丁曉紅 李國杰

1.上海理工大學(xué)，上海，200093 2.三一集團(tuán)港機(jī)公司上海研究院，上海，201200

0 引言

箱型支撐結(jié)構(gòu)一般由外壁及布置于內(nèi)部的縱橫加筋板組成，縱橫布置的內(nèi)部加筋板可增加箱型支撐結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，使箱型結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)、高強(qiáng)度、高剛度的優(yōu)點(diǎn)，因此在工程實(shí)際中得到了日益廣泛的應(yīng)用，如機(jī)床的床身、立柱等支撐件，起重機(jī)的大梁與支腿，以及船舶船體、車輛車體結(jié)構(gòu)等。箱型支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板的布局是影響結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的主要因素，因此如何在箱型支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)部合理地布置加筋板，使結(jié)構(gòu)的機(jī)械性能達(dá)到最優(yōu)是一個(gè)值得研究的問題。目前，大多數(shù)箱型支撐結(jié)構(gòu)加筋板優(yōu)化設(shè)計(jì)問題都局限于加筋板間隔與截面的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)［1－4］，而加筋板的形式及布局優(yōu)化設(shè)計(jì)自由度大，實(shí)現(xiàn)困難，研究成果較少。由材料力學(xué)理論可知，對(duì)箱型結(jié)構(gòu)來說，縱向加筋板抗彎效果好，設(shè)置于彎曲平面內(nèi)；橫向加筋板抗扭作用大，在垂直于扭矩的矢量方向上設(shè)置；斜向加筋板具有同時(shí)提高抗彎、抗扭的綜合效果。目前大部分箱型支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板布局均從上述理論出發(fā)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提出各種加筋板的形式，如垂直對(duì)角筋、垂直縱向筋、垂直橫向筋、空間對(duì)角筋，在對(duì)這些加筋結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析比較的基礎(chǔ)上，對(duì)原有設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)［5－7］，或者在確定了若干個(gè)加筋板布局形式的基礎(chǔ)上進(jìn)行布局選型及尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)［8］。近年來，隨著結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)理論的發(fā)展，加強(qiáng)筋的布局優(yōu)化問題得到了深入的研究，尤其是薄壁板殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋的分布優(yōu)化設(shè)計(jì)［9－11］。對(duì)于箱型結(jié)構(gòu)來說，將箱型結(jié)構(gòu)內(nèi)部填充材料，然后對(duì)其內(nèi)部的實(shí)體采用結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，可得到內(nèi)部加筋板的優(yōu)化布局［12］。但對(duì)于工程中常見的大體積箱型支撐結(jié)構(gòu)，采用拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法計(jì)算量相當(dāng)大，且其設(shè)計(jì)結(jié)果形態(tài)復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用中還需要進(jìn)行進(jìn)一步的后處理，因此雖然從理論上說該方法行之有效，但實(shí)際應(yīng)用還相當(dāng)少。

本文針對(duì)箱型支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板的設(shè)計(jì)問題，采用簡化的纖維模型，提出了一種基于密度法的高效設(shè)計(jì)方法。首先將箱型結(jié)構(gòu)表示為內(nèi)部布置有平行分布桿的結(jié)構(gòu)，即建立相應(yīng)的纖維模型，通過對(duì)承載外壁的材料分布進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，確定內(nèi)部桿存在與否，將存在的桿連接起來形成箱型結(jié)構(gòu)的內(nèi)部加筋板。通過對(duì)懸臂箱型結(jié)構(gòu)、具有曲面的底部支撐箱型結(jié)構(gòu)和機(jī)床床身箱體的典型設(shè)計(jì)實(shí)例的分析，說明本方法的有效性。

1 設(shè)計(jì)方法

1.1 設(shè)計(jì)模型的簡化

由外壁和加筋板組成的箱型結(jié)構(gòu)可簡化為纖維模型：加筋板可看成由平行的纖維組成，這些纖維一端連接著承載的外壁，另一端連接著結(jié)構(gòu)的支撐面，如圖1所示。其中，圖1a表示具有對(duì)角筋板的箱型結(jié)構(gòu)，將筋板看成由圖1b所示的平行纖維組成。將平行纖維表示為有限元模型中的梁單元，則可得到圖2所示的具有內(nèi)部平行梁單元的箱型結(jié)構(gòu)的初始有限元設(shè)計(jì)模型，即纖維模型，其中與梁單元相連的承載面和支撐面均劃分為相同的殼單元。

圖1 對(duì)角筋板的纖維模型表示

圖2 具有內(nèi)部平行梁單元的箱型結(jié)構(gòu)初始有限元設(shè)計(jì)模型

1.2 基于密度法的外壁材料分布優(yōu)化

將箱型支撐結(jié)構(gòu)簡化為纖維模型后，以承載外壁作為設(shè)計(jì)區(qū)域，通過設(shè)計(jì)外壁的材料優(yōu)化分布，確定內(nèi)部平行梁單元的布局，即保留與外壁存在材料區(qū)域相對(duì)應(yīng)的梁，去掉與外壁刪除材料區(qū)域相對(duì)應(yīng)的梁，并將保留的梁連接起來，即構(gòu)成內(nèi)部的加筋板。這樣就將原來復(fù)雜的三維實(shí)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為二維板殼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題。

板殼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法比較成熟，本文采用密度法［13］進(jìn)行設(shè)計(jì)。所謂密度法就是將材料的密度作為設(shè)計(jì)變量，密度從0到1連續(xù)變化，1表示有材料，0表示沒有材料，密度在0～1之間的材料為虛擬材料，稱為中間密度材料。則優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可描述為

式中，ρi為單元i材料的密度；n為單元數(shù)；m為約束條件數(shù)。

為了消除中間密度材料，使設(shè)計(jì)結(jié)果僅存在密度為0和1的材料，單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算時(shí)采用下式對(duì)中間密度進(jìn)行“懲罰”：

式中，K′為懲罰后的單元?jiǎng)偠染仃?；ρ為單元的材料密度；K為實(shí)際的單元?jiǎng)偠染仃?；p為懲罰因子，通常p的取值在2～3之間［13］。

以結(jié)構(gòu)體積最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)，并滿足結(jié)構(gòu)的變形及應(yīng)力約束，基于密度法的外壁材料分布優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可描述為

式中，V為結(jié)構(gòu)的總體積；δmax、σmax分別為結(jié)構(gòu)的最大位移和最大應(yīng)力；［δ］、［σ］分別為結(jié)構(gòu)的許用位移和許用應(yīng)力。

綜上所述，具體的設(shè)計(jì)流程為：首先將設(shè)計(jì)對(duì)象簡化為中空的箱體，對(duì)其進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，注意箱體的約束面和設(shè)計(jì)面的網(wǎng)格需一一對(duì)應(yīng)；在上下對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上建立與設(shè)計(jì)面垂直的梁單元，即構(gòu)建纖維模型。施加載荷和約束，進(jìn)行靜力分析。然后應(yīng)用密度法，根據(jù)式（3）對(duì)設(shè)計(jì)面進(jìn)行材料的最優(yōu)分布設(shè)計(jì)。最后根據(jù)設(shè)計(jì)面的材料分布優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果，確定應(yīng)保留的梁單元，連接各梁單元形成加筋板。

2 典型算例

2.1 懸臂箱型梁加筋板布局優(yōu)化設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，首先以簡單的懸臂梁承受扭轉(zhuǎn)載荷情況為例進(jìn)行討論。懸臂箱型梁模型如圖3a所示，梁的長高比為2，截面為正方形，梁的自由端作用載荷，使梁受扭。圖3b所示為相應(yīng)的有限元模型，中空的箱型梁內(nèi)部布置水平的梁單元，以連接固定端和自由端。將自由端面作為設(shè)計(jì)面，以結(jié)構(gòu)體積最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)，滿足結(jié)構(gòu)的剛度和強(qiáng)度要求，應(yīng)用密度法對(duì)其進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，得到的設(shè)計(jì)結(jié)果如圖3c所示。

由圖3c可知，受扭懸臂箱型梁的加筋板應(yīng)布置為對(duì)角筋板的形式，這樣的形式可由材料力學(xué)中關(guān)于梁的理論得到合理的解釋：由于受到純扭轉(zhuǎn)，各點(diǎn)的應(yīng)力狀況為純剪切，在45°的對(duì)角方向上存在主應(yīng)力，因此對(duì)角布置的加筋板近似受拉或受壓，受力狀況良好。由此可認(rèn)為，應(yīng)用本文方法進(jìn)行箱型梁加筋板布局優(yōu)化設(shè)計(jì)是合理的。

為了說明結(jié)構(gòu)的合理性，以結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能與體積的乘積作為結(jié)構(gòu)綜合性能指標(biāo)μ，即

式中，E為結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能，其值越大，說明結(jié)構(gòu)的柔度越大，剛度越小。

考慮剛度最優(yōu)的理想結(jié)構(gòu)是結(jié)構(gòu)的體積最小而應(yīng)變能也最小，即性能指標(biāo)μ的值越小越好。

圖3 受扭懸臂梁的設(shè)計(jì)

將圖3c所示具有對(duì)角加筋板的懸臂箱型梁結(jié)構(gòu)和內(nèi)部沒有加筋板而具有與圖3c相同外形幾何尺寸的梁進(jìn)行比較。設(shè)計(jì)模型和加載情況如圖4所示，表1列出了兩種懸臂梁模型的總應(yīng)變能、最大應(yīng)力、最大變形、體積及性能指標(biāo)μ，表1中將中空懸臂梁的各項(xiàng)指標(biāo)表示為1?？梢姡哂袑?duì)角加筋板的結(jié)構(gòu)體積是中空梁的1.63倍，而性能指標(biāo)僅為前者的0.26倍，相應(yīng)地，加筋結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能、最大應(yīng)力和最大變形分別為中空結(jié)構(gòu)的0.16倍、0.27倍、0.15倍，說明布置有對(duì)角加筋板梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能大幅度提高，抗扭剛度可提高6倍以上，而其綜合性能指標(biāo)也提高了近4倍，進(jìn)一步說明了由本文方法設(shè)計(jì)得到的對(duì)角加筋板的箱型懸臂梁的合理性。

圖4 懸臂梁的力學(xué)模型

表1 懸臂梁性能對(duì)比

2.2 曲面箱型支撐結(jié)構(gòu)

為了進(jìn)一步說明本文方法的有效性，以形狀較復(fù)雜的曲面箱型支撐結(jié)構(gòu)為例，考察不同的形狀幾何參數(shù)對(duì)加筋板布局結(jié)果的影響。圖5a所示為設(shè)計(jì)模型，結(jié)構(gòu)的橫截面為矩形，側(cè)面為曲面壁板圍成，結(jié)構(gòu)底部支撐，上面承受扭轉(zhuǎn)載荷。曲面壁板長度與矩形橫截面高度之比為3.3，矩形橫截面的高度h與寬度w之比為ζ，即ζ＝w／h。

圖5b為相應(yīng)的纖維模型，中空的箱型梁內(nèi)部布置豎直的梁單元，以連接承載面和支撐面。圖5c～圖5e所示為當(dāng)形狀幾何參數(shù)ζ分別為1.0、1.5和2.0時(shí)的加筋板布局設(shè)計(jì)結(jié)果。由圖5可知，隨著形狀幾何參數(shù)ζ的變化，箱型結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板的布局也發(fā)生變化：當(dāng)ζ＝1.0時(shí)，僅在4個(gè)角上出現(xiàn)對(duì)角的加筋板，結(jié)構(gòu)中部由于橫向較窄，抗扭剛度較大，不需要布置加筋板；當(dāng)ζ＝1.5時(shí)，結(jié)構(gòu)中部出現(xiàn)斜向加筋板，將兩端的加筋板連在一起，以增大結(jié)構(gòu)的抗扭剛度；而當(dāng)ζ＝2.0時(shí)，中部加筋板變厚，兩端的加筋板尺寸變小。顯然，形狀幾何參數(shù)ζ的增大導(dǎo)致箱型結(jié)構(gòu)內(nèi)部空間增大，抗扭剛度減小，需在結(jié)構(gòu)內(nèi)部合理地布置加筋板，以提高結(jié)構(gòu)整體剛度。

圖5 曲面箱型支撐結(jié)構(gòu)加筋板布局設(shè)計(jì)

2.3 機(jī)床床身結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板布局優(yōu)化設(shè)計(jì)

機(jī)床床身起著支撐和連接工作臺(tái)、頭尾架等關(guān)鍵零部件的作用，其剛度與整機(jī)加工精度密切相關(guān)。同時(shí)，在整個(gè)機(jī)床的各個(gè)組成部分中，床身的重量大約占機(jī)床總重量的20%以上，其材料用量和制造工藝費(fèi)用對(duì)整機(jī)的經(jīng)濟(jì)性能有很大的影響。因此，對(duì)床身結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到剛度大、重量輕的結(jié)構(gòu)對(duì)提高機(jī)床整機(jī)的性價(jià)比十分必要。機(jī)床床身承受的載荷比較復(fù)雜，包括其上支撐的工作臺(tái)、工件等部件重量，切削力及其本身自重等，這些載荷不僅使床身受壓，同時(shí)使床身受扭及斜彎曲。試驗(yàn)表明，在各種變形中，扭轉(zhuǎn)變形可占總變形的60%以上［6］，因此本文主要研究如何在床身結(jié)構(gòu)內(nèi)部布置合理的加筋板，以提高床身的抗扭剛度。

受扭床身的力學(xué)模型如圖6所示，圖6a為床身頭尾架上承受繞x軸的扭矩靜力當(dāng)量載荷時(shí)的情況，圖6b為相應(yīng)的力學(xué)模型。本文設(shè)計(jì)的床身外形尺寸為2700mm×1170mm×700mm，截面為長方形，壁厚為15mm。根據(jù)本文提出的設(shè)計(jì)方法，床身的纖維模型如圖6c所示。將床身底面固定，以上表面為設(shè)計(jì)面，根據(jù)式（3）的優(yōu)化模型，以體積最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)，考慮結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力約束，得到設(shè)計(jì)面的材料分布如圖6d所示。由圖6可知，為了提高床身箱體的抗扭剛度，兩組對(duì)稱的對(duì)角加筋板由一位于床身中心軸線上的縱向加筋板連接在一起，形成床身箱體的內(nèi)部加筋板結(jié)構(gòu)。

圖7a所示為床身承受的另一種典型的載荷情況，此時(shí)床身頭尾架上承受沿y軸的靜力當(dāng)量載荷。將該靜力當(dāng)量載荷簡化到床身上，如圖7b所示，此時(shí)床身承受扭轉(zhuǎn)和剪切的組合載荷作用。圖7c為相應(yīng)的纖維模型，采用和圖6相同的設(shè)計(jì)過程，設(shè)計(jì)面的材料分布如圖7d所示。和圖6d相比，同樣需要在床身兩端布置兩組對(duì)稱的對(duì)角加筋板以提高結(jié)構(gòu)的抗扭剛度，但在結(jié)構(gòu)中部會(huì)出現(xiàn)米字形的橫向加筋板結(jié)構(gòu)。

圖6 受扭床身加筋板設(shè)計(jì)

圖7 受扭剪組合載荷床身加筋板設(shè)計(jì)

根據(jù)圖6d和圖7d所得的設(shè)計(jì)結(jié)果，分別建立圖8a和圖8b所示的帶有加筋板的箱體結(jié)構(gòu)。為了說明設(shè)計(jì)結(jié)果的合理性，將圖8a和圖8b所示的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型與圖8c所示的目前常見的帶橫隔板的床身結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較。三種床身箱體在純扭轉(zhuǎn)載荷和扭轉(zhuǎn)剪切組合載荷作用下的力學(xué)性能和性能指標(biāo)列于表2，表2中將帶有橫隔板的床身結(jié)構(gòu)的各項(xiàng)指標(biāo)表示為1。由表2可見，純扭轉(zhuǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的體積最小，是橫隔板模型的0.983倍；而組合載荷優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的體積最大，是橫隔板模型的1.02倍。在純扭轉(zhuǎn)載荷作用下，純扭轉(zhuǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的性能指標(biāo)μ最小，比橫隔板模型減小26.7%，應(yīng)變能比橫隔板模型減小25.5%，體積減小1.7%，因此最優(yōu)；而在扭轉(zhuǎn)和剪切組合載荷作用下，組合載荷優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的性能指標(biāo)μ比橫隔板模型減小9.5%，應(yīng)變能比橫隔板模型減小11.3%，體積增大2.0%，因此最優(yōu)。可見采用本文提出的設(shè)計(jì)方法可有效布置床身內(nèi)部的加筋板，提高床身結(jié)構(gòu)的技術(shù)經(jīng)濟(jì)性能。

圖8 各種加筋板的床身模型

表2 各種加筋板的床身性能對(duì)比

3 結(jié)語

本文采用合理的纖維模型，將三維實(shí)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為二維板殼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題，提出了一種高效的箱型支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板優(yōu)化布局設(shè)計(jì)方法，以若干典型實(shí)例驗(yàn)證了所提出方法的有效性。本方法可廣泛應(yīng)用于各種支撐箱型結(jié)構(gòu)的加筋板布局優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

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