尹妍妍 梁志強(qiáng) 劉進(jìn)慶 辛志榮

（山東交通學(xué)院理學(xué)院，山東 濟(jì)南 250023）

均勻帶電細(xì)圓環(huán)電場(chǎng)的計(jì)算機(jī)模擬

尹妍妍 梁志強(qiáng) 劉進(jìn)慶 辛志榮

（山東交通學(xué)院理學(xué)院，山東 濟(jì)南 250023）

用Matlab程序?qū)鶆驇щ娂?xì)圓環(huán)在空間激發(fā)的電場(chǎng)進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬，可以輸出帶電圓環(huán)附近任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度及電勢(shì)，做出了過環(huán)心與圓環(huán)垂直的平面內(nèi)的等勢(shì)線，以及三維空間的等勢(shì)面，實(shí)現(xiàn)了電場(chǎng)的可視化，便于形象地理解帶電圓環(huán)激發(fā)電場(chǎng)的空間分布.

均勻帶電細(xì)圓環(huán)；計(jì)算機(jī)模擬；Matlab；等勢(shì)面；可視化

1 引言

靜電場(chǎng)的研究在大學(xué)物理教學(xué)中起著重要的作用，是研究電磁學(xué)的基礎(chǔ).均勻帶電細(xì)圓環(huán)電場(chǎng)的研究就是一個(gè)非常典型的例子.近年來關(guān)于均勻帶電細(xì)圓環(huán)電場(chǎng)的討論很多；文獻(xiàn)［1］在直角坐標(biāo)系中導(dǎo)出電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的級(jí)數(shù)解；文獻(xiàn)［2］、［3］把電場(chǎng)強(qiáng)度表示為橢圓積分；文獻(xiàn)［4］在柱坐標(biāo)系中得到電場(chǎng)的級(jí)數(shù)解，但是這些方法計(jì)算比較冗長(zhǎng)且結(jié)果多以數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式給出，不利于工科學(xué)生理解電場(chǎng)的分布；文獻(xiàn)［5］雖然采用了數(shù)值計(jì)算的方法計(jì)算橢圓積分并求出了圓環(huán)所在平面的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，但并不能全面地表示均勻帶電細(xì)圓環(huán)在空間所產(chǎn)生的電場(chǎng)情況.本文利用Matlab程序用計(jì)算機(jī)模擬的方法對(duì)均勻帶電細(xì)圓環(huán)在空間激發(fā)的電場(chǎng)進(jìn)行了描述，可以輸出帶電圓環(huán)附近任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度及電勢(shì)，并做出了過環(huán)心與圓環(huán)垂直的平面內(nèi)的等勢(shì)線，以及三維空間的等勢(shì)面，實(shí)現(xiàn)了電場(chǎng)的可視化，為形象地理解靜電場(chǎng)的空間分布提供了幫助.

2 環(huán)形帶電體模型

有一半徑為a的細(xì)圓環(huán)，均勻帶電，帶電量為q，在大學(xué)物理課程教材中一般讓學(xué)生計(jì)算過環(huán)心O與環(huán)垂直的軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)［6］.本文則以Matlab程序?yàn)榛A(chǔ)對(duì)圓環(huán)在其附近所激發(fā)的電場(chǎng)進(jìn)行了研究.

3 Matlab模擬計(jì)算帶電體激發(fā)電場(chǎng)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度

建立如圖1所示的坐標(biāo)系，圓環(huán)在xOz平面內(nèi)，在B點(diǎn)處的電荷元dL所帶電量為dq，到達(dá)A點(diǎn)的距離為R，在空間A點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為

圖 1

計(jì)算出空間任一點(diǎn)的電勢(shì)后根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系E＝－ΔV，可以得到空間任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.為了便于計(jì)算，我們不妨令圓環(huán)帶電量q＝4πε0，圓環(huán)半徑a＝1，在可以基本體現(xiàn)電場(chǎng)分布的前提下我們只計(jì)算x?（－2，2），y?（－2，2），z?（－2，2）范圍內(nèi)的電場(chǎng)分布情況.計(jì)算過程中我們把圓環(huán)均勻地分為40份，每份對(duì)應(yīng)的圓心角為，先計(jì)算出每份在數(shù)據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)上產(chǎn)生的電勢(shì)dV，然后用數(shù)值積分的指令（trapz）計(jì)算出整個(gè)圓環(huán)在數(shù)據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)上產(chǎn)生的電勢(shì).再用Matlab求梯度的指令（gradient）求出E＝－ΔV，近而得到了x?（－2，2），y?（－2，2），z?（－2，2）范圍內(nèi)數(shù)據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)上的電勢(shì)及電場(chǎng)強(qiáng)度（見附錄程序一）.

4 實(shí)現(xiàn)電場(chǎng)的可視化

為了更加形象地描述帶電細(xì)圓環(huán)在空間激發(fā)的電場(chǎng)我們還可以用圖像把電場(chǎng)表示出來.

4.1 過環(huán)心與環(huán)垂直的軸線上的電場(chǎng)

計(jì)算出x?（－2，2），y?（－2，2），z?（－2，2）范圍內(nèi)數(shù)據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)后，我們可以取出過環(huán)心與環(huán)所在平面垂直的軸線（即Oy軸）上點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的值，把電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)隨y軸變化的情況作出圖像.在Oy軸上電場(chǎng)的解析式根據(jù)電場(chǎng)的對(duì)稱性分析很容易得到，E＝，顯然也可以根據(jù)這一解析式作出電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)隨y軸變化的情況，我們把兩種方法作出的圖像相比較，如圖2所示，圖中實(shí)線表示的是理論數(shù)據(jù)，“＊”表示的是模擬計(jì)算得到的數(shù)據(jù)，通過圖像可見契合得非常好.

4.2 過環(huán)心與環(huán)垂直的平面內(nèi)電勢(shì)的分布

利用Matlab程序計(jì)算出空間的電勢(shì)分布后我們可以調(diào)用計(jì)算數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)應(yīng)用Matlab中作二維場(chǎng)線的指令（contour）作出某一個(gè)平面內(nèi)的等勢(shì)線.本文以O(shè)xy平面為例作出了該平面的等勢(shì)線，如圖3、圖4所示（圖3、圖4是不同視角下Oxy平面的等勢(shì)線）

通過圖像可以看到在Oxy平面內(nèi)等勢(shì)線關(guān)于Ox軸和Oy軸都呈現(xiàn)出對(duì)稱性，這與帶電體關(guān)于Ox軸和Oy軸對(duì)稱有關(guān)，因此可以推測(cè)出帶電體的對(duì)稱性決定了它所激發(fā)電場(chǎng)的對(duì)稱性，為學(xué)生理解用高斯定理求解具有對(duì)稱分布的帶電體的電場(chǎng)打下基礎(chǔ).另外，Oxy平面是一個(gè)過環(huán)心與圓環(huán)垂直的平面，由圓環(huán)的對(duì)稱性可知，所有過環(huán)心與圓環(huán)垂直的平面都具有相同的性質(zhì)，如果我們知道了其中一個(gè)面等勢(shì)線的分布情況，不難想象將該面的等勢(shì)線沿與圓環(huán)垂直的軸（Oy軸）旋轉(zhuǎn)360°即是該圓環(huán)在空間激發(fā)電場(chǎng)的等勢(shì)面了，所以研究這樣一個(gè)面的等勢(shì)線對(duì)研究整個(gè)空間電場(chǎng)分布非常有意義.

4.3 三維空間的等勢(shì)面

在計(jì)算得到空間各點(diǎn)電勢(shì)值的前提下還可以應(yīng)用Matlab做三維標(biāo)量場(chǎng)的指令作出均勻帶電細(xì)圓環(huán)在空間產(chǎn)生的等勢(shì)面.本文中我們通過使用patch和isosurface語句來實(shí)現(xiàn).為了更直觀我們采用不同的顏色繪制與圖3中Oxy平面中等勢(shì)線對(duì)應(yīng)的5個(gè)等勢(shì)面如圖5所示，為使圖像更加形象直觀將z軸上半軸的數(shù)據(jù)清零，得到帶電圓環(huán)電場(chǎng)的三維等勢(shì)面的截面圖如圖6所示.

4.4 顯示空間任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)

根據(jù)Matlab數(shù)據(jù)儲(chǔ)存的特點(diǎn)，我們可以用指令調(diào)用程序運(yùn)行結(jié)果中的任意一個(gè)數(shù)據(jù).因此，我們只需要輸入空間某點(diǎn)的坐標(biāo)即可在屏幕上顯示出該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì).但要注意如果輸入的坐標(biāo)不是數(shù)據(jù)網(wǎng)格上的點(diǎn)則就近取值進(jìn)行計(jì)算！

運(yùn)行程序（見附錄程序二），并輸入某點(diǎn)的坐標(biāo)（注意：該點(diǎn)應(yīng)該在數(shù)據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)范圍內(nèi)）運(yùn)行結(jié)果如下：

要求空間一點(diǎn)（0，1，0）的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算給出的是（0，1.04，0）點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，結(jié)果為V＝0.69311，E＝5.6628e－009＊i＋0.34607＊j＋0＊k，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E＝0.346 07，而 點(diǎn) （0，1.04，0）處 理 論 值 為 V ＝0.6931，E＝0＊i＋0.3463＊j＋0＊k，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E＝0.3463，兩種計(jì)算方法有很小的誤差，這是由于數(shù)值計(jì)算過程中步長(zhǎng)的選取以及誤差累積形成的.

5 結(jié)論

本文用計(jì)算機(jī)模擬的方法較詳細(xì)地研究了均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)分布情況，所得出的結(jié)論與解析計(jì)算進(jìn)行了比較，在誤差允許的范圍內(nèi)結(jié)果符合得很好.軸線上電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)分布圖以及Oxy平面等勢(shì)線、三維等勢(shì)面進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)環(huán)形帶電體在空間激發(fā)的電場(chǎng)的認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)靜電場(chǎng)有著積極的作用.

附計(jì)算程序

程序一：計(jì)算x?（－2，2），y?（－2，2），z?（－2，2）范圍內(nèi)電勢(shì)及電場(chǎng)強(qiáng)度.

［1］ 程昌林，王慧，李業(yè)鳳.均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)［J］.大學(xué)物理，2003，22（6）：15～17

［2］ 周海英.均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)的一般分布［J］.大學(xué)物理，2004，23（9）：32～34

［3］ 張之翔.圓環(huán)電荷的電勢(shì)的幾種算法及討論［J］.大學(xué)物理，2006，25（8）：7～10

［4］ 劉誠(chéng)杰.劉景世.均勻帶電細(xì)圓環(huán)電場(chǎng)的分布［J］.大學(xué)物理，2005，（08）

［5］ 曹玉娟.數(shù)值積分求解均勻帶電細(xì)圓環(huán)平面上的電場(chǎng)分布［J］.物理與工程，2005，15（15）：12～14

［6］ 馬文蔚等.物理學(xué)（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2006

［7］ 彭芳麟.計(jì)算物理基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2010

2012-01-17）

山東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“分層次教學(xué)與大學(xué)生科學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新能力培養(yǎng)的實(shí)踐與研究”，課題編號(hào)：2011GG106.