管這在理論上具有一定局限性，但所推導(dǎo)的數(shù)學(xué)描述解析、封閉，完全適用于隔振Stewart平臺(tái)的設(shè)計(jì)和工程實(shí)際應(yīng)用。

更為重要的是，加速度完全各向同性要求負(fù)載的慣量滿(mǎn)足Izz=2Ixx=2Iyy，而動(dòng)態(tài)各向同性要求Izz=。顯然，后者對(duì)負(fù)載的物理屬性要求極為苛刻，在工程上幾乎不可能實(shí)現(xiàn)，但此時(shí)加速度特性是正交的;而加速度各向同性的條件在實(shí)際應(yīng)用中是可以實(shí)現(xiàn)的，且能夠保證運(yùn)動(dòng)正交。故而，本文選取加速度各向同性作為設(shè)計(jì)指標(biāo)之一，既能使隔振平臺(tái)對(duì)加速度擾動(dòng)的有效抑制，又能夠保證平臺(tái)運(yùn)動(dòng)無(wú)耦合，從而滿(mǎn)足空間光學(xué)儀器的高精度控制要求。

3.2 加速度各向同性的隔振Stewart平臺(tái)設(shè)計(jì)

根據(jù)加速度各向同性的解析、封閉的數(shù)學(xué)描述，設(shè)計(jì)滿(mǎn)足給定負(fù)載特性的、局部加速度各向同性、運(yùn)動(dòng)正交的隔振Stewart平臺(tái)在理論上是可行的。實(shí)際上，3.1節(jié)給出了生成一類(lèi)加速度各向同性隔振Stewart平臺(tái)的設(shè)計(jì)方法，根據(jù)上下平臺(tái)連接鉸點(diǎn)數(shù)的不同，將隔振Stewart平臺(tái)分為四種構(gòu)型:3－3，3－6，6－3和6－6 Stewart平臺(tái)。

以3 －3 Stewart平臺(tái)為例，此時(shí) α =0°，β=120°，隔振Stewart平臺(tái)的結(jié)構(gòu)由以下幾個(gè)參數(shù)確定:ra，rb、H，以及m、Izz和。表1列舉了不同上下鉸點(diǎn)圓半徑之比的、加速度各向同性的隔振3－3 Stewart平臺(tái)構(gòu)型綜合。

表1 加速度各向同性的隔振3－3 Stewart平臺(tái)構(gòu)型Tab.1 Configurations of vibration isolation 3 －3 Stewart platform with acceleration isotropy

上述設(shè)計(jì)屬于基于代數(shù)法的設(shè)計(jì)，只能提供一種可行的實(shí)現(xiàn)，卻不能保證其是最佳的解決方案。為滿(mǎn)足空間光學(xué)儀器隔振平臺(tái)的工作空間、無(wú)奇異、無(wú)構(gòu)件干涉等要求，必須進(jìn)行多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和校核。將本文提出的解析設(shè)計(jì)方法與PSO(Particle swarm optimization)等優(yōu)化算法相結(jié)合，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)是極容易實(shí)現(xiàn)的。以加速度各向同性為指標(biāo)的隔振Stewart平臺(tái)設(shè)計(jì)，為空間光學(xué)儀器的高精度控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

本文基于局部加速度各向同性、運(yùn)動(dòng)正交特性，給出了用于空間光學(xué)儀器主動(dòng)隔振Stewart平臺(tái)的設(shè)計(jì)方法。與以往工作不同的是考慮了負(fù)載質(zhì)量幾何特性的影響，證明了任一個(gè)正交Stewart平臺(tái)必然存在柔順中心，并給出了柔順中心的數(shù)學(xué)表達(dá)式。所提出的加速度各向同性數(shù)學(xué)描述完全解析、封閉，揭示了各向同性、機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)以及負(fù)載特性之間的聯(lián)系，建立了生成一類(lèi)加速度各向同性隔振Stewart平臺(tái)的設(shè)計(jì)方法。

本文下一步工作將研究加速度各向同性、運(yùn)動(dòng)正交Stewart平臺(tái)的主動(dòng)振動(dòng)控制，分析全工作空間的耦合特性及其模態(tài)解耦控制技術(shù)，為空間光學(xué)儀器的隔振提供理論依據(jù)。

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