茅志穎，陳國平，張保強

(南京航空航天大學 航空宇航學院，南京 210016)

結(jié)構(gòu)在使用過程中，由于受外部環(huán)境等的影響容易造成損傷，會影響到結(jié)構(gòu)的力學性能，因此結(jié)構(gòu)的損傷定位成為近年來的一個熱點問題。由于容易通過實驗獲得結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，因此，以結(jié)構(gòu)振動性能為基礎的結(jié)構(gòu)損傷定位方法被廣泛使用［1－5］。任何結(jié)構(gòu)都可以被考慮成一個帶有剛度、質(zhì)量和阻尼的振動系統(tǒng)。一旦損傷在結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)，結(jié)構(gòu)振動的基本參數(shù)會被改變。結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的變化可以作為早期損傷出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)中的信號?；诮Y(jié)構(gòu)振動性能的損傷定位主要是用結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)如固有頻率，模態(tài)阻尼和模態(tài)振型等來實現(xiàn)［6－11］。

拓撲優(yōu)化在結(jié)構(gòu)設計優(yōu)化領域有著廣泛的應用，但是在結(jié)構(gòu)損傷定位上的應用還不多見［12－13］，王云，郝際平［14］研究了金屬材料內(nèi)部微觀缺陷在幾何方程上的體現(xiàn)。本文中，利用漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法結(jié)合結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)研究了其在微小損傷結(jié)構(gòu)損傷定位應用上的可行性。這種方法基于拓撲優(yōu)化的特質(zhì)，可以在結(jié)構(gòu)整個區(qū)域?qū)ふ覔p傷點，具有一定的應用前景。

1 損傷定位的數(shù)學模型

漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法的原理是通過選取適當?shù)臏蕜t來判定結(jié)構(gòu)中每一個單元對結(jié)構(gòu)某特性的重要程度，也可以說是使得結(jié)構(gòu)的某一特性達到某一程度，結(jié)構(gòu)中每一個單元的貢獻大小。在本文中，即是指通過判斷所有單元對于結(jié)構(gòu)的幾階共振頻率和反共振頻率的貢獻的大小來確定結(jié)構(gòu)中最有可能損傷的區(qū)域。

損傷定位的數(shù)學模型可以表示為如下形式:

式中Q=［q1q2… qn］T為結(jié)構(gòu)單元拓撲優(yōu)化設計向量;qi∈{0 1}，分別表示單元在損傷區(qū)域和不在損傷區(qū)域兩種情況;mi為單元i的質(zhì)量。其中，ωkr和 ωka為原結(jié)構(gòu)的共振頻率和反共振頻率，和為損傷結(jié)構(gòu)的共振頻率和反共振頻率，Nr為共振頻率的約束個數(shù)，Na為反共振頻率的約束個數(shù)，ε為容許的誤差值。

結(jié)構(gòu)振動特性由其特征方程給出，在對結(jié)構(gòu)進行動力學分析時，無阻尼結(jié)構(gòu)的振動特征方程為:

式中:［K］為結(jié)構(gòu)總剛度矩陣，為N階方陣;［M］為結(jié)構(gòu)總質(zhì)量矩陣，為N階方陣;ωi為第i階固有頻率且λi=ω2i;{φi}為第i階固有振型

經(jīng)過推導可得結(jié)構(gòu)的i階頻率ωi的靈敏度αij為:

其中［ΔKj］和［ΔMj］為刪除第j個單元使結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣的變化。

對于一般的無阻尼結(jié)構(gòu)，其系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣為:

Hts(ω)表示在s自由度激勵，在t自由度測量所獲得的頻響。其中，Hits(ω)的分子是伴隨矩陣 adj(［K］－ω2［M］)的第 ts項 H*its(ω)，表示如下:

其中，［Kt，s］和［Mt，s］分別表示刪除第 t行和第 s列元素后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。當t=s時，稱為原點頻響函數(shù)，當t≠s時，稱為跨點頻響函數(shù)。

結(jié)構(gòu)的反共振頻率可以通過下式的特征值問題獲得:

其中，λa即為反共振頻率所對應的特征值。

當Hts(ω)為原點頻響函數(shù)時，共振頻率和反共振頻率交叉成對出現(xiàn)，比結(jié)構(gòu)固有頻率少一個，相當于將原系統(tǒng)第i個自由度固定獲得的新結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率。而當Hts(ω)為跨點頻響函數(shù)時，不存在共振頻率和反共振頻率交叉的特性。結(jié)構(gòu)各原點頻響函數(shù)的反共振頻率一般是不相同的，如圖1所示。共振現(xiàn)象是系統(tǒng)的全局現(xiàn)象，而反共振現(xiàn)象是系統(tǒng)的一種局部現(xiàn)象。

對于原點反共振頻率，結(jié)構(gòu)中刪除單元的特征值變化可以表示為:

反共振頻率特征值λai的變化值為Δjλai。

對于跨點反共振頻率，結(jié)構(gòu)中刪除單元的特征值的變化量可以表示為:

其中，{φail}和{φair}分別為左右特征向量。

由于，原點反共振頻率的特殊性，在本文中，所使用的反共振頻率都是指某點的原點反共振頻率。

圖1 不同點的原點頻響函數(shù)Fig.1 The P-FRFs of different measurement points

2 基于漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法的損傷定位策略

當損傷很小時，搜尋的過程會比較困難。在拓撲優(yōu)化的過程中，因為設計范圍是結(jié)構(gòu)所有的有限元單元，所以當單元數(shù)目較多時，尋找微小的損傷單元就會需要很多的工作量。因此在本文中，尋找微小的損傷單元時，采用一種判斷方法來逐步排除不可能的單元，同時向損傷區(qū)域逼近。這種方法可以直觀的表示為如圖2所示。

結(jié)構(gòu)的單元是否處于損傷區(qū)域的單元，是一個有可能是或者有可能非的模糊概念，因此，結(jié)合模糊數(shù)學，給每一個單元一個可能是或者可能非的程度大小一個數(shù)值衡量。在本文中采用線性隸屬函數(shù)的中間型表示結(jié)構(gòu)中每一個單元對于結(jié)構(gòu)共振頻率和反共振頻率變化的靈敏度。

其中，a，b，c，d的計算公式可以表示如下:

圖2 損傷區(qū)域逼近Fig.2 The approach strategy of damage region

當結(jié)構(gòu)的損傷比較微小時，也即此時結(jié)構(gòu)的幾階共振頻率和反共振頻率都沒有太大的變化，此時，采用區(qū)域逼近方法的搜索過程可以表示為如圖3所示。

(1)將無損傷結(jié)構(gòu)劃分有限元單元，確定初始搜尋范圍內(nèi)的單元集合Ne;

(2)確定無損傷結(jié)構(gòu)的初始共振頻率和某點的原點反共振頻率以及損傷結(jié)構(gòu)的共振頻率和相同點的原點反共振頻率;

(3)計算無損傷結(jié)構(gòu)的單元對于某一頻率或反共振頻率的靈敏度;

(4)利用式(8)對每個單元的靈敏度求取隸屬度uiω;

圖3 微小損傷定位策略Fig.3 The strategy of tiny damage localization

(5)判斷每個單元的 uω是否小于 δ，同時更新Ne;

(6)對Ne的單元，確定可能的損傷單元;

(7)判斷是否收斂，如果收斂，則損傷搜尋停止;反之，則重復(3)～(6)步，直到搜尋到最可能的損傷區(qū)域。

3 數(shù)值算例

算例1，如圖4和圖5所示分別為一無損傷結(jié)構(gòu)和一微小的凹槽型損傷結(jié)構(gòu)，左端固支。

原結(jié)構(gòu)的共振頻率和A點的原點反共振頻率以及損傷結(jié)構(gòu)的共振頻率和A點的原點反共振頻率分別如表1所示。

表1 損傷結(jié)構(gòu)和無損傷結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)Tab.1 Modal data of the undamaged and damaged structure

圖6 A點的原點頻響函數(shù)Fig.6 The comparison of the P-FRFs for point A

A點的原點頻響函數(shù)曲線如圖6所示。由圖6可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的共振頻率和反共振頻率都發(fā)生了較小的變化。取δ值為0.2，結(jié)構(gòu)的損傷定位使用了損傷區(qū)域逼近的方法，損傷結(jié)構(gòu)的搜尋過程如圖7所示。

圖7 損傷定位過程Fig.7 The process of the damage localization

結(jié)構(gòu)的損傷定位過程如圖7所示，在搜尋過程中，由于使用了損傷區(qū)域逼近方法，隨著搜索的進行，其可能得損傷區(qū)域在逐步縮小范圍，需要判斷的單元也在逐漸減小，最后只剩下14個可能的損傷單元。從最后的定位結(jié)果看，采用區(qū)域逼近的方法，其損傷定位還是比較準確的。

算例2，如圖8和圖9所示，分別為一無損傷結(jié)構(gòu)和一具有多處微小損傷結(jié)構(gòu)，左端固支。

原結(jié)構(gòu)的共振頻率和C、D點的原點反共振頻率以及損傷結(jié)構(gòu)的共振頻率和C、D點的原點反共振頻率分別如表2所示。

圖8 無損傷結(jié)構(gòu)Fig.8 Undamaged structure

圖9 損傷結(jié)構(gòu)Fig.9 Damaged structure

C點和D點的原點頻響函數(shù)曲線分別如圖10和圖11所示。由圖10和11可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的各階頻率和反共振頻率并沒有太大的變化，判斷是微小損傷，使用損傷區(qū)域逼近的方法來搜索損傷區(qū)域，取δ值為0.2，其搜尋過程如圖12所示。

表2 損傷結(jié)構(gòu)和無損傷結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)Tab.2 Modal data of the undamaged and damaged structure

圖10 C點的原點頻響函數(shù)Fig.10 The comparison of the P-FRFs for point C

在本算例中，為了識別多處微小損傷，因此，使用了兩個點的反共振頻率數(shù)據(jù)，得到的定位結(jié)果很準確。相比于算例1只使用了一個點的反共振頻率就能獲得比較準確的定位結(jié)果，在本算例中，當只使用C點的反共振頻率時，得到的損傷定位結(jié)果如圖13所示。

圖11 D點的原點頻響函數(shù)Fig.11 The comparison of the P－ FRFs for point D

圖12 損傷定位過程Fig.12 The process of the damage localization

圖13所示的是只使用了共振頻率和C點一個點的反共振頻率的定位結(jié)果，從結(jié)果看，可以發(fā)現(xiàn)，此時得到的定位結(jié)果并不是很準確，由此可以說明，為了得到盡可能準確的結(jié)果，足夠的模態(tài)數(shù)據(jù)，是非常必要的。

圖13 沒有使用D點反共振頻率的定位結(jié)果Fig.13 The result without the anti-resonances of the point D

4 結(jié)論

本文中以結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)主要是結(jié)構(gòu)共振頻率和結(jié)構(gòu)某點的反共振頻率為基礎，結(jié)合漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，討論了其在微小損傷結(jié)構(gòu)的損傷定位中應用的可行性。文章提出了針對微小損傷結(jié)構(gòu)的損傷區(qū)域逼近方法，并提出了合適的結(jié)合損傷區(qū)域逼近的定位策略。針對本文所提的微小損傷結(jié)構(gòu)，給出了的算例分別對單一的微小損傷和多處微小損傷的結(jié)構(gòu)進行討論。算例表明，漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法在已經(jīng)測得結(jié)構(gòu)損傷前后共振頻率和反共振頻率的基礎上，在結(jié)構(gòu)整個區(qū)域?qū)ふ覔p傷點，即使對于微小的損傷結(jié)構(gòu)也可以有很好的搜尋效果，可以在工程上推廣應用。

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